高三数学课堂教学中激发学生有效思维的几个途径

教学园地
高三数学课堂教学中激发学生有效思维的几个途径
吕有杰１，丁　云２
（１．苏州市苏州高新区第一中学，２１５０１１；２．泰兴市第四高级中学，２２５４１１）
高三的数学课堂教学模式，专题复习与试卷讲评是主旋律，在每天重复的数百次的课堂教学中，如何激发学生的有效思维，使学生主动积极思考，真正地参与课堂，从而使老师和学生都不把数学课堂当成枯燥乏味的阵地，是我们要思考的问题．笔者在反思近期的教学中，觉得以下几个途径值得使用．
１　要留给学生思考的时间和机会，充分展示
学生的思维成果
不少老师舍不得在课堂中让学生来思考和分析问题，担心教学任务完成不了，但凡有这种顾虑的老师大多会把课堂教学演变成“一言堂”和“满堂灌”，激发不了学生的兴趣，学生的有效思维会得到扼制，教学效果自然不会好．笔者在复习《函数与方程》专题时，有如下例题．
例１　（２０１７年全国卷Ⅲ）已知函数ｆ（ｘ）＝
ｘ２－２ｘ＋ａ（ｅｘ－１＋ｅ１－ｘ）有唯一零点，则ａ＝ ．
由于学生课前对本题进行了预习，了解学生是如何思考并解决这个问题是必要的，学生佰东给大
家讲解了他的方法：令ｅｘ－１
＝ｔ，显然ｔ＞０，方程ｆ（ｘ）
＝０可化为ａｔ＋１()
ｔ＝－ｘ２
＋２ｘ．问题就转化为函数ｇ
（ｘ）＝－ｘ２
＋２ｘ的图像与ｈ（ｔ）＝ａｔ＋１()
ｔ
（ｔ＞０）的图像仅有一个公共点（当然，此公共点处函数ｈ（ｔ）中自变量ｔ取值时对应的ｘ的值必须与ｇ（ｘ）中ｘ的值相等）．在同一坐标系中作出这两个函数图像可知仅在ａ＞０时，二次函数的图像与对勾函数的图像恰好满足这个条件，即二次函数的最高点（１，１）与对勾函数的最低点（１，２ａ）重合，且ｔ＝１时对应的ｘ的值也是１，所以２ａ＝１，ａ＝１
２．非常巧妙的解法，
不得不佩服学生的水平！
这样的例子在我们平时的教学中其实是比较常见的，学生的方法不一定比我们老师准备的方法逊色，他们的解题方法或许会令老师眼前一亮，感到惊艳．课堂教学中只有及时发现并敢于花时间去呈现学生的思维成果，注重课堂教学中生成性问题的合理处置，学生才会花费更多时间在课前准备上，也才会更专注地融入课堂，积极思考问题并勇于发表自己的见解，为课堂教学注入新的活力．当然，由于课堂时间的有限性，老师需在课前做好充分的准备，对学生在知识、方法的掌握程度和解题水平有充分了解的基础上，将好的解题方法、典型性错误及规范的表达等拍成图片或做好投影准备，以节省宝贵的时间．这也要求我们老师将课堂教学的有关工作适当前置，这样，学生的课堂学习任务也会有效前置，充分扩大课堂教学在４５分钟外的效应．
２　要充分发挥典型范例的示范辐射作用，类
比迁移，形成能力
同样这道题，教参上给出了利用函数图像对称性的方法解题，如果不作任何铺垫，直接呈现这个方法，其实学生是不太容易接受并掌握的．如何比较自然的启发学生得到这种方法呢，笔者以为，老师需要在讲解这道题之前给学生先找寻到（或从学生已掌握的题库中提取出）一道大家比较熟悉的与本题方法类同的典型范例，在做好充分的铺垫后再来思考本题的解题方法．
例２　函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋２ａ｜ｘ｜＋４ａ２－３有且仅
有一个零点，则实数ａ＝ ．
这道题的第一步为大多数学生熟知，利用函数的性质，比较容易发现该函数为偶函数，故其零点必定为０，将０代入方程ｆ（ｘ）＝０，很快得到ａ＝±槡３２；但第
二步，不少学生并不知道得到ａ的值后要去检验方程是否只有一个实数解，从而舍去不符合条件的负值．
利用本题的方法，可以启发学生思考，我们这个题目，函数有唯一零点的条件与之相同，是否这个函数也是偶函数呢？若不是，又如何处置？通过这样的教学设计，学生无法判断其奇偶性之后自然会得到如下结论：该题中的函数图像必定会关于一条与
ｘ轴垂直的直线对称，再由ｙ＝ｘ２
－２ｘ的对称轴是ｘ
＝１，进而去猜想整个函数是否关于这条直线对称，
·
６１·
当发现ｆ（１＋ｘ）＝ｆ（１－ｘ）或ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ）后，猜想得到验证后，学生的解题自信与解题能力均有了收获，既然函数图像关于ｘ＝１对称，那么唯一的零点自然就是１了，
由ｆ（１）＝０就得到了ａ＝１
２
．这种方法的呈现其实就是喻平教授提出的数学老师要帮助学生建立良好的ＣＰＦＳ结构，所谓良好的Ｃ
ＰＦＳ结构，就是在长时记忆中储存了大量的数学知识、方法、信息，它们由彼此的数学关系相连结，形成稳固的知识网络．当面临新问题时，便会沿网络搜寻提取，这是一个激活知识方法结点的过程（在网络中更易激活且是迅速的、全方位的）．而数学解题模式就是用某种思想方法沟通了知识之间的联系，这时所形成的ＣＰＦＳ结构将以方法为灵魂，对提高学生的解题能力至关重要．
３　要通过题组设计，抽象概括解题方法和策
略，关注并反思其差异
高三的课堂教学，如果一味地做题，没有归类总结，没有反思提炼，那必定导致学生有做不完的题，老师有讲不完的题，而且收效甚微．其实，很多重要的知识点和方法，热点的题型，我们都可以设计成题组教学，有两种形式的题组尤为重要．一是同类型问题，解题方法相同或类似；二是看似不同但使用的思想和方法相同或类似，或通过化归可转化为同类问题处理．通过题组教学，让学生在解决问题的过程中既找到了共同的解题方法，又洞察了问题的本质，关注到了它们之间的细微区别和各具特点的解题策略，养成自觉反思的习惯，有效地提高了学生的解题能力．
笔者在函数性质的复习中选用了以下题组，试图尝试促进学生的有效思维，提高学生识别问题和解决问题的能力．
例３　已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ（ａ，ｂ为常数，
ａ≠０）满足：①ｆ（２）＝０；②关于ｘ
的方程ｆ（ｘ）＝ｘ有等根．
（１）求ｆ（ｘ）的解析式；
（２）是否存在ｍ，ｎ∈Ｒ（ｍ＜ｎ），使ｆ（ｘ）的定义域与值域分别为［ｍ，ｎ］与［２ｍ，２ｎ］？若存在，求出ｍ，ｎ；不存在，说明理由．
分析：本题是很经典的二次函数值域问题．由条件①②很快得出ａ
＝－１
２，ｂ＝１，将问题转化为求ｆ（ｘ）＝－１２
ｘ２
＋ｘ，ｘ∈［
ｍ，ｎ］的值域问题．不少同学由于挖掘不出隐含条件，会进行分类讨论，解题会比较复杂．事实上，将函数解析式配方ｆ（ｘ）＝－１２（ｘ－１）２
＋
１２后会发现２ｎ≤１２，ｎ≤１４，从而避免了分类讨论．由函数在［
ｍ，ｎ］上单调递增，得ｆ（ｍ）＝ｍ，
ｆ（ｎ）＝{ｎ．
即
－１２ｍ２
＋ｍ＝ｍ，－１２
ｎ２＋ｎ＝{
ｎ．结合ｍ＜ｎ，得
ｍ＝－２，
ｎ＝０{
．变式１：已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２
－ｍｘ＋ｍ－１，是否
存在整数ａ，ｂ（其中ａ，ｂ是常数，且ａ＜ｂ），使得关于ｘ的不等式ａ≤ｆ（ｘ）≤ｂ的解集为｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ｂ｝？若存在，求出ａ
，ｂ的值；不存在，请说明理由．分析：注意引导学生分析本题与上一题的不同，首先要搞清楚主要有两个不同点，一是本题不再是已知定义域求值域了；二是ａ≤ｆ（ｘ）≤ｂ与ｆ（ｘ）的值域为［ａ，ｂ］的区别．另外，如何使得关于ｘ的不等式ａ≤ｆ（ｘ）≤ｂ的解集为｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ｂ｝，要引导学生思考讨论，不要直接告诉学生，让他们借助函数图像进行研究．经过充分思考后，我们会得到，要满足题意，必须有ａ≤ｆ（ｘ）ｍｉｎ且
ｆ（ｂ）＝ｂ，
ａ＋ｂ＝{ｍ
由ｆ（ｂ）＝ｂ，得
ｂ２－ｍｂ＋ｍ－１＝ｂ，∴ｂ２
－ｂ－１＝ｍ（ｂ－１），ｍ＝ｂ２－ｂ－１ｂ－１＝ｂ－１ｂ－１，∴ａ，ｂ∈Ｚ，∴ｍ∈Ｚ，∴１
ｂ－１
∈
Ｚ，ｂ－１＝±１．当ｂ＝０时，ｍ＝１，ａ＝１舍去；当ｂ＝２时，ｍ＝１，ａ＝－１≤ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－１４符合题意．∴存在ａ＝－１，ｂ＝２．
变式２：若函数ｆ（ｘ）＝ａ－１
｜ｘ｜的定义域与值域
均为［ｍ，ｎ］（ｍ＜ｎ），求实数ａ的取值范围．
分析：本题将函数进行了变换，需要对区间的位置进行讨论，另要引导学生注意与例３中方程组的求解策略进行比较，感悟常用的计算技巧及不同点．
因为０ ［ｍ，ｎ］，所以分两种情况讨论：①当ｍ＜
ｎ＜０时，ｆ（ｘ）＝ａ＋１
ｘ在［ｍ，ｎ］上单调递减，∴
ｆ（ｍ）＝ｎ，
ｆ（ｎ）＝{ｍ．
即
ａ＋１
ｍ＝ｎ，
ａ＋１ｎ
＝{
ｍ．
相减，得
１ｍ－１
ｎ
＝ｎ－ｍ，∴ｍｎ＝１，回代，ａ＝０．·
７１·
②当０＜
ｍ＜ｎ时，ｆ（ｘ）＝ａ－１
ｘ在［ｍ，ｎ］上单调递增，
∴ｆ（ｍ）＝ｍ，ｆ（ｎ）＝{
ｎ．
即ａ＋１
ｍ＝ｍ，
ａ＋１ｎ
＝{
ｎ．
即方程ａ－１ｘ
＝ｘ，也就是ｘ２
－ｘ＋１＝０在（０，＋∞）
上有两个相异实根，
∴Δ＝
ａ２－４＞０，ａ＞０{
．
∴ａ＞２．综合①②，ａ＝０或ａ＞２．
在本题组的设计及教学中，笔者尝试将上面两种形式的题组进行混合，既有同类型的利用函数单调性列出方程组求解问题，又要关注在解方程组时的方法区别，形成解题技巧（例２直接求解，变式２的①中适当关注加减变形后结论的使用，稍微体现计算技巧，②中并非纯粹解方程组，
而是转化为一元二次方程实根分布问题解决）；既有例２中通过挖掘隐含条件后避免讨论的解题策略，又有变式２中
需要进行分类讨论所呈现的严谨过程；既有由定义域求值域的问题引导，又有不同于此的变式１中的较抽象逆向问题的挑战，借助数形结合等重要的数学思想方法，帮助学生寻找解决问题的突破口．所有这些，都会极大地激发学生的有效思维，培养他们的解题能力，解题成功的喜悦感会让学生迷上数学，爱上解题，欲罢不能．
以上，笔者粗浅地谈了几点高三复习课的教学体会，其实，调动学生有效思维的方法和途径很多，只要我们老师多点思考，多留点心，多想点主意，数学课堂一定会成为学生思考的乐园．
参考文献：
［１］喻平．数学学习心理的ＣＰＦＳ结构理论［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００８．
［２］吕有杰．从“数学经典考题”感悟命题的“落脚点”［Ｊ］．人大复印资料《高中数学教与学》，２０１７，（７）：檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸檸６０－６３．
（上接第１５页）　３．３　创设文化情境与问题
《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》要求将数学文化融入课程内容，在课堂教学中对学生进行数学文化的熏陶，体现数学的文化价值．数学概念、定理比较抽象，学生觉得枯燥乏味，教学中如果能创设一些文化情境与问题，例如借助于数学家故事、数学史趣闻、数学名题等，介绍数学的思想方法，既有知识性，又有通俗性与趣味性，在数学教学中渗透着“数学文化”．
案例３：“等比数列的前ｎ项和”引入教学时，向学生介绍“棋盘上的麦粒”这个故事．
问题１：要求麦粒总数如何列式？问题２：总共是多少粒麦子？
【设计意图】学生列出式子后会动手算，然后觉得过程很繁，产生困惑，激起探索新方法的欲望，进而教师引导学生探究运算方向，如何化繁为简，帮助学生突破困难，再提出等比数列求和的问题，培养学生的数学运算和数学抽象素养．通过这样的一个小故事，将数学文化的魅力融入到课堂，学生学习数学的兴趣受到激发，就会主动探索获取知识，对数学思想方法的理解更深入，掌握更牢固，学生的数学素养潜移默化地得到提高．案例４：“平面解析几何初步”开篇教学向学生介绍笛卡尔通过观察蜘蛛捕捉蛛网上的苍蝇创立坐标系的故事，让学生从中了解数学概念、方法、思想的起源和知识的创造过程，了解数学发展的轨迹，体验数学发现的乐趣，学习数学家的思维方式，培养学生“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”的意识，提高数学素养．
在课堂教学中创设恰当的、多样化的情境与问题，让学生亲历真实的、复杂的问题解决过程，利于激发学生对客观的感知能力、想象能力，利于培养学生对真实情境问题进行数学抽象的能力，增强运用已有经验知识构建数学模型的能力，逐步形成和发展学生的数学核心素养．
参考文献：
［１］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１８．
［２］史宁中，林玉慈，陶剑，郭民．关于高中数学教育中的数学核心素养———史宁中教授访谈之七［
Ｊ］．课程·教材·教法，２０１７，（４）：８－１４．·
８１·。