函数与基本初等函数第2课时函数的单调性和最值课件课件.ppt

1 ∵y＝t＋t在[2，＋∞)上为增函数．
5
5
∴t＝2时，ym in＝2.∴值域为[2，＋∞)．
• 探究3 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当 函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．
• (2)函数的最值与单调性的关系 • 若函数的闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，
图象得函数u＝x2－2x－8，在x＞4时，单调递增，在x＜－2时递减， 所以原函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)在(4，＋∞)上递减，在(－∞，－ 2)上递增．
• 评析 求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，在定义域的基础上， 划分单调增(减)区间，因此，函数的单调区间应是定义域的子集．
_______________________________
__________；
(2)函数y＝
1－x 1＋x 的减区间是
________________．
答案 (1)(－∞，－1)，(－1，＋∞) (2)(－1,1]
1－x
2
解析 (1)∵y＝1＋x＝－1＋1＋x
∴当1＋x＞0或1＋x＜0时，此函数均为减函数，
第二课时 函数的单调性和最值
2011·考纲下载
理解函数的单调性及其几何意义；会运用函数图象理解和研 究函数的性质；会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何 意义．
请注意!
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内 容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大 小、求值域、最值或解不等式．如2010年广东卷第19题， 2010年浙江卷第15题等.
依题意得2a>－1， a>0， a≥(2－a)×1＋1，
3 解得a的取值范围是2≤a<2.
本课总结
• 1．(1)若f(x)与g(x)在定义域内均是增函数(减函数)，那么f(x)＋g(x)在其 公共定义域内是增函数(减函数)．
2
1
2
1
∵0≤x <x ≤3，∴f(x )－f(x )>0.
12
2
1
x ∴f(x)＝x＋1在[0,3]上单调递增．
3 ∴最小值为f(0)＝0，最大值为f(3)＝4.
1 【探究】 本题还可以用：f(x)＝1－ x＋1 ，从而确定
f(x)在[0,3]上递增．
题型四 单调性的应用
• 例4 (1)是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增 函数？如果存在，求a的范围．
故应满足：x＝21a≥4 g(4)＝16a－4>0
无解
综上可知，当a∈(1，＋∞)时， f(x)＝loga(ax2－x)在[2,4]上为增函数．
(2)∵f(2)＋f(2)＝f(4)，f(2)＝1 ∴f(4)＝2 ∴3＝2＋1＝f(4)＋f(2)＝f(8) 因为f(x)＋f(x－2)＝f[x(x－2)] 所以原不等式为：f[x(x－2)]＜f(8) 根据函数的定义域和单调性有
• 探究1 (1)判断函数的单调性有三种方法：
• ①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法． • (2)证明函数的单调性有两种方法： • ①定义法；②导数法．
思考题 1 设函数 f(x)＝2x＋a·2－x－1(a 为实数)．若
a<0，用函数单调性定义证明：y＝f(x)在(－∞，＋∞)
上是增函数．
• ②设y＝f(x)在某区间内可导，如果f′(x)≥0，则f(x)为增函数，若f′(x)≤0， 则f(x)为减函数．
2．与单调性有关的结论 ①若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的
增(减)函数． ②若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数． • ③y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝
授人以渔
题型一 判断或证明函数的单调性
ax 例1 判断函数f(x)＝x2－1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
【解析】 法一 设－1<x1<x2<1，
a(x x ＋1)(x －x )
则f(x1)－f(x2)＝
12
2
1
(x21－1)(x22－1)
.
(x x ＋1)(x －x )
∵
12
2
1
(x21－1)(x22－1)
• 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都 有f(x)≤M，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M，则称M是函数y＝f(x)的最大 值；类比定义y＝f(x)的最小值．
教材回归
1．(1)函数y＝
1－x 1＋x
的减区间是
_______________________________
∴f(x)的增区间为[－1,1)，减区间为(－3，－1]
• 探究2 (1)作函数图象，利用数形结合求函数的单调区间，是最基本 的方法．
• (2)复合函数的单调区间： • ①复合函数的单调性
• 即“同增异减”； • ②求复合函数的单调区间时，要注意单调区间必须在定义域内．
思考题2 求下列函数的单调区间．
【解析】 设任意实数 x1<x2，
则 f(x1)－f(x2)
＝(2x ＋a·2－x －1)－(2x ＋a·2－x －1)
1
1
2
2
＝(2x －2x )＋a(2－x －2－x )
1
2
1
2
2x ＋x －a
1
2
＝(2x －2x )·
1
2
2x ＋x
.
1
2
∵x <x ，∴2x <2x ，∴2x －2x <0；
1
2
1
2
1
2
∵a<0，∴2x ＋x －a>0.又 2x ＋x >0.
1
2
1
2
∴f(x )－f(x )<0，所以 f(x)是增函数．
1
2
例2 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；
(2)f(x)＝
(－x2－2x＋3)．
【解析】
－x2＋2x＋3 (1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
为增函数；当内外函数的增减性相异时，为减函数．另外，复合函数的单 调区间一定是定义域的子区间，在解题中，要注意这一点．
(2－a)x＋1，x<1， 思考题4 (2011·江南十校)已知f(x)＝ ax，x≥1
是R 上的增函数，那么a的取值范围是________．
3 【答案】 [2，2)
【解析】
减函数．
又y＝
u在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数同增异减，
故f(x)在(－1,2]上单调递减；f(x)在(2,5)上单调递增．
(3)由x－1>0得x>1
1 x－2 y′＝1－x－1＝x－1
由上表可知，函数的增区间为(2，＋∞)，减区间为(1,2)
• 题型三 利用函数的单调性求最值
1 例3 (1)求函数f(x)＝x－x在[1,3]上的最值．
f[g(x)]是增函数．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是减函数④ 奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相 反． • ⑤若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小 值为f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．
• 3．函数的最值
>0，
∴a>0时，函数f(x)在(－1,1)上为减函数；
a<0时，函数f(x)在(－1,1)上为增函数．
－a(x2＋1) 法二 对f(x)求导，有f′(x)＝ (x2－1)2 ， ∵x∈(－1,1)，∴(x2－1)2>0，x2＋1>0， ∴当a<0时，f′(x)>0，f(x)在(－1,1)上为增函数， 当a>0时，f′(x)<0，f(x)在(－1,1)上为减函数．
【解】 解法一 设1≤x1<x2≤3
1
1
f(x2)－f(x1)＝x2－x －(x1－x )
2
1
1 ＝x2－x1＋x
1 －x
x －x
＝x －x ＋
2
1
2
xx
1
1
2
12
1 ＝(x2－x1)(1＋x x )
12
∵1≤x <x ≤3，∴f(x )－f(x )>0
12
2
1
1 ∴f(x)＝x－x在[1,3]上为增函数
课前自助餐
课本导读
• 1．单调性定义 • (1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∀x1，x2∈D，当
x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间 D上的减函数． • 单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．
• (2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入 手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且x1<x2，b.计算 f(x1)－f(x2)并判断符号，c.结论．
最小值为f(b)； • 若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，
最小值为f(a)．
x 思考题3 求函数f(x)＝x＋1在[0,3]上最值．
【解】 设0≤x1<x2≤3
x
x
(x －x )
2
1
2
1
f(x2)－f(x1)＝x ＋1－x ＋1＝(x ＋1)(x ＋1)
xx＞ －02＞0 x(x－2)＜8
⇒2＜x＜4
所以原不等式的解集为{x|2＜x＜4}
解抽象不等式时，应先将不等式化为 f[p(x)]＜f[q(x)]形式，然后根据f(x)的单调性，去掉外层函数f，即可得关
于x的不等式． 探究4 本题主要是考查复合函数的单调性，当内外函数的增减性一致时，
的取值范围是( )
A ．b≥0
B ．b≤0
C ．b>0
D ．b<0
答案 A b
解析 由－2≤0，得b≥0.
• 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区间________． • 答案 (－∞，－2)，(4，＋∞) • 解析 先求函数的定义域，令x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，通过
• 5．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b>0，则有( ) • A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) • B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) • C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) • D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b) • 答案 A • 解析 ∵a＋b>0 ∴a>－b，b>－a • ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，∴选A. •
• (2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f(xy)＝f(x) ＋f(y)，f(2)＝1，试解不等式
• f(x)＋f(x－2)＜3 • 【思路分析】 (1)假设存在实数a，分a>1,0<a<1两种情况，由复合函
数单调性解． • 【解析】 (1)设g(x)＝ax2－x，假设符合条件a值存在．
当a>1时，为使函数y＝f(x)＝loga(ax2－x)在闭区间[2,4] 上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在[2,4]上是增函数，故应满 足．
x＝21a≤2 g(2)＝4a－2>0
1 解得a>2，
又a>1，∴a>1 当0<a<1时，为使函数y＝f(x)＝loga(ax2－x)在闭区间 [2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在[2,4]上是减函数．
x≥0 x<0
其图象如图所示，所以，函数y＝f(x)的单调递增区间为 (－∞，－1]和[0,1]；单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)设u＝－x2－2x＋3(u>0)，其图象如图所示． 1
∵0<2<1
∴f(x)的单调增区间就是u(x)＝－x2－2x＋3(u>0)的单调 减区间[－1,1)；单调减区间就是u(x)的单调增区间 (－3，－1]
1
(1)f(x)＝
；
3－2x－x2
(2)f(x)＝
(－x2＋4x＋5)；
(3)y＝x－ln(x－1)．
【解析】 (1)∵3－2x－x2>0，∴－3<x<1.
由一元二次函数图象可知f(x)的递减区间是
(－3，－1]，递增区间为(－1,1)．
(2)令u＝－x2＋4x＋5，则f(x)＝
Hale Waihona Puke u.∵u>0，∴－1<x<5且x∈(－1,2]，u为增函数；x∈(2,5)时，u为
故减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1)
1－x (2)由1＋x≥0得x∈(－1,1]，此即为递减区间．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
A ．y＝1－x2
B ．y＝x2＋x
C．y＝－ －x
x D ．y＝x－1
答案 D
3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b
8 ∴最小值为f(1)＝0，最大值为f(3)＝3.
1 解法二 在[1,3]上，y＝x为增函数，y＝ x 为减函
1 数，∴y＝x－x为增函数，以下同解法一．
x2＋5
(2)求函数f(x)＝
的最值．
x2＋4
x2＋4＋1
1
【解】 y＝
＝ x2＋4＋
，
x2＋4
x2＋4
令t＝ x2＋4，则t≥2.
1 ∴y＝t＋t，t∈[2，＋∞)．