高中数学人教A版必修(第二册)第六章 平面向量及其应用知识点

第六章 平面向量及其应用
1．向量的概念与向量的模
（1）向量概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．海拔、温度、角度都是数量，不是向量。

向量可以平移，与位置无关。

（2）向量的几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB →
、BC →
，…字母表示，用小写字母a →
、b →
，…表示．有向线段的长度为模，表示为|AB →
|、|a →
|．
（3）向量的模：AB →
的大小，也就是AB →
的长度（或称模），记作|AB →
|．
（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0→
，零向量的长度为0，方向是任意的．
（5）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB →
共线的单位向量是 ±
AB
→
|AB →
|
）．
（6）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
（7）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．如果a →
，b →
，c →
是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则 a →
∥b →
∥c →。

任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．平行向量没有传递性。

相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等。

（8）相反向量：与a →
长度相等方向相反的向量叫做a →
的相反向量，记作 - a →
． 2．向量的加法运算
（1）三角形法则：AB →
+BC →
=AC →
特征：首尾相接的几个向量相加，等于从首向量的起点指向末向量的终点的向量。

（2）平行四边形法则：ABCD 为平行四边形，则AB →
+AD →
=AC →
特征：同起点的两个向量相加，等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所在向量（起点不变） （3）向量的加法性质
① a →
+0→
=0→
+a →
=a →
；a →
+（−a →
）=0→
；
② a →
+b →
=b →
+a →
；
③（a →
+b →
）+c →
=a →
+（b →
+c →
）．
④ |a →
+b →
| ≤ |a →
|+|b →
| 4．向量的减法运算
法则： OA →
−OB →
=BA →
特征；同起点的两个向量相减，等于由减向量终点指向被减向量终点的向量. (一个向量等于由第三点指向终点的向量减去由第三点指向起点的向量) 5．向量数乘和线性运算
（1）向量的数乘：实数λ与向量a →
的积是一个向量，记作λa →
，它的大小为|λa →
|＝ |λ||a →
|，其方向与λ的正负有关．若|λa →
|≠0，当λ＞0时，λa →
的方向与a →
的方向相同，当λ＜0时，λa →
的方向与a →
的方向相反．当λ＝0时，λa →
与a →
平行．
对于非零向量a 、b ，当λ≠0时，有a →
∥b →
⇔a →
=λb →
. （2）向量数乘运算法则
① 1a →
=a →
；（﹣1）a →
= −a →
；
②（λμ）a →
=λ（μa →
）=μ（λa →
）；
③（λ+μ）a →
=λa →
+μa →
；
④ λ（a →
+b →
）＝λa →
+λb →
．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量，注意 a →
−a →
=0→。

一般地，λa →
+μb →
叫做a →
，b →
的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果l →
=λa →
+μb →
，则称l →
可以用a →
，b →
线性表示．
（3）向量a →
(a →
≠0→
)与向量b →
共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b →
=λa →
.
（4）A 、B 、C 三点共线 ⇔ AC →
∥AB →
⇔ AC →
=λAB →
. 6．平面向量数量积
（1）向量的夹角：对于两个非零向量a →
，b →
如果以O 为起点，作OA →
=a →
，OB →
=b →
，那么射线OA ，OB 的夹角θ叫做向量a →
与向量b →
的夹角，其中0≤θ≤π．
（2）向量的数量积：如果两个非零向量a →
，b →
的夹角为θ，那么我们把|a →
||b →
|os θ叫做a →
与b →
的数量积，记做a → •b →
即：a →•b →
=|a →
||b →
|cos θ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a →
=0． 注意：
①a →•b →
表示数量而不表示向量，符号由cos θ决定； ②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π． （3）平面向量数量积的重要性质：
设a →
，b →
都是非零向量，e →
是与b →
方向相同的单位向量，a →
与b →
和夹角为θ，则：
① a →•e →
=e →•a →
=|a →
|cos θ；
② a →
⊥b →
⇔ a →•b →
=0；（判定两向量垂直的充要条件）
③ 当a →
，b →
方向相同时，a →•b →
=|a →
||b →
|；当a →
，b →
方向相反时，a →•b →
=−|a →
||b →
|；
特别地：a →
•a →
=|a →|2
或|a →
|=√a →•a →
（用于计算向量的模）
④ cos θ=
a →•b
→
|a →||b →
|
（θ为锐角 ⇔ a •→
b →
>0且a →
•b →
≠|a →
||b →
|； θ为钝角 ⇔ a →•b → < 0且a →•b →
≠−|a →
||b →
|）
⑤ |a → •b →
|≤|a →
||b →
|
（4）平面向量数量积的运算律
①交换律：a →•b →
=b →
•a →
；
②数乘向量的结合律：（λa →
）•b →
=λ（a →•b →
）=a →
•（λb →
）；
③分配律：（a →
+b →
）•c →
=a →•c →+b →
•c →
（5）平面向量数量积的运算性质
①（a →
± b →
）2
=a →2
± 2a →•b →
+b →2
．
②（a →
−b →
）•
（a →
+b →
）=a →2
−b →2
． ③ a →
•（b →•c →
）≠（a →•b →
）•c →
，
（6）投影：b →
在a →
上的投影是一个数量|b →
|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（7）投影向量：a →
在b →
上的投影向量等于|a →
|cos θe →
（其中e →
为与b →
同向的单位向量）
7．平面向量基本定理
如果e 1→
、e 2→
是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量a →
，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a →
=λ1e 1→
+
λ2e 2→．我们把{e 1→
，e 2→
}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
8．平面向量的坐标运算
（1）平面向量的坐标表示：a →
=（x ，y ）表示以原点为起点，以（x ，y ）为终点的向量． （2）平面向量的坐标运算：
①若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB →
=（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）
②若a →
=（x ，y ）则 |a →
|=
√x 2+y 2，a →2=|a →|2
=x 2
+y 2，λa →
=（λx ，λy ）
③若a →
=（x 1，y 1），b →
=（x 2，y 2），则：
a →
+b →
=（x 1+x 2，y 1+y 2）；a →
−b →
=（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）；a →•b →
= x 1x 2+y 1y 2。

④平面向量平行的坐标表示：若a →
=（x 1，y 1），b →
=（x 2，y 2），则 b →
∥a →
（a →
≠0→
）⇔ b →
=λa →
⇔ x 1y 2﹣x 2y 1＝0．
⑤平面向量垂直的坐标表示：若a →
=（x 1，y 1），b →
=（x 2，y 2），则 b ⊥→
a →
⇔ a →•b →
=0 ⇔ x 1x 2+ y 1y 2＝0．
⑥向量的夹角公式： cos θ=
a →•b
→
|a →||b →
|
=
1212
√1212•√222
2
9．向量中一些常用的结论： （1）在ABC ∆中，
①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33
x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪
⎝
⎭。

②1()
3
PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；
③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；
④向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；
（2）向量PA →
、PB →
、PC →
三终点A 、B 、C 共线⇔存在实数λ、μ使得PA →=λPB →+μPC →
且λ+μ=1.
10．三角形中的重要结论
① 在三角形中，大边对大角，中边对中角，小边对小角，等边对等角。

()B A B A b a sin sin >⇔>⇔> ② 在三角形中，只有最大的角才可能是钝角或直角，当然也可以是锐角，中间的角和最小的角一定为锐角。

③ 三角形内角的正弦值一定大于0，锐角的余弦值大于0，直角的余弦值等于0，钝角的余弦值小于0. 11．三角形中的诱导公式
()()()C B A B C A A
C B sin sin sin sin sin sin =+=+=+ ()()()B C A C B A A
C B cos cos cos cos cos cos -=+-=+-=+ ()()()B
C A C B A A C B tan tan tan tan tan tan -=+-=+-=+
2sin 2cos 2cos
2sin C B A C
B A =+=+
12．正弦定理和余弦定理三角形常用面积公式 定理 正弦定理
余弦定理 内容
a sinA
=b sinB
=c sinC
=2R
（ R 是△ABC 外接圆半径）
a 2＝
b 2+
c 2﹣2bc cos A ， b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C
变形 形式
① a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ② sin A =a 2R ，sin B =b 2R ，sin C =c
2R ； ③ a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A ④ a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；a
b =
sinA sinB
⑤
a
sinA
=
a+b sinA+sinB
=
a+b+c sinA+sinB+sinC
cos A =b 2
+c 2−a 2
2bc ， cos B =a 2+c 2−b 2
2ac ，
cos C =a 2+b 2
−c 2
2ab
解决 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ①已知三边，求各角；
三角形的问题②已知两边和一边对角，求另一边和其他两角
③边角互化
②已知两边和一角，求第三边和其他两角
13．三角形常用面积公式
S=1
2ab sin C=
1
2ac sin B=
1
2bc sin A =
abc
4R
=
1
2
（a+b+c）r
14．三角形解的个数的判断
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则:
平面向量基础知识练习题
1、与a →
共线的单位向量是__________，a →
的相反向量是__________ 2、平行向量也叫__________
3、AB →
+BC →
=_________ OA →
−OB →
=_________ a →
−a →
=____
4、 |a →
+b →
| ___ | a →
| + | b →
|
5、向量a →
(a →
≠0→
)与向量b →
共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_________ 6、A 、B 、C 三点共线 ⇔ AC →
∥AB →
⇔ ________ 7、a →•b →
=________ a →2
= _________ 0→•a →
=__________
8、a →
，b →
方向相同 ⇔ _______________________ a →
，b →
方向相反 ⇔ __________
a →，
b →
夹角θ为锐角 ⇔ ______________________ a →
，b →
夹角θ为直角 ⇔ ____________ a →
，b →
夹角θ为钝角 ⇔ _____________________
9、b →
在a →
上的投影= ____________ ， e →
为与b →
同向的单位向量，a →
在b →
上的投影向量等于______________ 10、平面向量基本定理：如果e 1→
、e 2→
是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量a →
，
有且仅有一对实数λ1、λ2，使__________．我们把{e 1→
，e 2→}叫做表示这一平面内所有向量的一个_______
11、平面向量的坐标运算：
①若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB →
=__________
②若a →
=（x ，y ）则 |a →
|=__________ ，a →2
=__________，λa →
=__________
③若a →
=（x 1，y 1），b →
=（x 2，y 2），则：a →
+b →
=__________；a →
−b →
=__________；a →•b →
=__________ ④平面向量平行的坐标表示：若a →
=（x 1，y 1），b →
=（x 2，y 2），则 b →
∥a →
（a →
≠0→
）⇔__________ ． ⑤平面向量垂直的坐标表示：若a →
=（x 1，y 1），b →
=（x 2，y 2），则 b ⊥→
a →
⇔ __________． ⑥向量的夹角公式： cos θ=__________=__________
12、向量PA →
、PB →
、PC →
三终点A 、B 、C 共线 存在实数λ、μ使得PA →
=λPB →
+μPC →
且__________
13、下列运算错误的是_________ (1) a →
+0→
=0→
+a →
=a →
；a →
+（−a →
）=0→
； (2) a →
+b →
=b →
+a →
；
(3)（a →
+b →
）+c →
=a →
+（b →
+c →
）． (4)（λμ）a →
=λ（μa →
）=μ（λa →
）； (5)（λ+μ）a →
=λa →
+μa →
； (6) λ（a →
+b →
）＝λa →
+λb →
． (7) |a →•b →
|≤|a →| |b →
|
(8)（λa →
）•b →
=λ（a →•b →
）=a →
•（λb →
）； (9)（a →
+b →
）•c →
=a →•c →+b →
•c →
(10)（a →
± b →
）2 =a →2
± 2a →•b →
+b →2
． (11)（a →
−b →
）•（a →
+b →
）=a →2
−b →2
． (12) a →
•（b →•c →
）=（a →•b →
）•c →
，
11。