辽宁省八校2024-2025学年高三上学期12月联合教学质量检测数学试题+答案

2024-2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测
高三数学试卷
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设i 为虚数单位，若z =2-i
i 3
，则z =(
)
A.2+i
B.2-i
C.1+2i
D.1-2i
2.已知cos α1+sin α=-3，则cos α
sin α-1的值为
(
)A.
33
B.-33
C.
3
D.-3
3.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有( )个奇数A.1012
B.1348
C.1350
D.1352
4.在△ABC 中，H 为BC 的中点，M 为AH 的中点，若AM =λAB +μAC ，则λ+μ等于
(
)
A.
2
3
B.
12
C.
1
6
D.
13
5.已知a =log 35，b =log 23，c =e ln 43
，则
(
)
A.a <b <c
B.c <b <a
C.b <c <a
D.c <a <b
6.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿
一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为13
，不下雨的概率均为
23
，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为()A.
16
81
B.
20
81
C.
827
D.
2881
7.已知直线l :4x +3y +5=0与圆C :(x -4)2+(y -3)2=4，点P ,Q 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，当P A 取最小值时，则QA +QB 的最小值为(
)
A.
31
B.231
C.82
D.233
8.在平行四边形ABCD 中，DA =DB ，E 是平行四边形ABCD 内(包括边界)一点，DE ⋅DA DA =DE ⋅DB
DB
，若CE =xCB +yCD ，则x +y 的取值范围为()A.1,2
B.
1,32
C.12,32
D.0,1
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.对任意A ,B ⊆R ，记A ⊕B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，并称A ⊕B 为集合A ,B 的对称差．例如：若A =1,2,3 ,B =2,3,4 ，则A ⊕B =1,4 ．下列命题中，为真命题的是()
A.若A ,B ⊆R 且A ⊕B =B ，则A =∅
B.若A ,B ⊆R 且A ⊕B =∅，则A =B
C.若A ,B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆B
D.存在A ,B ⊆R ，使得A ⊕B ≠∁R A ⊕∁R B
10.在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 为AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折至△A 1DE 的位置，使得二面角A 1-DE -C 为直二面角，若P 为线段A 1C 的中点，则
(
)
A.BP ⎳平面A 1DE
B.DP ⊥EC
C.异面直线PB ，A 1D 所成的角为
π3
D.A 1B 与平面PBD 所成角的余弦值为427
11.随机事件A ，B 满足P A =
12，P B =23，P A B =3
4
，则下列说法正确的是(
)
A.P AB =P A P B
B.P A B =
3
8
C.P A +B =
34
D.P AB A +B P A
B =P 2A P 2B
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知数列a n 的通项公式为a n =tn 2-78t +174 n +172
,n ≤2t n
,
n >2
，若数列a n 是单调递
增数列，则实数t 的取值范围是.
13.已知函数f (x )=2sin ωx +π
4
(ω>0)在区间0,1 上的值域为m ,n ，且n -m =3，则ω的值为
.
14.欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式e iθ=cos θ+i sin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式e i π+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数--自然对数的底数e ，圆周率π，两个单位--虚数单位i 和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：e iθ=cos θ+i sin θ，将复数e
i π3
+e i π表示成a +bi (a ,b ∈R ,i 为虚数单位)的形式
；若z n =1，则z =z k (k =0,1,2,⋯,n -1)，这里z k =cos 2k πn +i sin 2k π
n
(k =0,1,2,
⋯,n -1)，称z k 为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得x 5-1=(x -1)x 4+x 3+x 2+x 1+1 ，复数z =e
2πi
5
，则z -2 z 2-2 z 3-2 z 4-2 的值是
．
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知数列a n 的前n 项和S n =na n -3n (n -1)，n ∈N *，且a 3=17．(1)求a 1；
(2)求数列a n 的前n 项和S n ；
(3)设数列b n 的前n 项和T n ，且满足b n =
n S n ，求证：T n <23
3n +2．
16.在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且
cos C c =-cos A
a +2b
.
(1)求角C 的大小；
(2)若AC =BC =2，如图，D ,E 是AB 上的动点，且∠DCE 始终等于30°，记∠CED =α.当α为何值时，△CDE 的面积取到最小值，并求出最小值.
17.如图，在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ,CD ∥EF ,AB =DE =EF =CF =2,CD =4,AD =BC =10,AE =23，M 对CD 的中点.
(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；
(2)求平面AEM 与平面BEM 所成角的正弦值；
(3)设点N 是△ADM 内一动点，ND ⋅NM
=0，当线段AN 的长最小时，求直线EN 与直线BF 所成角的余弦值.
18.已知A ，B 分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的左、右顶点，点P 22,n 是双曲
线C 上的一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=|AB |=4.(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知过点(4,0)的直线l :x =my +4，交C 的左，右两支于D ，E 两点(异于A ，B ).(i )求m 的取值范围；
(ii )设直线AD 与直线BE 交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.19.已知函数f x =x 2e x ,g x =ln x .(1)求函数y =f (x )的单调区间；
(2)若曲线y =e x +m 与y =g x +1 存在两条公切线，求整数m 的最小值；
(3)已知a ∈-1e ,0 ，函数h x =x -1 g x -1 -a
x
有3个零点为：x 1,x 2,x 3，且x 1<x 2
<x 3，证明：x 1+x 2+x 3>2
e
.
参考答案
1．D
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【详解】z =
2-i i 3
=2-i
-i =1+2i ，
故z
=1-2i ．
故选：D ．2．A
【分析】由cos α1+sin α⋅cos α
sin α-1
=-1即可求解.
【详解】因为cos α1+sin α⋅cos αsin α-1=cos 2αsin 2α-1=1-sin 2αsin 2α-1=-1，且cos α
1+sin α=-3，
所以cos αsin α-1=33
.
故选：A 3．C
【分析】对数列中的数进行归纳，发现规律，结合题意得到答案.
【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，又2022=3×674，故该数列前2024项有2×674+2=1350个奇数.故选：C 4．B
【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出λ,μ的值即可.【详解】在△ABC 中，H 为BC 的中点，M 为AH 的中点，
则AM =12AH =12×12AB +AC ，所以λ=μ=14，λ+μ=12
.
故选：B 5．D
【分析】利用对数函数的单调性以及基本不等式比较大小.【详解】由已知得c =e
ln 4
3
=
43
，比较a =log 35和c =4
3的大小，其中c =43
=log 334
3，
因为53
=125>3
43
3=81，所以53>34
3，
又因为y =log 3x 在0,+∞ 单调递增，所以a =log 35>c =log 334
3
，即a >c ；比较b =log 23和c =log 224
3
的大小，其中33
=81>2
43
3=16，即3>243
，
因为y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，所以b =log 23>c =log 224
3
，即b >c ；比较a =log 35，b =log 23的大小，因为a =log 35<log 327=log 333
2=
32，b =log 23>log 222=log 223
2=32
，
所以a <b ，即c <a <b ，故选：D .6．D
【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.
【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.
(1)4次均不下雨，概率为：23
4
=
16
81
；(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：2×13×2
3
3
=
16
81
；(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：
①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；
概率为：2×13
2
×2
3
2
+
13×23×13×23+13×23×23×13=16
81
；(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为：2×
1
3
3
×
23=481
；(5)4次均下雨，概率为：13
4
=1
81；
两天都不淋雨的概率为：1681+1681+1681+481+181=53
81
，所以至少有一天淋雨的概率为：1-5381=28
81
.
故选：D .7．C
【分析】由切线长公式知当PC ⊥l 时，P A 最小，结合点到直线距离公式求得P A 的最小值，然后作A 关于直线l 的对称点A ，可知当点Q 为A B 与直线l 的交点时，QA +QB 最小，由对称知，此时P 与Q 重合，从而易得最小值．
【详解】由C :(x -4)2
+(y -3)2
=4可知圆心为4,3 ，半径r =2，由题意P A =
PC
2-AC 2=PC
2
-4，
所以当PC ⊥l 时，P A 取最小值，由点到直线的距离公式可得PC min =4×4+3×3+5
16+9
=6，
此时P A =PB =
36-4=42，
过A 作直线l 的对称点A ，连接QA ，A B ，A B 与直线l 的交点即为所求的点Q ，由于P A 与PB 关于直线PC 对称，PC ⊥l ，P A 与P A 关于直线l 对称，因此P A 与A B 就是同一条直线，即点P 即为所求的点Q ，所以QA +QB 的最小值为2PB =82.故选：C
8．B
【分析】先根据题意，得到点E 的轨迹，然后利用向量计算即可.
【详解】因为DE ⋅DA DA =DE ⋅DB
DB
得DE cos ∠EDA =DE
cos ∠EDB ，即cos ∠EDA =cos ∠EDB
所以点E 在∠BDA 的角平分线上，设AB 的中点为M
因为DA =DB ，所以点E 在线段DM 上，
不妨设DE =λDM
,λ∈0,1 ，
所以CE =CD +λDM
易知DM =DA +AM =CB -12
CD
所以CE =CD +λCB -12CD =1-λ2
CD
+λCB
因为CE =xCB +yCD
所以x +y =1-λ2+λ=1+λ
2
因为λ∈0,1
所以x +y =1+λ2
∈1,32
故选：B
【点睛】关键点点睛：DE ⋅DA DA =DE ⋅DB
DB
表示了DA ,DB 两个向量的角平分线.
9．AB
【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可．【详解】解：对于A ，因为A ⊕B =B ，所以B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，所以A ⊆B ，且B 中的元素不能出现在A ∩B 中，因此A =∅，即A 正确；对于B ，因为A ⊕B =∅，所以∅=x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，即A ∪B 与A ∩B 是相同的，所以A =B ，即B 正确；
对于C ，因为A ⊕B ⊆A ，所以x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ⊆A ，
所以B ⊆A ，即C 错误；对于D ，由于
∁R A ⊕∁R B =x |x ∈∁R A ∪∁R B ,x ∉∁R A ∩∁R B
=x x ∈∁R A ∩B ,x ∉∁R A ∪B =x |x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，
而A ⊕B =x x ∈A ∪B ,x ∉A ∩B ，故A ⊕B =∁R A ⊕∁R B ，即D 错误．故选：AB ．10．AC
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法证明线面关系即可判断A ,B 选项；用向量法分别表示
向量PB ,A 1D ,A 1B ，以及求出平面PBD 的法向量，代入异面直线所成的角的向量公式可判断C 选项，代入直线与平面所成角的余弦公式即可判定D 选项.【详解】如图，建立空间直角坐标系，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，C (2,3,0)，D (0,3,0)，
P 1,
32,1
2
.对于A ，因为BP =0,32,12
，平面A 1DE 的一个法向量为m =(1,0,0)，
所以BP ⋅m
=0，所以BP ⎳平面A 1DE ，故A 正确.
对于B ，因为DP =1,-32,1
2
，EC =(2,3,0)，
所以DP ⋅EC =12
≠0，
所以DP ，EC 不垂直，故B 错误.
对于C ，因为PB =0,-32,-12 ，A 1D =(0,3,-1)，
所以cos PB ,A 1D =PB ⋅A 1D
PB A 1D =1
2，
所以异面直线PB ，A 1D 所成的角为π
3，故C 正确.
对于D ，设平面PBD 的法向量为n
=(x ,y ,z )，
因为BP =0,32,12
，BD =(-1,3,0)，
所以n ⋅BP =32y +12z =0,n
⋅BD =-x +3y =0,
令x =3，得n =3,1,-3 .设A 1B 与平面PBD 所成的角为θ，因为A 1B
=(1,0,-1)，
所以sin θ=cos A 1B ,n =A 1B ⋅n
A 1
B n =
23
7×2
=
427
，cos θ=1-sin 2
θ=
1-427
2
=
77
，故D 错误.故选：AC .11．CD
【分析】根据题意由相互独立事件的概率性质分析可判断A ，B ；由概率加法公式可分析C ；计算P AB A +B ，验证P AB A +B P A
B =P 2A P 2B 是否正确即可判
断D .
【详解】由已知P A =12，P B =13，
因为P A B =P A B P B
=34，所以P A B =P A B P B =34×13=1
4，
所以P AB =P B -P A B =13-14=1
12
，
所以P AB ≠P A P B ，故A 错误；
因为P A B =P A -P A B =12-14=1
4
，故B 错误；
P A +B =P A +P B -P AB =12+13-112=3
4，故C 正确；
P AB A +B =P AB P A +B
=1
12
34
=19，
又P A B =14，P A =12，P B =13
，
所以P AB A +B P A
B =P 2A P 2B ，故D 正确.
故选：CD .
【点睛】方法点睛：解决本题的关键是概率的性质和应用，以及条件概率的计算.12．2,+∞
【分析】根据是递增数列以及解析式，可得a 的范围，又a 3>a 2>a 1，代入求解，即可求得答案.
【详解】因为数列a n 是递增数列，当n >2时，a n =t n ，可得t >1，
当n ≤2时，a 1<a 2，即t -78t +174 +172<4t -278t +174 +17
2，解得t >2，又a 3>a 2，所以t 3>4t -278t +174 +172，解得t >32或-3
2
<t <0.
综上，实数t 的取值范围是2,+∞ .
故答案为：2,+∞ .13．
11π
12
【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.
【详解】x ∈0,1 ，故ωx +π4∈π4,ω+π4
，因为f (x )=2sin ωx +
π
4
在区间0,1 上的值域为m ,n ，且n -m =3，故必有n =2,m =-1,
，
如图所示，则ω+π4=7π6,故ω=11π
12
.故答案为：11π
1214．
-12+32
i 31
【分析】根据欧拉公式直接可得求出第一空；根据单位根的概念，代入化简即可求出第二空.【详解】e i π3
=cos
π3+i sin π3=12+32
，e i π
=cosπ+i sinπ=-1，所以e i π3+e i π=-12+32
i ，
由题意可得z 5=1，
所以z 5-1=(z -1)z 4+z 3+z 2+z 1+1 =0，
又因为z ≠1，所以z 4+z 3+z 2+z 1+1=0，则z -2 z 2-2 z 3-2 z 4-2
=z -2 z 4-2 z 2-2 z 3-2 =z 5+4-2z -2z 4 z 5+4-2z 2-2z 3 =5-2z -2z 4 5-2z 2-2z 3
=25-10z 2-10z 3-10z +4z 3+4z 4-10z 4+4z 6+4z 7=25-10z 2-10z 3-10z +4z 3+4z 4-10z 4+4z +4z 2=25-6z 4+z 3+z 2+z 1 =31-6z 4+z 3+z 2+z 1+1 =31.
故答案为：-
12+3
2
i ；31.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.15．(1)a 1=5(2)S n =3n 2+2n
(3)证明见解析
【分析】(1)令n =2，n =3解方程即可求解，(2)利用S n ，a n 的关系，作差可得等差数列，即可求解，(3)利用放缩法可得b n <23n +2+3n -1
=2
3(3n +2-3n -1)，即可利用累加法求解.
【详解】(1)在S n =na n -3n (n -1)，n ∈N *中，a 3=17，令n =2，n =3可得
a 1+a 2=2a 2-6a 1+a 2+a 3=3a 3-18 ⇒a 2-a 1=6
a 1+a 2=16 ，
∴a 1=5．
(2)S n =na n -3n (n -1)，①
当n ≥2时，S n -1=(n -1)a n -1-3(n -1)(n -2)，②
①-②可得
a n =na n -(n -1)a n -1-6(n -1)⇒(n -1)a n =(n -1)a n -1+6(n -1)(n ≥2)，
∴a n =a n -1+6，
∴a n 是公差为6的等差数列，∴a n =a 1+6(n -1)=6n -1，
∴S n =na n -3n (n -1)=n (6n -1)-3n (n -1)=3n 2+2n ．(3)证明：由(2)可得b n =n 3n 2
+2n
=1
3n +2，
∴b n =
13n +2=2
23n +2
<
23n +2+3n -1
=2
3(3n +2-3n -1)，∴T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n <2
3
[(5-2)+(8-5)+⋅⋅⋅+(3n +2-3n -1)]
=2
3(3n +2-2)<23
3n +2．16．(1)C =120°
(2)α=75°，最小值为2-
3
【分析】(1)根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；
(2)在△ACE 中，根据正弦定理表示出CE ，在△BCD 中，根据正弦定理表示出CD ，根据三角形面积公式得到△CDE 的面积，即可求出结果.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理可得
cos C sin C =-cos A
sin A +2sin B
，
所以sin A cos C +2sin B cos C =-cos A sin C ，所以sin A +C =-2sin B cos C ，即得sin B =-2sin B cos C ，
因为0°<B <180°，所以sin B >0，所以cos C =-1
2
，
因为0°<C <180°，所以C =120°；
(2)因为AC =BC =2，由(1)知C =120°，所以A =B =30°，
在△ACE 中，由正弦定理可得
AC sin α=CE sin30°
，所以CE =1
sin α，在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin 150°-α =CD sin30°，所以CD =1
sin 150°-α
，
所以S △CDE =12⋅CD ⋅CE ⋅sin30°=14sin αsin 150°-α =1
2sin 2α-60° +3
，
因为0<α<150°，所以0<2α-60°<240°，
当sin 2α-60° =1时，S △CDE 取得最小值2-3，此时2α-60°=90°，即α=75°，
所以当α=75°时，△CDE 的面积取到最小值，最小值为2-
3.
17．(1)证明见解析
(2)
43
13(3)32
.
【分析】(1)取DM 的中点O ，证明AO ⊥OE ,AO ⊥DM ,EO ⊥DM ，然后得线面垂直，再得面面垂直；
(2)以O 为坐标原点，分别以OE ,OC ,OA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；
(3)由向量的数量积为0，确定N 的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角．
【详解】(1)取DM 的中点O ，连结OA ,OE ，
由已知得，△EMD 是边长为2的等边三角形，△ADM 是以AD =AM =10为腰的等腰
三角形，
则OE ⊥DM ,OA ⊥DM ,OA =3,OE =
3，故AO 2+OE 2=AE 2,
故OA ⊥OE ,OE ∩DM =O ,OE ⊂平面CDEF ,DM ⊂平面CDEF ，所以OA ⊥平面CDEF ，又OA ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF ；
(2)以O 为坐标原点，分别以OE ,OC ,OA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 0,0,3 ,E 3,0,0 ,M 0,1,0 ,B 0,2,3 ，BE =(3,-2,-3)，AE =3,0,-3 ,EM =-3,1,0 ,MB
=0,1,3 ，
设平面AEM 的法向量为n
=x ,y ,z ，
则n ⋅AE =0n ⋅EM =0
，即3x -3z =0-3x +y =0 ，取z =1，则n
=3,3,1 ，
设平面BEM 的一个法向量为m
=a ,b ,c ，
由m ⋅EM
=-3a +b =0m ⋅BE =3a -2b +3c =0
，取a =3，得m =3,3,-1 ，
所以cos m ,n =m ⋅n m ⋅n
=11
13
，因为m ,n ∈0,π
sin <m ,n >=4313
，
故平面AEM 与平面BEM 所成角的正弦值为
43
13
.(3)点N 是△ADM 内一动点且ND ⋅NM
=0，则点N 在以DM 为直径的圆上，
当线段AN 的长最小时，点N 在AO 与圆的交点处，此时N 0,0,1 ，
EN =-3,0,1 ,BF
=3,0,-3 ，
设直线EN 与直线BF 所成角为θ，
所以cos θ=cos EN ,BF =EN ⋅BF
EN BF
=3
2，
所以直线EN 与直线BF 所成角得余弦值为
32
.18．(1)x 2
4-y 216
=1
(2)(i )m <-12或m >1
2
；(ii )证明见解析
【分析】(1)根据k 1k 2=|AB |=4求出a =2，n 2
=16，从而得到(22)24-16
b
2=1，求出
b 2=16，得到双曲线方程；
(2)(i )由题意知直线l 的方程为x =my +4，D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，联立双曲线方程，结合
根的判别式和y 1y 2>0得到不等式，求出m 的取值范围；
(ii )在(i )的基础上，得到两根之和，两根之积，得到y 1y 2=-3y 1+y 2
2m
，表达出直线AD 和
直线BE 的方程，联立得到x =2my 1y 2+2y 1+6y 2
3y 2-y 1，将y 1y 2=-3y 1+y 2 2m
代入，化简得
到x =1，得到答案.
【详解】(1)由题意可知A (-a ,0)，B (a ,0)，因为|AB |=2a =4，所以a =2.
因为P (22,n )，k 1k 2=n 22+2⋅n 22-2=n 2(22)2-4
=n 24=4，得n 2=16，
又因为P(22,n)在双曲线上，则(22)2
4
-16
b2
=1，
所以b2=16.
所以双曲线C的方程为x2 4
-
y2
16
=1.
(2)(i)由题意知直线l的方程为x=my+4，D x1,y1
，E x2,y2
.
联立
x
2
4
-y2
16
=1
x=my+4
，
化简得4m2-1
y2+32my+48=0，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以y1y2>0，
即m满足：
4m2-1≠0
32m
2-1924m2-1
>0
y1y2=48
4m2-1
>0
，
所以m<-
1
2或m>
1
2.
(ii)y1+y2=
-32m
4m2-1，
y1y2=
48
4m2-1，则
y1y2=-
3y1+y2
2m，
直线AD的方程为y=
y1
x1-2
(x-2)，直线BE的方程为y=y2
x2-2
(x-2).联立直线AD与BE的方程，得
y1
x1+2
(x+2)=
y2
x2-2
(x-2)，
所以
y2
my2+2
-
y1
my1+6
x=2y1
my1+6
+
2y2
my2+2，
所以6y2-2y1
x=4my1y2+4y1+12y2，
所以x=
2my1y2+2y1+6y2
3y2-y1
=
-3y1-3y2+2y1+6y2
3y2-y1
=
3y2-y1
3y2-y1
=1，所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线x=1上
【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的.19．(1)单调递增区间是-∞,-2 和0,+∞ ，单调递减区间是-2,0 (2)-1(3)证明见解析
【分析】(1)先求导，然后根据导函数的正负判断f x 的单调性，由此可确定出单调区间；(2)根据条件写出切线方程，通过联立思想求解出m 关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数m 的最小值；
(3)将问题转化为方程x -1 g x -1 =a
x
有三个根x 1,x 2,x 3，借助图象分析出x 1,x 2,x 3的范围，然后通过转化将待证明的问题变为证明x 2-1 ln x 2-1 -2e +1-x 2 ln 2
e +1-x 2 >0，再通过构造函数分析单调性和最值完成证明.【详解】(1)
f x =2xe x +x 2e x =x x +2 e x ，令f x =0，解得x =0或x =-2，
当x ∈-∞,-2 时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈-2,0 时，f x <0，f x 单调递减，当x ∈0,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增，
所以f x 的单调递增区间是-∞,-2 和0,+∞ ，单调递减区间是-2,0 .(2)设切线分别与y =e
x +m
和y =ln x +1 交于A x 4,e x 4+m ,B x 5,ln x 5+1 ，
y =e
x +m
的导数为y =e
x +m
，y =ln x +1 的导数为y =
1
x +1
，所以A 处切线方程为y =e x 4
+m x -x 4 +e x 4
+m ，B 处切线方程为y =1
x 5+1
x -x 5 +
ln x 5+1 ，由公切线可知，
e x 4
+m =1x 5
+1
⇔x 4+m =-ln x 5+1 e
x 4+m
-x 4e
x 4+m
=ln x 5+1 -x 5
x 5
+
1 ，
所以
1
x 5+1--ln x 5+1 -m x 5+1=ln x 5+1 -x 5x 5+1
，化简可得m =x 5ln x 5+1 -x 5-1，
因为公切线有两条，所以m =x 5ln x 5+1 -x 5-1x 5>-1 有两个根；设t x =x ln x +1 -x -1x >-1 ，所以t x =ln x +1 +
x
x +1
-1=ln x +1 -
1
x +1
，因为y =ln x +1 ,y =-
1
x +1
均在-1,+∞ 上单调递增，所以t x =ln x +1 -1
x +1
在-1,+∞ 上单调递增，且t 0 =-10,t 1 =ln2-12 ln e -1
2
=0，所以存在唯一x 0∈0,1 使得t x 0
=0，
当x ∈-1,x 0 时，t x <0，t x 单调递减，当x ∈x 0,+∞ 时，t x >0，t x 单调递增，
所以t x min =t x 0 =x 0ln x 0+1 -x 0-1且ln x 0+1 -1
x 0+1
=0，
所以t x min =t x 0 =
x 0x 0+1-x 0-1=-x 0+1+1
x 0+1
+1，
由对勾函数性质可知y =x 0+1+1
x 0+1
在x 0∈0,1 时单调递增，
所以x 0+1+1x 0+1∈2,52 ，所以t x min =t x 0 ∈-3
2
,-1 ，
且x →-1时，t x →+∞，x →+∞时，t x →+∞，
所以若m =t x 有两个根，则m >t x 0 ，故整数m 的最小值为-1.
(3)h x =x -1 g x -1 -a
x
的定义域为-∞,-1 ∪1,+∞ ，由题意可知，x 1,x 2,x 3是方程x -1 g x -1 =a
x
的三个根；
当x ∈-∞,-1 时，令p x =x -1 ln -x -1 ，所以p x =ln -x -1 +
x -1
x +1
，令r x =ln -x -1 +x -1x +1，所以r
x =1x +1+x +1-x -1 x +1
2=1x +1+2x +1 2=x +3
x +1 2
，当x ∈-∞,-3 时，r x <0，r x 单调递减，当x ∈-3,-1 时，r x >0，r x
单调递增，
所以r x min =r -3 =ln2+2>0，所以p x min =p -3 =ln2+2>0，所以p x 在-∞,-1 上单调递增，且p -2 =0；
当x ∈1,+∞ 时，令q x =x -1 ln x -1 ，所以q x =ln x -1 +1，由q x =
0解得x =1+
1
e ，当x ∈1,1+1e 时，q x <0，q x 单调递减，当x ∈1+1
e
,+∞ 时，q x >0，
q x 单调递增，
且q 1+1e =1e ln 1e =-1
e
<0，q 2 =0，
作出y =x -1 ln x -1 ,y =a
x 的简图如下图所示，
由图象可知，-2<x 1<-1,1<x 2<1+1
e
<x 3<2，要证x 1+x 2+x 3>2
e ，只需证x 2+x 3>2e +2，即证x 3>2e
+2-x 2，因为1<x 2<1+
1
e ，所以1+1e <2e +2-x 2<2e
+1<2，又因为q x =x -1 ln x -1 在1+1
e ,2
上单调递增，所以只需证q x 3 >q
2
e +2-x 2 ，
且q x 3 =q x 2 ，所以只需证q x 2 >q 2
e +2-x 2 ，即证x 2-1 ln x 2-1 -2e +1-x 2 ln 2e +1-x 2 >0(*)；
设s x =x -1 ln x -1 -2e +1-x ln 2e +1-x x ∈1,1+1
e ，
所以s x =ln x -1 +x -1x -1--1 ln 2e +1-x -2e +1-x ⋅1
2e
+1-x
⋅
-1 ，
所以s x =ln x -1 +ln 2e +1-x +2=ln x -1 2e
+1-x +2，因为y =x -1 2e +1-x =-x 2+2+2e x -2e +1 ，对称轴x =1+1
e
且开口
向下，
所以y =x -1 2e +1-x 在1,1+1e 上单调递增，所以s x <ln 1+1e -1 +ln 2e +1-1-1e +2=0，所以s x 在1,1+
1
e
上
单调递减，所以s x >s 1+1e
=
1e ln 1e -1e ln 1e =0，所以s x >0对x ∈1,1+1e
恒成
立，
所以(*)成立，即x 1+x 2+x 3>
2
e
成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；(3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；(4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
答案第1页，共2页。