梁的支座及边界条件

1
M
1
I
I
M
2 2
a
I1
I1
l1 l1
(a)
(a)
0
0
(b) (b)
0
0
I
2
q
a1
I
2
《船舶结构力学》
5、完全自由端
梁端没有支座，弯矩剪力都为零
M 0
v 0
N 0
v 0
6、一般情况
弹性固定在弹性支座上时：
Ship Structural Mechanics
a
v AEIv
边界条件为：
A
v EIv
v(x)
6EI
33
l
22
l2
33
l3
l
/
2
(
x l
1 2
)3
可见：有局部载荷、突变载荷、弹性支座、弹性固定端时，应用初参数
法较为方便。
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
例3：两端刚性固定的梁，不受外荷重，当其右支座发生位移Δ时，求其挠曲 线与断面弯矩与剪力（见图2-14）。
2-11
aa
v 0, v 0
弹性固定端是介于自由支持端和刚性固定端之间的过渡型。
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
在船体结构计算中，双层甲板船的上甲板横梁与甲板间
肋骨，甲板间肋骨对横梁的作用可视为弹性固定端，则甲
板横梁可视为一单跨梁
q q
1
2
I
1l
I
2
l
M
q
M
q
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
§2-2 梁的支座及边界条件
梁端的边界条件：就是梁端弯曲要素的特定值或弯曲要素
之间的关系，它们取决于支座的情况。
几种船舶结构中常用的边界条件：
1、自由支持端（简支端） 2、刚性固定端 3、弹性支座 4、弹性固定端 5、完全自由端 6、一般情况
l/2
l/2
y
图2-13
解：用初参数法
Ax
（3）、左端边界条件为：
v0 0
0
M0
l 3EI
M0
（1）、建立图示坐标系
（2）、初参数法写出方程：
v(x)
v0
0x
M0x2 2EI
N0 x3 6EI
P x l / 23
l/2
6EI
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
P
（4）、右端边界条件：
v(l) 0 v(l) AEIv
a
l/2
l/2
M0 EI
N0l EI
Pl 2EI
0
M
0l
2
3EI
M 0l 2 2EI
N0l 3 6EI
Pl 3 48
A( N 0
y P)
l3 48EI
图2-13
(N0 P)
Ax
解之得：
M0
7 66
Pl,
N0
20 P 33
Pl3 7 x 7 x2 20 x3
P
R 和 v 的关系可写为：
R A
R A
图2-10
v AR或v R K
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
弹性支座左断面边界条件： v AEIv
R(正值)
N (负值)
A
R' N'
弹性支座右端面边界条件： v AEIv
N (正值) N' R'
R(正值)
A
《船舶结构力学》
o y
l
图2-14
右端边界条件：vv((ll))0
解：建立图示坐标系，梁的初参数方程为：
x
v(x)
v0
0 x
M0x2 2EI
N0x3 6EI
左端边界条件：v00
0 0
M 0l 2 2EI
N0l 3 6EI
M0l EI
N0l 2 2EI
0
解之得：M 0
6EI l2
N0
12EI l3
《船舶结构力学》
§2-3单跨梁的弯曲要素计算——解析法:
例1：求两端自由支持在刚性支座上，受均布荷重作用的梁的挠曲线
O
y
q
图2-12
右端边界条件为： x l时, v(l) vl 0, Ml 0
x
即：
0l
N0l3 6EI
ql 4 24EI
N0l EI
ql 3 2EI
0
0
N
0
ql 2
0
ql 3 24EI
Ship Structural Mechanics
代入得：
3x2 2x3 v(x) ( l2 l3 )
M (x) EIv 6EI (1 2x )
l2
l
N
(x)
EIv
12EI l3
特殊值：
M0
M l
6EI l2
N0
Nl
12EI l3
（本例题中的结果将在位移法一章中用到）
《船舶结构力学》
思考题：
左端断面： v EIv
M
右端断面： v EIv
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
弹性支座固定在刚性支座上其边界条件为：v 0, v EIv
讨论：当 0(K ) 时，弹性固定端变成了刚性固定端；
aa
a
M
v 0, v 0
当 (K 0) 时，弹性固定端变成了自由支持；
分析：已知：q,l, E, I ，求 v(x)
梁的挠曲线方程为：
解：用积分法求解 ：
v(x)
v0
0
x
M0 2EI
x2
N0 6EI
x3
x 0
x 0
x 0
x q dx4 0 EI
左端边界条件为：x
0时
v0
M0
0,
N0
ql 2
v(x) ql 4 ( x 2x3 x4 ) 24EI l l 3 l 4
vmax
(x)
v( l ) 2
5ql 4 384EI
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
例2：求图2-13中所示受集中力作用的单跨梁的挠曲线方程式。梁的左端
为弹性固定端，柔性系数为
1 (3EI )
；梁得右端为弹性支座，柔
性系数为 A l 3 (48EI) 。
P
a
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
1、自由支持端（简支端）
特点：不允许梁端发生挠度，而对梁的转动无限度，水平 力很小可忽略
边界条件为：v 0 M （0 或v 0)
《船舶结构力学》
2、刚性固定端
Ship Structural Mechanics
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
小结：
边界条件：
自由支持端（简支端） 刚性固定端 弹性支座 弹性固定端 完全自由端 一般情况
复习：§2-1、 §2-2 预习：§2-3 作业：2.1 2.4 2.2
2.5
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
Ship Structural Mechanics
讨论：
如弹性支座的刚度系数 K （或揉度系数 A 0）时，支座
的挠度为零，就变成了刚性支座；
如弹性支座的刚度系数 K 0 （或揉度系数 A 舱口横梁）时，支
座的反力为零，没有限制挠度的支座存在。
纵桁
舱口横梁
纵桁
当甲板纵桁与舱
口端横梁的 I 差 不多时可简化
《船舶结构力学》
4、弹性固定端
Ship Structural Mechanics
梁的固定端在梁受到弯曲后发生有一个正比与梁端弯矩的转角
P
M
P
θ
设固定端受到梁作用于固定端的弯矩为 M ， 固a定端发生的转角为 ，a则 M 和 的关
M 系为： M或 M K
图2-11
分离 图
MR
Mo
0
？
a
a
Ship Structural Mechanics
用初参数法写出下图的挠曲线方程
M
P
a
EI,l
A
《船舶结构力学》
Ship Structural Mechanics
小结：
初参数求解思路； 常用支座边界条件；在确定常数时要会正确
应用边界注意正负号； 节点上有外载荷要注意；
复习：P9-18 预习：P18-26 作业：P43 习题2.4
特点：它阻止梁端发生挠度和转动。见图2-9所示
图 2-9
边界条件为：
v0 （0 或v 0)
《船舶结构力学》
3、弹性支座
Ship Structural Mechanics
——自由支持端在受力后将发生一个正比与支座力的挠度。 见图2-10所示：
P
设支座在受到梁作用于支座的力
v
A
A 为 R , 支座发生的位移为 v ，