新华区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷(1)

新华区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）
A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数
B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数
C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数
D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数
2． 已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（
）
A ．∅
B ．{1，4}
C ．M
D ．{2，7}
3． 已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ）
A ．垂直
B ．平行
C ．重合
D ．相交但不垂直
4． 在ABC ∆中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]
A ．(0,
]6
π
B ．[
,)6
π
π C. (0,
]3
π
D ．[,)
3
π
π5． 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ）
A ．{x|x ＞3}
B ．{x|﹣1＜x ＜1}
C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3}
D ．{x|x ＜﹣1}
6． 已知集合，，则（ ）
{2,1,1,2,4}A =--2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,1}--{1,1,2}-{1,1}-{2,1}
--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
7． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（
）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
8． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m ），则该工程需挖掘的总土方数为（
）
A ．560m 3
B ．540m 3
C ．520m 3
D ．500m 3
9． 设是等差数列的前项和，若，则（ ）n S {}n a 5359a a =95
S
S =
A ．1
B ．2
C ． 3
D ．4
10．函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
11．抛物线y 2=﹣8x 上到焦点距离等于6的点的坐标是 ．
12．若点p （1，1）为圆（x ﹣
3）2+y
2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 13．S n =
+
+…+
= ．
14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）＝lnx － （m ∈R ）在区间[1，e]上取得m
x
最小值4，则m ＝________．
15．若展开式中的系数为，则__________．
6
()mx y +3
3
x y 160-m =【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．16．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 过点P （1，0），斜率为
，曲线C ：ρ=ρcos2θ+8cos θ．
（Ⅰ）写出直线l 的一个参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|•|PB|的值．　
18．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
19．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；
（2）设c n =（n ∈N *），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
20．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上的任意一点P （x ，y ）变换为点P ′（x ﹣2y ，x+y ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；
（Ⅱ）求圆x 2+y 2=1在矩阵M 对应的变换作用后得到的曲线C 的方程．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD E PD （1）证明：平面；
//PB AEC
（2）设，的体积，求到平面的距离.1AP =AD =P ABD -V =
A PBC
111]
22．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=2，AB=BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点．
（Ⅰ）证明：A 1O ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC 1上是否存在一点E ，使得OE ∥平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置．
新华区第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数．
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
2．【答案】D
【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，
∴集合N不可能是{2，7}，
故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
3．【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，
又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，
显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直
故选A
4．【答案】C
【解析】
考点：三角形中正余弦定理的运用.
5．【答案】C
【解析】解：当x＞0时，由f（x）＞0得2x﹣4＞0，得x＞2，
∵函数f（x）是奇函数，
当x ＜0时，﹣x ＞0，则f （﹣x ）=2﹣x ﹣4=﹣f （x ），即f （x ）=4﹣2﹣x ，x ＜0，
当x ＜0时，由f （x ）＞0得4﹣2﹣x ＞0，得﹣2＜x ＜0，即f （x ）＞0得解为x ＞2或﹣2＜x ＜0，由x ﹣1＞2或﹣2＜x ﹣1＜0，得x ＞3或﹣1＜x ＜1，
即{x|f （x ﹣1）＞0}的解集为{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3}，故选：C ．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出f （x ）＞0的解集是解决本题的关键．　
6． 【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．{2,1,1,2,4}x ∈--2log ||1{1,1,0}y x =-∈-A B = {1,1}-7． 【答案】A
【解析】解：∵0＜a ＜b ＜c ＜1，∴1＜2a ＜2，＜5﹣b ＜1，
＜（）c ＜1，
5﹣b =（）b ＞（
）c ＞（
）c ，
即M ＞N ＞P ，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．　
8． 【答案】A
【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1
），其方程为y=﹣
，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S 1==2
=4，
下部分矩形面积S 2=24，
故挖掘的总土方数为V=（S 1+S 2）h=28×20=560m 3．故选：A ．
【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．　
9． 【答案】A 【解析】1111]
试题分析：．故选A ．111]19951553
9()9215()52
a a S a a a S a +===+考点：等差数列的前项和．10．【答案】A
【解析】解：∵f
（x ）=lnx ﹣+1，
∴f ′（x ）=﹣
=
，
∴f （x ）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；且f （4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；故选A ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．　
二、填空题
11．【答案】　（﹣4，）　．
【解析】解：∵抛物线方程为y 2=﹣8x ，可得2p=8， =2．∴抛物线的焦点为F （﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P （m ，n ）到焦点F 的距离等于6，
根据抛物线的定义，得点P 到F 的距离等于P 到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n 2=8m=32，可得n=±4，
因此，点P 的坐标为（﹣4，）．
故答案为：（﹣4，
）．【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．　
12．【答案】：2x ﹣y ﹣1=0
解：∵P （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，∴圆心与点P 确定的直线斜率为=﹣，
∴弦MN 所在直线的斜率为2，
则弦MN 所在直线的方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0．故答案为：2x ﹣y ﹣1=0
13．【答案】
【解析】解：∵ =
=（
﹣
），
∴S n =
+
+…+
= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣
）=（1﹣
）
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．　
14．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝＋＝，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递1x 2m x 2
x m x +减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3 （－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－，令1－＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m e m
e
m ＝－3e.
15．【答案】2
-【解析】由题意，得，即，所以．3
3
6160C m =-3
8m =-2m =-16．【答案】　﹣21　．
【解析】解：∵等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，
∴a 1（﹣）5=1，解得a 1=﹣32，
∴S 6==﹣21
故答案为：﹣21
三、解答题
17．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为，
∴直线l的一个参数方程为（t为参数）；
∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，
∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（Ⅱ）把代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，
∴．
【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】
【解析】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N+），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，
由正弦定理得，则，
∴，得cosA=，
由余弦定理得，cosA==，
∴=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A＜π，∴sinA==，
∴△ABC的面积S===．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
19．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），a1=2，
∴，，，
∴b1=1，=2q＞0，=2q2，
又b3=3+b2．∴23=2q2，解得q=2．
∴a n=2n．
∴=a1•a2•a3…a n=2×22×…×2n=，
∴．
（2）c n===﹣=
，
∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣
+…+
=﹣2
=﹣2+
=﹣﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：设P′（x′，y′），依题意得：，
∴，∴ ；
（Ⅱ）∵点P （x ，y ）在圆x 2+y 2=1上，又
，∴
，
即得2x ′2+2x ′y ′+5y ′2=9，
∴变换作用后得到的曲线C 的方程为2x 2+2xy+5y 2=9．
【点评】本题考查逆矩阵与逆变换，注意解题方法的积累，属于中档题．　
21．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】
试
题解析：（1）设和交于点，连接，因为为矩形，所以为的中点，又为的BD AC O EO ABCD O BD E PD 中点，所以，且平面，平面，所以平面.
//EO PB EO ⊂AEC PB ⊄AEC //PB AEC
（2），由，可得，作交于.由题设知16V PA AB AD AB =
=A A V =3
2
AB =AH PB ⊥PB H BC ⊥
平面，所以，故平面，又，所以到平面的距离PAB BC AH ⊥AH ⊥PBC PA AB AH PB ==A A PBC
考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理.22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A 1A=A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ．
又由题意可知，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，
交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，
令y=1，得所以．
．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．（Ⅲ）设，
即，得
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。