长春市实验中学七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项经典练习(培优专题)

一、解答题
1．如图是一个去掉盖子的长方体礼品盒的展开图(单位：cm).从A，B两题中任选一题作答.
A．该长方体礼品盒的容积为______3
cm.
B．如果把这个去掉盖子的礼品盒沿某些棱重新剪开，可以得到周长最大的展开图，则周长最大为____cm.
解析：A:800；B:146
【分析】
A:根据题意可以得到长方体的长为16宽为10高为5，即可求出体积.
B:依据题意展开，计算即可.
【详解】
解：A:根据题意高为20-15=5 宽为15-5=10 长为 26-10=16
V=16×10×5=800
B:依据题意展开如图
周长=5×2+16×6+10×4=146
【点睛】
此题主要考查了立体图形体积计算及最大展开周长，注意最大展开周长一定是最长棱长最多的.
2．如图，C，D，E为直线AB上的三点.
（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；
（2）若一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？
解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段
AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.（2）
(1)
2
n n-
条
线段，2n条射线.
【解析】
【分析】
对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；
对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.
【详解】
解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.
能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.
能用大写字母表示的射线：射线AC、射线CD、射线DE、射线EB、射线CA、射线DC、射线ED、射线BE.
（2）因为n个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，
所以n个点就组成n(n-1)条线段.
因为其中有一半重合的线段，如线段AC与线段CA，
所以这条直线上共有
(1)
2
n n-
条线段.
因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线，
所以当一条直线上有n个点时，共有2n条射线.
【点睛】
此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法.
3．如图所示，∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠COD=22°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数.
解析：5° 【解析】 【分析】
首先根据角的和差关系算出∠AOD 的度数，再根据角平分线的性质可得∠AOE =1
2∠AOD ，进而得到答案． 【详解】
∵∠AOB =35°，∠BOC =50°，∠COD =22°， ∴∠AOD =35°+50°+22°=107°． ∵OE 平分∠AOD ，
∴∠AOE =1
2∠AOD =1
2×107°=53.5°， ∴∠BOE =∠AOE －∠AOB =53.5°－35°=18.5°． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
4．如图，直角三角形ABC 的两条直角边AB 和BC 分别长4厘米和3厘米，现在以斜边AC 为轴旋转一周．求所形成的立体图形的体积．
解析：6π立方厘米 【解析】
试题分析：先根据勾股定理求出斜边为5厘米，再用“3×4÷5=2.4厘米”求出斜边上的高，绕斜边旋转一周后所得到的就是两个底面半径为2.4厘米，高的和为5厘米的圆锥体，由此利用圆锥的体积公式求得这两个圆锥的体积之和即可． 试题
过B 作BD ⊥AC ，
∵直角边AB和BC分别长4厘米和3厘米，
∴AC=22
34
=5（厘米），斜边上的高为“3×4÷5=2.4（厘米），
所形成的立体图形的体积：1
3
2.42 5 =9.6π（立方厘米）．
5．如图，已知C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点．
(1)若DE=9cm，求AB的长.
(2)若CE=5cm，求DB的长．
解析：（1）AB=18；（2）DB=15.
【分析】
（1）由线段中点的定义可得CD=1
2
AC，CE=
1
2
BC，根据线段的和差关系可得DE=
1
2
AB，进
而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案.
【详解】
（1）∵D是AC的中点，E是BC的中点．
∴CD=1
2
AC，CE=
1
2
BC，
∵DE=CD+CE=9，
∴1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(AC+BC)=9，
∵AC+BC=AB，
∴AB=18.
（2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点，
∴AC=BC，CE=BE=1
2
BC，，AD=CD=
1
2
AC，
∴AD=CD=CE=BE，
∴DB=CD+CE+BE=3CE，∵CE=5，
∴DB=15.
【点睛】
本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．
6．百羊问题甲赶群羊逐草茂，乙牵肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬．若得原有一群凑，再添一半小一半，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？请列出方程.(说明：“小一半”是指一半的一半，即四分之一)
解析：x＋x＋1
2
x＋
1
4
x＋1＝100.
【分析】
根据“再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”这一等量关系列出方程即可．
【详解】
设羊群原有羊x只，根据题意可列出方程：x＋x＋1
2
x＋
1
4
x＋1＝100.
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意列出方程.
7．蜗牛爬树一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？
解析：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．
【分析】
根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答.
【详解】
设蜗牛需x天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x天，可列方程(10－7.8)(x－1)＋10＝98，解得x＝41.
答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.
8．如图，点B、C在线段AD上，且::2:3:4
AB BC CD=，点M是线段AC的中点，点N是线段CD上的一点，且9
MN=．
（1）若点N是线段CD的中点，求BD的长；
（2）若点N是线段CD的三等分点，求BD的长．
解析：（1）14；（2）378
23
或
378
31
.
【分析】
（1）设AB=2x ，则BC=3x ，CD=4x ．根据线段中点的性质求出MC 、CN ，列出方程求出x ，计算即可；
（2）分两种情况：①当N 在CD 的第一个三等分点时，根据MN=9，求出x 的值，再根据BD=BC+CD 求出结果即可；②当N 在CD 的第二个三等分点时，方法同①. 【详解】
设AB=2x ，则BC=3x ，CD=4x ． ∴AC=AB+BC=5x ， ∵点M 是线段AC 的中点， ∴MC=2.5x ，
∵点N 是线段CD 的中点， ∴CN=2x ，
∴MN=MC+CN=2.5x+2x=4.5x ∵MN=9，
∴4.5x=9，解得x=2， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=14.
（2）情形1：当N 在CD 的第一个三等分点时，CN=4
3
x ，
∴MN=MC+CN=54239236
x x x +== 解得，5423
x =
， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=
378
23
; 情形2：当当N 在CD 的第二个三等分点时，CN=83
x ， ∴MN=MC+CN=5831
9236
x x x +== 解得，5431
x =
， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=378
31
; 故BD 的长为37823或
378
31
. 【点睛】
本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点和三等分点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
9．已知AOB m ∠=，与AOC ∠互为余角，与BOD ∠互为补角，OM 平分AOC ∠，
ON 平分BOD ∠，
（1）如图，当35m =时，求AOM ∠的度数；
（2）在（1）的条件下，请你补全图形，并求MON ∠的度数；
（3）当AOB ∠为大于30的锐角，且AOC ∠与AOB ∠有重合部分时，请求出MON ∠的度数.（写出说理过程，用含m 的代数式表示）
解析：(1)27.5°；(2) 135°或10°；(3) 2135︒-︒m 或45+︒︒m 或1352︒-︒m . 【分析】
(1)根据题目已知条件OM 平分AOC ∠，得出∠COM=∠MOA ，因35m =即可求出. (2)∠AOB 和∠BOD 互补，分两种情况讨论，第一种情况是∠AOB 和∠BOD 没有重合部分时，第二种情况是∠AOB 和∠BOD 有重合部分时，再根据题目已知条件求解. (3)根据题目要求画出符合题目的图，在根据题目给出的已知条件求解. 【详解】
解：(1)∠AOB=35°∵OM 平分AOC ∠ ∴∠COM=∠MOA=()9035227.5︒-︒÷=︒ (2)当∠AOB 和∠BOD 没有重合部分时 如图所示∵∠AOB=35°，∠AOB 与∠BOD 互补 ∴∠AOB+∠BOD=180° ∵ON 平分BOD ∠
∴∠BON=∠NOD=()18035272.5︒-︒÷=︒
∴∠MON=∠NOB+∠BOA+∠AOM=72.5+35+27.5=135︒︒︒︒
当∠AOB 和∠BOD 有重合部分时 由(1)知∠MOA=27.5°，∠AOB=35° ∠AOB 与∠BOD 互补 ∴∠AOB+∠BOD=180° ∠BOD=180°-35°=145°
同理可得：∠NOB=72.5° ∠MON=72.5°-27.5°-35°=10° ∴∠MON=135°或10°
(3)如图所示
因为∠AOB ∠AOC 互余，AOB m ∠= ∴∠AOC=90︒-m ∵OM 平分AOC ∠
∴∠COM=∠MOA=()
902=452
︒︒-÷︒-m m ∵∠OB 与∠BOD 互补
∴∠AOB+∠BOD=180°ON 平分BOD ∠ ∴∠CON=∠NOD=()
1802902
︒︒-÷=︒-m m ∴∠NAO=3909022︒︒-
-︒=︒-m m m ∴∠MON=390+45135222
︒-︒-=︒-︒m m
m
同理可得∠MON=45+︒︒m
同理可得∠MON=2135︒-︒m
∴∠MON=2135︒-︒m 或45+︒︒m 或1352︒-︒m
【点睛】
本题主要考查的是余角和补角的定义以及角平分线的应用，再做题之前一定要思考清楚需要分几个情况，再根据已知条件解出每种情况.
10．[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1
,2
COA BOC ∠=
∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．
例如，如图1，60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=，，则
12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线：同时，由于1
2
BOD AOD ∠=∠，
称射线OD 是射线OB 的伴随线．
[知识运用]
（1）如图2，120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ，若
AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图，如180AOB ∠=，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；
②当t 为多少秒时，射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 解析：（1）40︒，16
α；（2）①存在，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20︒；②当907t =，36019，1807
，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】
（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】
（1）∵120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线， 根据题意，12AOM BOM ∠=
∠，则11
1204033
AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒； ∵AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线， ∴111233BON AON AOB α∠=
∠=∠=，11
22
BOC AOB α∠=∠=， ∴111
236
NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=-=； 故答案为：40︒，1
6
α；
（2）射线OD 与OA 重合时，180
365
t ==（秒）， ①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则1805320t t --=， ∴20t =；
若在相遇之后，则5318020t t +-=， ∴25t =；
所以，综上所述，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20°； ②相遇之前： （i ）如图1，
OC 是OA 的伴随线时，则1
2
AOC COD ∠=∠， 即()1
3180532
t t t =--， ∴907
t =
； （ii ）如图2，
OC 是OD 的伴随线时，
则12COD AOC ∠=∠， 即11805332t t t --=⨯， ∴36019
t =
； 相遇之后： （iii ）如图3，
OD 是OC 的伴随线时， 则12
COD AOD ∠=∠， 即()153********t t t +-=
-， ∴1807
t =； （iv ）如图4，
OD 是OA 的伴随线时，则12AOD COD ∠=
∠， 即()118053t 5t 1802t -=
+-， ∴30t =；
所以，综上所述，当907t =
，36019，1807
，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
11．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.
（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形
不全，则直接在原图中补全；
（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.
解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．
【分析】
（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；
（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．
【详解】
解：（1）多余一个正方形，如图所示：
（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，
体积为：23
58200()cm ⨯=
【点睛】
本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
12．如图，A 、B 、C 三点在一条直线上，根据图形填空：
（1）AC ＝ + + ；
（2）AB ＝AC ﹣ ；
（3）DB+BC ＝ ﹣AD
（4）若AC ＝8cm ，D 是线段AC 中点，B 是线段DC 中点，求线段AB 的长．
解析：（1）AD ，DB ，BC ；（2）BC ；（3）AC ；（4）6cm ．
【分析】
（1）根据图形直观的得到线段之间的关系；
（2）根据图形直观的得到线段之间的关系；
（3）根据图形直观的得到各线段之间的关系；
（4）AD 和CD 的长度相等并且都等于AC 的一半，DB 的长度为CD 长度的一半即为AC 长度的四分之一．AB 的长度等于AD 加上DB ，从而可求出AB 的长度．
【详解】
（1）AC＝AD+DB+BC
故答案为：AD，DB，BC；
（2）AB＝AC﹣BC；
故答案为：BC；
（3）DB+BC＝DC=AC﹣AD
故答案为：AC；
（4）∵D是AC的中点，AC＝8时，AD＝DC＝4
B是DC的中点，
∴DB＝2
∴AB＝AD+DB
＝4+2，
＝6（cm）．
【点睛】
本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．
13．如图，在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧．已知点B对应的数为2，点A对应的数为a．
（1）若a＝﹣1，则线段AB的长为；
（2）若点C到原点的距离为3，且在点A的左侧，BC﹣AC＝4，求a的值．
解析：（1）3；（2）﹣2
【分析】
（1）根据点A、B表示的数利用两点间的距离公式即可求出AB的长度；
（2）设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，根据BC﹣AC＝4列方程即可得到结论．【详解】
（1）AB＝2﹣a＝2﹣（﹣1）＝3，
故答案为：3；
（2）∵点C到原点的距离为3，
∴设点C表示的数为c，则|c|＝3，即c＝±3，
∵点A在点B的左侧，点C在点A的左侧，且点B表示的数为2，
∴点C表示的数为﹣3，
∵BC﹣AC＝4，
∴2﹣（﹣3）﹣[a﹣（﹣3）]＝4，
解得a＝﹣2．
【点睛】
本题主要考查数轴上两点之间的距离，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
14．直线l上有A，B两点，AB=24cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB.
（1）OA=__________cm，OB=___________cm；
（2）若C点是线段AO上的一点，且满足AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为
1cm s
⁄，设运动时间为t(s)，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动.
①当t为何值时，2OP−OQ=8；
②当点P经过点O时，动点M从点O出发，以3cm s⁄的速度向右运动.当点M追上点Q后立即返回.以同样的速度向点P运动，遇到点P后立即返回，又以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P，Q停止时，点M也停止运动.在此过程中，点M行驶的总路程为
___________cm.
解析：（1）16,8;（2）8
3;（3）①t=16
5
或16s;②48.
【解析】
【分析】
（1）由OA=2OB，OA+OB=24即可求出OA、OB．
（2）设OC=x，则AC=16-x，BC=8+x，根据AC=CO+CB列出方程即可解决．
（3）①分两种情形①当点P在点O左边时，2（16-2t）-（8+t）=8，当点P在点O右边时，2（2t-16）-（8+x）=8，解方程即可．
②点M运动的时间就是点P从点O开始到追到点Q的时间，设点M运动的时间为ts由题意得：t（2-1）=16由此即可解决．
【详解】
(1)∵AB=24，OA=2OB，
∴20B+OB=24，
∴OB=8，0A=16，
故答案分别为16，8.
（2）设CO的长为x cm.
由题意，得x+(x+8)=24−8−x.
解得x=8
3
.
所以CO的长为8
3cm
.
(3)①当点P在点O左边时,2(16−2t)−(8+t)=8,t=16
5
，
当点P在点O右边时,2(2t−16)−(8+t)=8，t=16，
∴t=16
5
或16s时，2OP−OQ=8.
②设点M运动的时间为ts,由题意：t(2−1)=16，t=16，
∴点M运动的路程为16×3=48cm.
故答案为48cm.
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，两点间的距离，解题关键在于根据题意列出方程.
15．已知长方形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，点F ，G 在边CD 上，连接EF ，EG ．将BEG ∠对折，点B 落在直线BG 上的点B '处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点A '处，得折痕EN ．
（1）如图（1），若点F 与点G 重合，求MEN ∠的度数；
（2）如图（2），若点G 在点F 的右侧，且30FEG ︒∠=，求MEN ∠的度数； （3）若MEN α∠=，请直接用含α的式子表示FEG ∠的大小．
解析：（1）90︒；（2）105︒；（3）若点G 在点F 的右侧，2180FEG α︒∠=-；若点G 在点F 的左侧，1802FEG α︒∠=-
【分析】
（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．
（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG ，求出∠NEF+∠MEG 即可解决问题． （3）根据题意分点G 在点F 的右侧以及点G 在点F 的左侧两种情形分别求解即可．
【详解】
解：（1）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEF ∠， 所以12NEF AEF ∠=
∠，12
MEF BEF ∠=∠， 所以1111()2222
MEN NEF MEF AEF BEF AEF BEF AEB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠． 因为180AEB ︒∠=， 所以1180902
MEN ︒︒∠=⨯=． （2）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠， 所以12NEF AEF ∠=
∠，12MEG BEG ∠=∠， 所以
1111()()2222
NEF MEG AEF BEG AEF BEG AEB FEG ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠． 因为180AEB ︒∠=，30FEG ︒∠=， 所以()
118030752NEF MEG ︒︒︒∠+∠=-=， 所以7530105MEN NEF FEG MEG ︒︒︒∠=∠+∠+∠=+=．
（3）因为EN 平分AEF ∠，EM 平分BEG ∠，
所以12NEF AEF AEN ∠=
∠=∠，12
MEG BEG BEM ∠=∠=∠， 若点G 在点F 的右侧，MEN NEF FEG MEG α∠=∠+∠+∠=， ()()(180)2180FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=-∠+∠=-∠+∠=-=--；
若点G 在点F 的左侧，MEN NEF MEG FEG α∠=∠+∠-∠=
1801802FEG NEF MEG AEN BEM ααααα︒︒∠=∠+∠-=∠+∠-=--=-．
【点睛】
本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
16．读下列语句，画出图形，并回答问题．
（1）直线l 经过A ，B ，C 三点，且C 点在A ，B 之间，点P 是直线l 外一点，画直线BP ，射线PC ，连接AP ；
（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．
解析：（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC
【分析】
（1）根据直线、射线、线段的定义作图；
（2）根据直线、射线、线段的定义解答．
【详解】
(1)如图所示．
(2) 直线有2条，分别是直线PB ，AB ；
射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；
线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC ．
【点睛】
此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．
17．如图，O 在直线AC 上，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内．
（1）若OE 是∠BOC 的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；
（2）若∠BOE=1
2
∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
解析：（1）见解析；（2）72°【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=1
2
∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x
度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】
（1）如图，因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以∠BOD=1
2
∠AOB，∠BOE=1
2
∠BOC，
所以∠DOE=1
2
（∠AOB+∠BOC）=
1
2
∠AOC=90°；
（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，
则∠BOD=1
2
（180°–3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，
即x+1
2
（180°–3x）=72°，
解得x=36°，
故∠EOC=2x=72°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．
18．如图,已知A、B、C、D四点,根据下列要求画图:
(1)画直线AB、射线AD；
(2)画∠CDB；
(3)找一点P，使点P既在AC上又在BD上.
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
（1）利用直线以及射线的定义画出图形即可；
（2）利用角的定义作射线DC，DB即可；
（3）连接AC，与BD的交点即为所求．
【详解】
解：（1）如图所示：直线AB、射线AD即为所求；
（2）如图所示：∠CDB即为所求；
（3）如图所示：点P即为所求．
【点睛】
此题主要考查了直线、射线以及角的定义，正确把握相关定义是解题关键．
19．如图，∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4，且A，O，B三点在一条直线上，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，OG平分∠EOF，求∠GOF的度数。

解析：60°
【分析】
根据∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4分别设∠AOC=2x，∠COD=3x，∠BOD=4x，根据这三个角之和等于180°，求得三个角的度数，然后根据角平分线的性质即可求得∠EOF的大小．
【详解】
设∠AOC=2x，∠COD=3x，∠BOD=4x
∵∠AOC+∠COD+∠BOD=∠AOB=180°
∴2x+3x+4x=180°
∴x=20°
∴∠AOC=40°∠COD=60°∠BOD=80°
∵OE,OF平分∠AOC，∠BOD
∴∠EOC=20°，∠DOF=40°
∴∠EOF=120°
又∵OG平分∠EOF
∴∠EOG=∠GOF=60°
∴∠GOF=60°.
本题考查角平分线的性质.角平分线把一个角平分成两部分，它们都等于原来角的12. 20．P 是线段AB 上任一点，12AB cm =，C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2/cm s ，D 点的运动速度为3/cm s ，运动的时间为t s .
（1）若8AP cm =，
①运动1s 后，求CD 的长；
②当D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =；
（2）如果2t s =时，1CD cm =，试探索AP 的值.
解析：（1）①3cm ；②见解析；（2）9AP =或11cm.
【分析】
（1）①先求出PB 、CP 与DB 的长度，然后利用CD=CP+PB-DP 即可求出答案；②用t 表示出AC 、DP 、CD 的长度即可求证AC=2CD ；
（2）t=2时，求出CP 、DB 的长度，由于没有说明点D 再C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论.
【详解】
解：（1）①由题意可知：212,313CP cm DB cm =⨯==⨯=，
∵8,12AP cm AB cm ==，∴4PB AB AP cm =-=，
∴2433CD CP PB DB cm =+-=+-=；
②∵8,12AP AB ==，∴4,82BP AC t ==-，
∴43DP t =-，∴2434CD DP CP t t t =+=+-=-，
∴2AC CD =；
（2）当2t =时，
224,326CP cm DB cm =⨯==⨯=，
当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm =，∴7CB CD DB cm =+=，∴5AC AB CB cm =-=，
∴9AP AC CP cm =+=，
当点D 在C 的左边时，如图所示：∴6AD AB DB cm =-=，
∴11AP AD CD CP cm =++=，
综上所述，9AP =或11cm.
【点睛】
本题考查的知识点是线段的简单计算以及线段中动点的有关计算.此题的难点在于根据题目画出各线段.
21．如图，已知点C 为线段AB 上一点，15cm AC =，35
CB AC =，D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，求线段DE 的长．
解析：5cm
【分析】
根据线段的中点定义即可求解．
【详解】
解：因为15cm AC =，35CB AC =
， 所以3159(cm)5
CB =⨯=， 所以15924(cm)AB =+=．
因为D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，
所以112cm 2AE BE AB ==
=，17.5cm 2
DC AD AC ===． 所以127.5 4.5(cm)DE AE AD =-=-=． 【点睛】
本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段的中点定义．
22．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是p ．
（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？
（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且28CO =，求p ．
解析：（1）-4；（2）-88
【分析】
（1）根据以B 为原点，则C 表示1，A 表示-2，进而得到p 的值；根据以C 为原点，则A 表示-3，B 表示-1，进而得到p 的值；
（2）根据原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO=28，可得C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，据此可得p 的值．
【详解】
（1）若以B 为原点，则点C 对应1，点A 对应2-，
所以1021p =+-=-；
若以C 为原点，则点A 对应3-，点B 对应1-，
所以3104p =--+=-．
（2）若原点O 在题图中数轴上点C 的右边，且28CO =，则点C 对应28-，点B 对应29-，点A 对应31-，所以31292888p =---=-．
【点睛】
本题考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点
间的距离．
23．如图，C ，D 两点将线段AB 分成2:3:4三部分，E 为线段AB 的中点，6cm AD =．求：
（1）线段AB 的长；
（2）线段DE 的长．
解析：（1）10.8cm ；（2）0.6cm
【分析】
（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =，则根据6cm AD =列式计算即可. （2）由E 为线段AB 的中点，且根据（1）知AB 的长为10.8cm ，即可求出DE 的长．
【详解】
（1）设2cm AC x =，3cm CD x =，4cm BD x =．
则有236x x +=，
解得 1.2x =．
则234910.8x x x x ++==．
所以AB 的长为10.8cm ．
（2）因为E 为线段AB 的中点， 所以1 5.4cm 2
AE AB ==． 所以6 5.40.6cm DE AD AE =-=-=
【点睛】
本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和及倍数关系是解答此题的关键． 24．已知线段AB ＝10cm ，直线AB 上有一点C ，BC ＝6cm ，M 为线段AB 的中点，N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长．
解析：2cm 或8cm
【分析】
分两种情况：（1）点C 在线段AB 上时，（2）点C 在AB 的延长线上时，分别求出线段MN 的值，即可．
【详解】
解：（1）若为图1情形，
∵M 为AB 的中点，
∴MB ＝MA ＝5cm ，
∵N 为BC 的中点，
∴NB ＝NC ＝3cm ，
∴MN ＝MB ﹣NB ＝2cm ；
（2）若为图2情形，
∵M 为AB 的中点，
∴MB ＝AB ＝5cm ，
∵N为BC的中点，
∴NB＝NC＝3cm，
∴MN＝MB+BN＝8cm．
【点睛】
本题主要考查线段的和差倍分和线段的中点概念，根据题意，画出图形，分类讨论，是解题的关键．
25．已知，A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长．
解析：12cm
【解析】
【分析】由已知设设EA=x，AB=2x，BF=3x，根据线段中点性质得
MN=MA+AB+BN=1
2
x+2x+
3
2
x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12.
【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，
而M、N分别为EA、BF的中点，
∴MA=1
2EA，NB=
1
2
BF，
∴MN=MA+AB+BN=1
2x+2x+
3
2
x=4x，
∵MN=8cm，
∴4x=8，
∴x=2，
∴EF=EA+AB+BF=6x=12，
∴EF的长为12cm．
【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.
26．已知线段14
AB=，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：
1
DB=：2：4，
1
2
AM AC
=，且
1
4
DN BD
=，求MN的长．
解析：7或3
【分析】
求出AC，CD，BD，求出CM，DN，根据MN CM CD DN
=++或MN CM CD ND
=+-求出即可．
【详解】
如图，
14AB =，AC ：CD ：1BD =：2：4，
2AC ∴=，4CD =，8BD =， 12AM AC =，14
DN DB =， 1CM ∴=，2DN =，
1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=． 则MN 的长是7或3． 【点睛】
本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想，关键是找找出线段间的数量关系.
27．如图所示，点A 、O 、C 在同一直线上，OE 是BOC ∠的平分线，90EOF ∠=︒，()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒.
（1）求1∠的度数（请写出解题过程）.
（2）如以OF 为一边，在COF ∠的外部画DOF COF ∠=∠，问边OD 与边OB 成一直线吗？请说明理由.
解析：（1）1140∠=︒；（2）边OD 与边OB 成一直线，理由详见解析.
【分析】
（1）因为OE 是∠BOC 的平分线 所以∠BOC=2∠2，再根据点A 、O 、C 在一直线上，求出∠1和∠2关于x 的关系式，列出等式求出x 的值；
（2）根据∠EOF=∠EOC+∠COF=90°和∠EOC=12∠BOC ，∠FOC=12
∠DOC ，12∠BOC+12
∠DOC=90°，得出∠BOC+∠DOC=180°，进而可可判断边OD 与边OB 成一直线．
【详解】
（1）因为OE 是BOC ∠的平分线，所以22BOC ∠=∠，
因为点A 、O 、C 在同一直线上，所以1180BOC ∠+∠=︒，
又因为()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒，
所以()()420210180x x ++-=，
解得：30x =，1140∠=︒
（2）边OD 与边OB 成一直线.
理由：因为90EOF EOC COF ∠=∠+∠=︒， 又因为12EOF BOC ∠=
∠，12FOC DOC ∠=∠. ∴119022
BOC DOC ∠+∠=︒， 即180BOC DOC ∠+∠=︒，所以点D 、O 、B 在同一直线上，即边OD 与边OB 成一直线.
【点睛】
本题主要考查角的计算和角平分线的知识点，解答本题的关键是熟练运用角之间的等量关系.
28．如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠AOD 比∠BOD 大30°，则∠COD 的度数为________．
解析：15°
【分析】
设∠BOD ＝x ，分别表示出∠AOD ＝x ＋30°，∠AOC= x ＋15°，即可求出∠COD ．
【详解】
解：设∠BOD ＝x ，则∠AOD ＝x ＋30°，
所以∠AOB ＝2x ＋30°．
因为OC 是∠AOB 的平分线，
所以∠AOC ＝12
∠AOB= x ＋15°， 所以∠COD=∠AOD-∠AOC ＝15°．
故答案为：15°
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，角的和差等知识，理解角平分线的定义，并用含x 的式子表示是解题关键．
29．计算
（1）34°41′25″×5；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4．
解析：（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．
【分析】
（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；
（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．
【详解】
（1）34°41′25″×5
＝（34°＋41′＋25″）×5
＝34°×5＋41′×5＋25″×5
＝170°＋205′＋125″
＝173°27′5″；
（2）72°35′÷2＋18°33′×4
＝36°17′30″＋72°132′
＝110°29′30″．
【点睛】
本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．
30．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE 平分∠AOB ，OF 平分∠BOC ，求∠AOC 和∠COB 的度数．
解析：120°，30°
【分析】
先根据角平分线，求得∠BOE 的度数，再根据角的和差关系，求得BOF ∠的度数，最后根据角平分线，求得BOC ∠、AOC ∠的度数．
【详解】
∵OE 平分∠AOB ，∠AOB=90°
∴∠BOE=∠AOB =45°
又∵∠EOF=60°
∴∠BOF=∠EOF －∠BOE= 15°
又∵OF 平分∠BOC
∴∠BOC=2∠BOF=30°
∴∠AOC=∠AOB ＋∠BOC=120°
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键.注意：也可以根据AOC ∠的度数是EOF ∠度数的2倍进行求解．。