丰台区2007年初三数学统一练习(一)

丰台区2007年初三统一练习（一）
数 学 试 卷
第 Ⅰ
卷 (选择题 32分)
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分)在每个小题给出的四个备选答案中，
只有一个是符合题目要求的. 1. -5的绝对值是 A.
51 B. -5
1
C. 5
D. -5 2. 废电池是一种危害严重的污染源，一粒纽扣电池可以污染600 000升水,用科学记数法表示这个数为 A. 4
6010⨯升
B. 5610⨯升
C. 6
0.610⨯升
D. 6
610⨯升
3.
在函数1
2
y x =
+中,自变量x 的取值范围是 A. 2x ≠- B. 2x >- C. 0x ≠ D. 2
x ≠
4. 如图,是一个物体的三视图,则该物体的形状是
A. 圆锥
B.圆柱
C. 三棱锥
D. 三棱柱
对于这个鞋店的经理来说最关心的是哪种型号的鞋畅销,则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是
A. 平均数
B. 众数
C. 中位数
D. 标准差
俯视图
左视图主视图
6. 小明用作函数图象的方法解二元一次方程组时,
在同一直角坐标系内作出了相应的
两个一次函数图象l 1、l 2 如图所示,他解的这个方程组是
A. 22,
112
y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ B. 22,y x y x =-+⎧⎨
=-⎩ C. 38
1
32
y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ D. 22,112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 7. 如图, AB 是⊙O 的直径, CD 是弦, 且CD ⊥AB , 若BC =6,
AC =8, 则sin ∠ABD 的值为
A. 43
B. 34
C. 45
D. 3
5
8. 如图，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50，则∠AEF 等于 Ａ．130 Ｂ．120 Ｃ．115 Ｄ．65
第Ⅱ卷 (非选择题 88分)
注
意事
项 1.第Ⅱ卷包括七道大题,考生一律用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔在试卷上按题意和
要求作答。

2.字迹要工整，卷面要整洁。

题 号 二 三 四 五 六 七 八 总 分 分 数 阅卷人 复查人
得分 阅卷人 二、填空题(共4个小题 , 每小题4分,共16分)
9． 点A （-1，y 1），B （-2，y 2）在双曲线1
y x =
上， 则y 1与y 2的大小关系是____________. 10. 有四张不透明的卡片,正面分别写有:π,10
3
, -2, 3. 除正面的数不同外,其余都
相同.将它们背面朝上洗匀后.从中随机抽取一张卡片,抽到写有无理数的卡片的概
率是__________.
11. 如图,若正方形DCFE 旋转后能与正方形ABCD 重合,那么
图形所在平面上可以作为旋转中心的点有_______个. 12. 对于整数a 、b 、c 、d 规定符号 a b ac bd d c
=-,若 1 13 4
b d <
<,则b +d =_______.
得分 阅卷人 三、(共3个小题,其中13小题4分，14、15小题每小题5分，共14分)
( 2, -2 )
1
1l 2
l 1
O
y x
O D
C
B
A
F
E D C B A
A 13. 分解因式：3222a ab a b +-. 14. 计算:10
2tan 60(51)12--++-解: 解: 15. 解方程:3132
x x x -=+-. 解: 得分 阅卷人 四、(共4个小题, 每小题5分，共20分)
16. 已知：如图，AB ∥DE , AB =DE , AF =DC .
(1) 写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.
（1）全等三角形有_______________________________；
(2) 求证：________________________.
证明：
17.已知关于x 的一元二次方程2
(1)2(1)0m x m x m +--+=有实数根,求m 的取值范围. 解：
18. 如图，要在宽为28m 的海堤公路的路边安装路灯.路灯的灯臂长为3 m ，且与灯柱成
120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面
的中线时，照明效果最理想.问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果（精确到0.01）. 解：
19. 已知:如图,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过BC 的中点D ,且DE ⊥AC 于点E .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线； (2)若∠C =30, CD =10cm , 求⊙O 的直径. （1）证明：
（2）解：
得分 阅卷人 五、(共3个小题,每小题5分，共15分)
F E D
C B
A
O
E D
C B
A
20. 如图，矩形纸片ABCD 是由24个边长为1的正方形排列而成, M 是AD 的中点. (1)沿虚线MB 剪开,分成两块纸片进行拼图.
要求: ①拼成直角三角形； ②拼成平行四边形； ③拼成等腰梯形.
将所拼图形画在相应的网格中.
① 拼成直角三角形
② 拼成平行四边形 ③ 拼成等腰梯形
(2) 能否将矩形ABCD 剪 (限剪两刀) 拼成菱形?若能,请利用下面的网格设计剪拼图
案（画出分割线即可）并写出相应的菱形的边长；若不能,请简要说明理由.
21. 为了了解学生参加体育活动的情况,某中学对学生进行了随机抽样调查,其中一个问
题是 “你平均每天参加体育活动的时间是多少?”,共有4个选项:
A.1.5小时以上
B.1～1.5小时
C.0.5～1小时
D.0.5小时以下
下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:
(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)在图①中将选项B 的部分补充完整；
A B C
D
M
(3)若该校有3000名学生,你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.
图① 图②
解:
22.已知直线l 1 ：3y x =+与 l 2 ：2y x =-交于点B , 直线l 1 与x 轴交于点A , 动点P 在线段OA 上移动（不与点A 、O 重合) . (1) 求点B 的坐标；
(2) 过点P 作直线l 与x 轴垂直, 设P 点的横坐标为x , △ABO 中位于直线l 左侧部分的
面积为S , 求S 与x 之间的函数关系式. 解： 得分 阅卷人 六、(本题满分7分)
23.如图,某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃,花圃的一边靠墙(墙的最大
可利用长度为10m ),现有篱笆长24m .设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2
. （1）求S 与x 之间的函数关系式；
（2）如果要围成面积为32m 2
的花圃, AB 的长是多少米?
（3）能围成面积比32m 2
更大的花圃吗? 如果能,请求出最大面积,并给出设计方案；
如果不能,请说明理由. 解： 得分 阅卷人 七、(本题满分8分)
D
10 % C
15 %
A
25 %B
24. 如图,在平面直角坐标系中,Rt △AOB 的顶点坐标分别为A (-2,0),O (0,0),B (0,4),
把△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转90,得到△COD .
（1）求C 、D 两点的坐标；
（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E 、F (点E 在点F 的上方)，且EF =1,使
四边形ACEF 的周长最小，求出E 、F 两点的坐标. 解：
八、(本题满分8分)
25.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C
（1）如图，在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，且∠A 求证：a 2＝b （b ＋c ）.
证明：
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍
角三角形”.（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC ，其中∠A ＝2∠B ，关系式a 2＝b （b ＋c ）是否仍然成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由.
解：
（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数. 解：
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数学试题答案及评分参考
阅卷须知：
A
c B a
b C
1.保持卷面整洁，认真掌握评分标准。

2.一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，将大题实际得分填入本题和卷首的得分栏内，要求 数字正确清楚，各题的阅卷人员和复查人员须按要求签名。

3.一个题目往往不止一种解法，如果考生的解法与此不同，可参照评分标准给分。

为了便于掌握评分标准，给出的解题过程比较详细，考生只要写明主要过程即可。

第 Ⅰ 卷 （选择题 32分）
一、（共8个小题,每小题4分,共32分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个
三、 (共3个小题, 其中13小题4分，14、15小题每小题5分，共14分) 13. 分解因式: 3
2
2
2a ab a b +-.
解: 322
2a ab a b +-
22
(2)a a ab b =-+
…………………………………………………………… 2分
2
()a a b =-. ………………………………………………………………… 4分
14. 计算: 102tan 60(51)--++
解: 102tan 60(51)--++1
12
=
+…………………………………………………………… 4分 3
2
=…………………………………………………………………… 5分
15. 解方程: 3132
x x x -=+-.
解: 去分母, 方程两边同时乘以(3)(2)x x +-, 得
(2)3(3)(3)(2)x x x x x --+=+-. …………………………………… 1分 整理,得 63x -=.…………………………………………………………… 3分
∴ 12
x =-. ……………………………………………………………… 4分
经检验, 12
x =-是原方程的解.
所以原方程的解是12
x =-. ………………………………………………… 5分
四、（共4个小题,每小题5分,共20分）
16. 已知：如图，AB ∥DE , AB =DE , AF =DC .
（1）写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明.
（1）全等三角形有 △ABF ≌△DEC ,△ABC ≌△DEF , △BCF ≌△EFC ；…… 2分
（2）求证: △ABF ≌△DEC . 证明: ∵ AB ∥DE , ∴ ∠A =∠D .……………………………… 3分
在△ABF 和△DEC 中,
,,.AB DE A D AF DC =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
…………………………… 4分
∴ △ABF ≌△DEC . ……………………………………………… 5分 17. 已知关于x 的一元二次方程2
(1)2(1)0m x m x m +--+=有实数根,求m 的取值范
围. 解: ∵ 关于x 的一元二次方程2(1)2(1)0m x m x m +--+=有实数根,
∴ 2[2(1)]4(1)0,
10.m m m m ⎧∆=---+≥⎨+≠⎩…………………………………… 2分
∴ 1240,
10.m m -+≥⎧⎨+≠⎩ ………………………………………………………… 3分
∴ 1
3
m ≤且1m ≠-. ……………………………………………………… 5分
18. 如图，要在宽为28m 的海堤公路的路边安装路灯.路灯的灯臂长为3m ，且与灯柱成
120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直.当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想.问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果（精确到0.01）. (原图略)
解: 如图,延长AD 、BC 交于点E .
∵ AD ⊥CD , AB ⊥CB , ∴ ∠EDC =∠ABE = 90. ………………………………… 1分
∵ ∠BCD =120, ∴ ∠DCE = 60,∠E = 30. ……………………………… 2分 ∴ EC = 2DC = 2×3=6 (m) . ……………………………… 3分 ∵ 路面宽为28m, ∴ AB =14 (m). 在Rt △EAB 中，∠E = 30, ∴ ∠A = 60.
∴ EB =A B ·tan A =…………………………………………………… 4分
∴ BC =BE –EC =6≈18.25(m ).
∴ 应设计高约为18.25 m 的灯柱，才能取得最理想的照明效果.……… 5分
19. 已知:如图,AB 是⊙O 的直径, ⊙O 过BC 的中点D ,且DE （1）求证:DE 是⊙O 的切线； （2）若∠C =30, CD =10cm , 求⊙O 的直径. （1）证明：联结OD ,
F E
D C
B
A E D
C B A C
∵ D 是BC 的中点, O 是AB 的中点, ∴ OD 是△ABC 的中位线.
∴ OD ∥AC . ………………………………………………………… 1分
∵ DE ⊥AC 于点E , ∴ ∠DEC = 90.
∴ ∠EDO =90, 即DE ⊥OD . ∵ D 是⊙O 上一点，
∴ DE 是⊙O 的切线. ……………………………………………… 2分 （2）解： 联结AD ,
∵ AB 是⊙O 的直径, ∴ ∠ADB = 90.
∵ OD ∥AC , OD =OB , ∴ ∠B =∠BDO =∠C =30.……… 3分 ∵ D 是BC 的中点, ∴ BD =CD =10 (cm).
∴
tan AD BD B =⋅=…………………………………… 4分
∴
2AB AD ==即⊙O
. …………… 5分
五、(共3个小题,每小题5分,共15分)
20. 如图，矩形纸片ABCD 是由24个边长为1的正方形排列而成, M 是AD 的中点.
(1)沿虚线MB 剪开,分成两块纸片进行拼图.
要求: ①拼成直角三角形； ②拼成平行四边形； ③拼成等腰梯形.
将所拼图形画在相应的网格中.
……… 3分 ① 拼成直角三角形 ② 拼成平行四边形 ③ 拼成等腰梯形
(2) 能否将矩形ABCD 剪 (限剪两刀) 拼成菱形?若能,
请利用下面的网格设计剪拼图案（画出分割线即可）， 并写出相应的菱形的边长；若不能,请简要说明理由. 答: 能将矩形ABCD 剪拼成菱形, 如图④
. 方案1中菱形的边长为5； …………… 4分
方案2中菱形的边长为…………… 5分
图 ④
21. 为了了解学生参加体育活动的情况,某中学对学生进行了随机抽样调查,其中一个问
题是 “你平均每天参加体育活动的时间是多少?”,共有4个选项:
A.1.5小时以上
B.1～1.5小时
C.0.5～1小时
D.0.5小时以下
下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:
A
C
D
M 方案 2
方案 1
（1）本次一共调查了多少名学生? （2）在图①中将选项B 的部分补充完整； （3）若该校有3000名学生,你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时
间在0.5小时以下.
图① 图②
解:（1）50÷25%=200, 本次一共调查了200名学生； …………………… 1分 （2）如图①；………………………………………………………………… 3分 （3）3000×10%=300. ……………………………………………………… 4分
估计全校可能有300名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下. ………………………………………… 5分
22.已知直线l 1 ：3y x =+与 l 2 ：2y x =-交于点B , 直线l 1 与x 轴交于点A , 动点P 在线段OA 上移动（不与点A 、O 重合) . (3) 求点B 的坐标；
(4) 过点P 作直线l 与x 轴垂直, 设P 点的横坐标为x , △ABO 中位于直线l 左侧部分的
面积为S , 求S 与x 之间的函数关系式. 解：(1) 由3,2y x y x =+⎧⎨=-⎩ 得 1,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点B 的坐标为(-1,2).……………………… 2分 (2) 设点P 的坐标为(x ,0), （3<0x -<）.
∴ 直线l 与直线l 1交于点C (x , x +3),
与直线l 2交于点D (x , -2x ).
当31x -<≤-时, 211(3)22
S AP PC x ==+ . 当10x -<<时,21132()(2)322
ABO PDO S S S x x x ∆∆=-=⨯⨯---=-. … 4分
∴ 221
(3), 31,23, 10.x x S x x ⎧+-<≤-⎪=⎨⎪--<<⎩ ……………………………………… 5分 六、（本题满分7分）
23.如图,某学校要建一个中间有两道篱笆隔断的长方形花圃,花圃的一边靠墙(墙的最大
可利用长度为10m ),现有篱笆长24m .设花圃的宽AB 为x m ,面积为S m 2
. （1）求S 与x 之间的函数关系式；
（2）如果要围成面积为32m 2
的花圃, AB 的长是多少米?
（3）能围成面积比32m 2
更大的花圃吗? 如果能,请求出最大面积,并给出设计方案；
D 10 %
C
15 % A
25 %B
l
D C l 2l 1-33
y
x
P O B
A
如果不能,请说明理由.
解：（1）∵ AB =x ,
∴ BC =24-4x . ………………………………………………………… 1分 ∴ (244)S x x =-2424x x =-+. ……………………………………… 2分
（2） 当32S =时, 242432x x -+=.
解得122, 4x x ==.………………… 3分
∵ 墙的最大可利用长度为10m ,
∴ 024410x <-≤, 762x ≤<. ∴ 12x =舍去, 4x =.
即花圃的宽AB 为4 m . ……………………………………………… 4分
（3） ∵ 224244(3)36S
x x x =-+=--+,
∴ 当x >3时, S 随x 的增大而减小. ………………………………… 5分
∵ 762
x ≤<, ∴ 当72x =时, 27=4(3)3635322
S --+=>最大. ∴ 能围成面积比32 m 2更大的花圃, 最大面积为35m 2.…………… 6分
方案：∵ 7244102
-⨯=,∴花圃的长为10米 , 宽为3.5米. …………… 7分 七、（本题满分8分）
24. 如图,在平面直角坐标系中,Rt △AOB 的顶点坐标分别为A (-2,0),O (0,0),B (0,4),
把△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转90,得到△COD .
（1）求C 、D 两点的坐标；
（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E 、F (点E 在点F 的上方)，且EF =1,使四
边形ACEF 的周长最小，求出E 、F 两点的坐标.
解：（1）由旋转的性质可知:OC =OA =2, OD =OB =4.
∴ C 点的坐标是(0,2), D 点的坐标是(4,0). …………………… 2分
（2）设所求抛物线的解析式为2
y ax bx c =++. 由题意,得420, 4,1640.a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩
解得12a =-，1b =，4c =. ∴ 所求抛物线的解析式为212
y x x =-++ （3）只需求AF+CE 最短. 抛物线2142y x x =-++的对称轴为1x = 将点A 向上平移至A 1(-2,1),则AF=A 1E. 作A 1关于对称轴1x =的对称点A 2(4,1),
联结A 2C , A 2C 与对称轴交于点E , E
可求得 A 2C 的解析式为 124
y x =-
+.……………………………… 6分 当1x =时, 74y =. ∴ 点E 的坐标为(1,
74), 点F 的坐标为(1, 34
). ………………… 8分 25.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示. （1）如图，在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，且∠A ＝60.
求证：2()a b b c =+.
证明：∵ ∠A ＝2∠B ，且∠A ＝60,
∴ 30, 90B C ∠=∠=.……………… 1分
在Rt △ABC 中, 2c b =, 222a c b =-.
∴ 2()()()(2)()a c b c b b c b b b b c =+-=+-=+.………………… 2分
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍
角三角形”.（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC ，其中∠A ＝2∠B ，关系式2()a b b c =+是否仍然成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由.
解：对于任意倍角三角形ABC ，其中∠A ＝2∠B ，关系式2()a b b c =+仍然成立. 证明:延长BA 至点D ,使AD =AC =b , 联结CD ，
则△ACD 为等腰三角形.……………………………………………… 3分
∵ ∠BAC 为△ACD 的一个外角, ∴ ∠BAC =2∠D =2∠C .
∵ ∠BAC ＝2∠B , ∴ ∠B =∠D =∠C . ∴ △ACD ∽△CBD .……………………… 4分 ∴ AD CD CD BD
=， 即b a a b c =+. ∴2()a b b c =+.…………………………… 5分
（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数. 解：若△ABC 是一个倍角三角形, 由∠A ＝2∠B , 有2()a b b c =+,且a >b . 当a c b >>时,设 1, , 1a n c n b n =+==-, (n 为大于1的正整数),
代入2()a b b c =+, 得2(1)(1)(21)n n n +=--.
解得0n =(舍去), 5n =.
∴ 6, 4, 5a b c ===.…………………………………………………… 6分
可以证明这个三角形中, ∠A ＝2∠B .
当c a b >>和a b c >>时,均不存在三条边的长恰为三个连续的正整数的
倍角三角形.………………………………………………………………… 7分
∴ 边长为4,5,6的三角形为所求.………………………………………… 8分 c b a C B A D a b A c B a b C。