2017-2018学年人教A版高中数学选修2-2课后提升训练 二

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课后提升训练二十三
复数代数形式的乘除运算
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2017·泰安高二检测)i是虚数单位,复数= ( )
A.-i
B.i
C.--i
D.-+i
【解析】选A.=
==-i.
【一题多解】选A.===-i.
【补偿训练】化简的结果是( )
A.2+i
B.-2+i
C.2-i
D.-2-i
【解析】选C.====2-i.
2.复数z=的共轭复数是( )
A.+i
B.-i
C.1-i
D.1+i
【解析】选B.z====+i,
所以=-i.
3.(2017·全国丙卷)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.由题意知:z=-1-2i.
4.若复数z满足(2-i)z=|1+2i|,则z的虚部为( )
A. B.i C.1 D.i
【解析】选 A.设z=a+bi(a,b∈R),则(2-i)(a+bi)=,所以(2a+b)+(2b-a)i=,
由复数相等的条件知
所以所以z的虚部为.
【一题多解】选A.方法一:将两边同乘以(2+i)得,5z=(2+i),
所以z=+i,所以z的虚部为.
方法二:z===+i,
所以z的虚部为.
5.(2017·贵阳高二检测)i为虚数单位,复数z=的共轭复数的模为( )
A. B.1 C. D.
【解析】选D.z===,
所以=+i,
所以||==.
6.已知复数f(n)=+(n∈N*),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是
( )
A.4
B.3
C.2
D.无数
【解析】选B.因为(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,
所以===-i.
所以===i.
所以f(n)=+=(-i)n+i n.
所以当n=4k,k∈N*,f(n)=2;
当n=4k-1,k∈N*,f(n)=0;
当n=4k-2,k∈N*,f(n)=-2;
当n=4k-3,k∈N*,f(n)=0.
7.(2017·山东高考)已知i是虚数单位,若复数满足zi=1+i,则z2= ( )
A.-2i
B.2i
C.-2
D.2
【解析】选A.z===1-i,则z2=(1-i)2=1-2i+i2=-2i.
8.已知复数z=x+yi,满足|z-1|=x,那么z在复平面对应的点(x,y)的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
【解析】选 D.因为z=x+yi,满足|z-1|=x,所以|x-1+yi|=x,所以=x,即(x-1)2+y2=x2,所以y2=2x-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为________.
【解题指南】首先利用复数相等的概念求出复数z的代数形式,然后利用复数的模的公式计算即可.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
所以z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi,
因为z2=3+4i,
根据复数相等的定义知解得
所以|z|==.
答案:
10.(2017·天津高二检测)已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值为________.
【解析】由(x-2)i-y=-1+i,可得
⇒
所以x+y=4,所以(1+i)4=-4.
答案:-4
三、解答题(每小题10分,共20分)
11. (2017·银川高二检测)复数z=(1-i)a2-3a+2+i(a∈R),
(1)若z=,求|z|.
(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限,求a的范围.
【解题指南】(1)将复数z整理为x+yi(x,y∈R)的形式,根据z=,可得实数a的值.再根据模长公式求其模长.(2)根据z在复平面内对应的点在第一象限,可知复数z的实部大于0,同时虚部也大于0.
【解析】(1)z=a2-3a+2+(1-a2)i,
由z=知,1-a2=0,故a=±1.
当a=1时,z=0,|z|=0;
当a=-1时,z=6,|z|=6.
(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,即
即所以-1<a<1.
12.已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R).
(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹.
(2)求方程实根的取值范围.
【解析】(1)设实根为t,
则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R),
即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0.
根据复数相等的充要条件,
得
由②得t=y-x,
代入①得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0,
即(x-1)2+(y+1)2=2.③
所以所求的点(x,y)的轨迹方程是(x-1)2+(y+1)2=2,
轨迹是以点(1,-1)为圆心,为半径的圆.
(2)由③得圆心为(1,-1),半径r=,
直线t=y-x与圆有公共点,
从而应有≤,
即|t+2|≤2,
所以-4≤t≤0,
故方程实根的取值范围是[-4,0].
【方法锦囊】解复数综合应用题的方法
(1)转化:复数的加减运算,可以通过运算转化为实数的运算;复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算;复数的除法运算可把分子分母都
乘以分母的共轭复数,将分母变为实数,转化为乘法运算.
(2)数形结合:利用复数的运算法则和复数的几何意义解综合应用题,具体方法是利用复数的概念,把复数转化为点的坐标或向量,且复数的加减运算的几何意义分别满足平行四边形法则和三角形法则,结合平面几何以及函数的相关知识来解决问题.
【能力挑战题】
已知复数z1的实部为3,复数z2的虚部为1,且|z1|=5,z1·是实数,求复数z1和z2.
【解题指南】设出复数z1=3+bi,z2=a+i(a,b∈R)代入计算即可. 【解析】因为复数z1的实部为3,复数z2的虚部为1,
所以设z1=3+bi,z2=a+i(a,b∈R),
由|z1|=5可得b=±4,
由z1·=3a+b+(ab-3)i是实数,可得ab=3,
当b=4时,a=;
当b=-4时,a=-,
所以或
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