数系的扩充和复数的概念

§3.1数系的扩充和复数的概念
河大附中 任岭云 教学目标：
1. 了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数单位i ；
2. 了解虚数单位与实数进行四则运算的规律；
3. 理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。

教学重点：虚数单位i ，复数的概念，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念。

教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它与实数之间仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算而得出的。

教学过程：
探究（一）数系的扩充
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，逐步产生了自然数。

之后，为了解决测量、分配等问题中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q . 那么有理数集中的数就可以度量一切长度了吗？问题：边长为 1 的正方形的对角线长是有理数吗？这个问题等价于方程22
=x 在有理数集中是否有解。

我们知道：在有理数集中，没有一个数的平方能等于2，数学家们对有理数集做了扩充，引进了新数------无理数。

并且规定：有理数和无理数之间的运算律与原来在有理数中的运算律协调一致。

至此人们把有理数系扩充到了实数系。

通过回顾数的发展史，你有什么感受呢？
通过回顾数的发展史，我们深深的体会到：生活中的问题是推动数学发展的巨大动力。

那么现在问题又来了：
探究（二）复数的概念
问题：在实数集中方程012=+x 有解吗？
思考1：你能给出一个解决问题的方案，让方程012=+x 有解吗?
因为方程012=+x 在实数集中无解，因此要想使方程012=+x 有解，就只能再次扩充数系。

我们设想引进一个新数i ，使这个新数i 是-1的平方根，即12-=i ，那么i 就是方程012=+x 的一个根。

满足12
-=i 的新数i 显然不是实数，称为虚数单位。

类比有理数系到实数系的扩充过程，虚数单位i 和实数之间的运算法则和两个实数间的运算法则完全类似。

据此： 思考2： 你能举出一些，虚数单位i 和实数之间经过运算之后所形成的数吗？
思考3：， 虚数单位i 与实数进行四则运算所形成的数，都可以用哪一种形式表示？
复数定义：把形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C.
z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部，那么复数 z ＝2－3i 的实部和虚部分别是什么？
思考4：对于复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）
当b ＝0时，z 为复数集中的实数；
当0≠b 时，复数),(R b a bi a z ∈+=叫做虚数，其中，若0,0≠=b a ，复数),(R b a bi a z ∈+=叫做纯虚数。

请想一想，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间具有怎样的包含关系？
为实数时
−−
→−=0b 复数),(R b a bi a z ∈+=
为纯虚数）
为虚数（若时z a b ,00=−−→−≠ 思考5：如何定义两个复数相等？
探究：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。

例题讲解：
例1.（口答）指出下列复数的实部与虚部. 4； i 32-； 0； i 3
421+-； i 25+； i 6 例2.（口答）请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 4； i 32-； 0； i 3421+-
； i 25+； i 6 例3.实数m 取什么值时，复数()()i m m m z 11-+-=是
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数。

例4.已知()()()()i y x x i y x y x ++-=-++3522，求实数x 与y 的值。

回顾反思：同学们，你本节课学到了那些知识？
1、 数系的扩充；
2、 复数的有关概念。

作业：课本第106页，习题3.1A 组，1,2,3题
拓展延伸：
1、 数系还能再扩充吗？
2、 作为一个新数集，如何定义复数的四则运算呢？。