江西暑新县2018届高三数学上学期第四次月考试题理2017122801145

江西省奉新县 2018届高三数学上学期第四次月考试题 理
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。

1
1 2 x
,
1．已知集合 M={x|y=ln(2-x 2 )},N={x|
e e x Z
e }，则 M
N
（
）
A ．
1
B ．
1,
C ．
1, 0,1
D
．
2．已知 z m 2 1 (m 2 3m 2)i （ m R ,i 为虚数单位），则“m
1”是“z 为纯虚数”
的 （）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和.若 a 3
a 4 12,S 8
64，则{ }
a 的公差为 （ ）
n
A ．1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知向量a ,b 的夹角为600 ，且 a b 2 ，则向量a b 在向量a 方向上的投影为（
）
A ．3
B ． 3
C ．
3
D ．
3
x 2 y 2
5．若点 P (2,0)到双曲线 － ＝1的一条渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为
a 2
b 2 （ ）
A. 2
B. 3
C ．2 2
D ．2 3
6.已知函数 f x sin x 3cos
x
的图象与
x 轴的两个相邻交点的距离等于 π ， 2
若将函数 y
f
x
的图象向左平移 π 个单位长度得到函数
的图象，则在下列区
y g
x
6
间中使 y g x
是减函数的是( )
π (0 π)
A ( ,0)
B
C ，
D ( π , π) 3 4 4 3
π π ( , ) 4 3
7.已知数列{a }中， n
a S 为数列{a }的前 n 项和，当 n 2 时，恒有 ka
a S
S 2 1 1, n
n
n
n n
n
1
S
，则 k 的值是
（ ） 成立，若
99
50
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
3x y60
8.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的是最大值为
x y0
2
x0,y0
- 1 -
2 3
12，则的最小值为（）
a b
25 8 11
A．B．C．D．4
6 3 3
9．已知直线x+y﹣k=0（k＞0）与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有
，那么k的取值范围是（）
A．B．C．D．
10.设过曲线f(x) e x x上任意一点处的切线为l，总存在过曲线g(x) xa 2 sin x上一
1
点处的切线l2 ，使得l1 l2 ，则实数a的取值范围是（）
A.(2, 3]
B. (2, 3)
C. (1, 2)
D. [1, 2]
11.在ABC中，已知9, sin cos sin , A 6 ，P为线段AB上的点，
AB AC B A C S
ABC
CA CB
且则的最大值为（）
CP x y xy
| CA| | CB|
A.1
B.2
C.3
D.4
5
sin x, 0 x 2
4 4
12．已知函数y f(x) 是定义域为R 的偶函数. 当x0 时，，
f(x)
1
( ) 1 , x 2
x
2
若关于x的方程[ f(x)]2 af(x) b0 （a,b R）,有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）
5
A．( , 1) B．C．D．
( 5 ,9) (9，-1) ( 5 , 9) ( 9 , 1)
2 2 4 4 2 4 4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.设函数f x x ax
m
2
＝＋的导函数f'(x)＝2x＋1,则的值等于
f
(x)dx 1
x y x
2 2 y
2 2
m,n R 1
14.已知离心率为2的双曲线 1 的焦点与椭圆的焦点重合,
m n 5 4
m
则=____________ .
n
15.如图，梯形ABCD中，AB/ /CD, AB6, AD DC 2 ，
若AD BC 2 ，则AC BD____________.
π
16. 已知函数f(x) x2017 x sin x，若cos 3 sin 3 2 0 恒成
,
0 , f 2 m f m
2
立，则实数m的取值范围是
- 2 -
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。

17．(本题10分)如图，直角三角形ABC的顶点A的坐标为(－2,0)，直角顶点B的坐标为(0，－2
2)，顶点C在x轴上．
(1)求BC边所在直线的方程．
(2)圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程．
1
18.（本题12分)已知向量m(sin x,1)，向量n(3cos x)，函数f(x)(m n)m
,
2
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=23，
p
c=4，且f(A)恰是f(x)在[0，]上的最大值，求A，b和ABC的面积S.
2
19. （本题12分）在等差数列中，，其前项和为S，等比数列的各项均为
a a n
n n n
13b
11b S
33
正数，，且，．
b22112S9b
（1）求数列a和的通项公式；
b
n n
(1)a1
n1
n c n T n N*
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与
c T
n n n n
2n b T
n n
最小值．
- 3 -
20．（本题 12分）已知椭圆的焦点坐标
为
F (-1,0)， 1
F
2
(1,0)，过 F 垂直于长轴的直线交椭圆于 P 、Q 两点，
且
2
|PQ|=3，
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过 F 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M 、N ，则△ F
2
1
MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若 不存在，请说明理由.
21．（本题 12分）已知函数 f (x ) 2e x (x a )m 8,a R .
（1）若 m 1时，函数 f (x ) 存在两个零点，求 a 的取值范围；
（2）若 m
2 时，不等式 f (x ) 0在 x
[0,
)上恒成立，求 a 的取值范围.
22．（1）（本题 6分）求不等式12x 2 ax a 2 的解集
b a （2）（本题 4分）已知 a 0,b
0,求证
a b
a b
2
2
- 4 -
数学（理科）参考答案
一、选择题：BCBAA DBACD CD
二、填空题：
51
,
1
14
13. 14. 15.
16.
3
63
三、解答题：
－2 2
17．解：(1)设C(x0,0)，则k AB＝＝－. ……………2分
2
0－(－2)
0＋2 2 2 2
k BC＝＝.
x0－0 x0
∵AB⊥BC，∴k AB·k BC＝－1，……………3分
2 2
即－2×＝－1，∴x0＝4，……………5分x0
2
∴C(4,0)，∴k BC＝，……………6分
2
2 2
∴直线BC的方程为y－0＝(x－4)，即y＝x－2 2. ……………8分
2 2
(2)圆M以线段AC为直径，AC的中点M的坐标为(1,0)，……………9分
半径为3，……………10分
∴圆M的方程为x2＋y2－2x－8＝0. ……………12分
18.解：(1) ()()sin213sin cos1
f x m n m x x x
2
…………2分
1cos2x
313sin21cos22
1sin2x
x
x
22222
sin(2x )2…………5分
6
因为2，所以2
T
…………6分
2
时, 25
(2) 由(Ⅰ)知：f(A)sin(2A)2x[0,]
x
6 2 6 6
6
由正弦函数图象可知,当 2x 时 f (x ) 取得最大值3
6 2
所以 2A ,A
…………8分
6 2 3
由余弦定理， a 2
b 2
c 2
2bc cos A ∴12
2
16 2 4 1
b
b ∴b 2 ……10分
2
1 1
从而
S bc sin A 2
4 s in 60
2 3
………12分
2
2
- 5 -
19.解：（1）设等差数列a的公差为d，等比数列的公比为，
b q
n n
33d q11,
则……………2分
2(33d32d)9q,
2
解得d3，q2，……………4分
所以3，．……………6分
a n b2n1
n n
c11(1)
3()T
n n
（2）由（1）得，故，……………7分
n n
22
13
当n为奇数时，T1()，T随n的增大而减小，所以1T T；…………
n
n n n1
22
8分
13
当n为偶数时，1()，T随n的增大而增大，所以T T1，…………
T n
n n2n
24
9分
1 1
f(x)x x0f'(x)10f(x)x0
x x
令，，则，故在时是增函数．
2
115
故当n为奇数时，0T T；……………10分
n1
T T6
n1
117
当n为偶数时，0T T，……………11分
n2
T T12
n2
5
17
综上所述，的最大值是，最小值是．……………12分
T
n
T612 n
20．（1）设椭圆方程为x y
22
=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1 (1)
分
a b
22
由PQ|=3，可得2b
2
a
=3，
解得a=2，b= 3，故椭圆方程为x y=1 (4)
分
22
43
（2）设M
(x,y)，N(x,y),不妨
1122y>0,
1
y<0,设△
2
F MN的内切圆的径
R，
1
1
则△
F MN的周长=4a=8，A（MN+F1M+F1N）R=4R
S
1F
MN
2
1
1
因此A最大，R就最大，121212
S S
F F(y y)y y，…………6分
F MN AMN
2
1
- 6 -
由题知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 x=my+1，
x my 1
由
2
2
x
y
得 (3m 2
4)y 2 +6my-9=0，
1
4
3
得
3m 6 m 2 1
y
1
2
3m
4
，
3m 6 m 1
2
y
2
2
3m 4
， ………………8分
1 则
S A
AB （ y 1
y 2 ）=
AMN
2 12 m
1
2
y
y =
1
2
3m 2
4
，令 t= m 2 1 ,则 t ≥1,………10分
12
2
1
12 12
m
t 1
则
A
,令 f （t ）=3t+
S
，当 t ≥1时， f(t)在［1,+∞)
AMN
2
2
1
3m 4 3t
1 3t
t
t 12
12 上单调递增，有f(t)≥f(1)=4,
A
≤ =3,即当t=1,m=0时，
A
≤
S
S
AMN
AMN
3
3
3
9
∴
，这时所求内切圆面积的最大值为
π.
R =
max
4
16 9
故直线 l:x=1，△AMN 内切圆面积的最大值为 π…………………12分
16
21. 解：（1） f '(x ) 2e x 1令 f '(x ) 0 得 x
ln 2 (1)
分
=3, S
A
=4R ，
AMN
x
(,ln 2)
ln 2
(ln 2,
)
f x
'( )
f (x )
递减
极小值
递增
x,f(x).x,f(x)
……………………3分
且f(x)0有两个不等实根
f(ln2)01(ln2a)80
即
a9ln2
------------------5分
（2）f'(x)2e x2(x a)，令h(x)2e x2(x a)则
h(x)2e x2x0h'(x)0f'(x)[0,)
又，，在在单调递增…………6分
又f(x)min f(0)2(1a)
①当2(1a)0，即a1时，f(x)0，
所以f(x)在[0,)内单调递增，f(x)f(0)0，
所以1a10．………………8分
②当2(1a)0，即a1时，由g(x)2(e x x a)在[0,)内单调递增，
- 7 -
且
x
, f (x )
x 0
(0,
)
f '(x )
使得
x (0, x )
x
(x ,
)
f x
'( )
f (x )
递减
极小值
递增
所以 f (x ) 的最小值为 f (x )
2e x
(x
a )
8 ，
2
又 e x
x
a ，所以 f x
，
( ) 2e x 0 (e x 0 )2 8
(e x
2)(e x
4)
因此，要使当 x
0时， f (x )
0恒成立，只需 ( 0 )
0，即 即可． f e x 4
x
解得 0
x 0
ln 4 ，此时由
x a ，可得 ．
e x
a x
e
x
以下求出 a 的取值范围． 设 h (x )
x e x ， x (0, ln 4]， 得 h (x ) 1 e x 0 ，
所以 h (x ) 在 (0, ln 4] 上单调递减，从而 ln 4 4 a
1 ……11分
综上①②所述， a 的取值范围[ln 4
4, 10]．………………12分
k
x b 22．（1）解: 由于不等式
0 的解集为 (
2,
1)
(2, 3) ，
x a x c
则方程
x k
x b
a x
c
=0的根分别为-2,-1,2,3．
……………1分
1 b
kx
bx 1 k
x 由
0,得
0,
…………… 2分
ax 1 cx 1
a c
1 1 x
x
1
b
k 1 1 1
x
因此,方程
0的根为:
1, ……………4分
, , 1
1
2
2 3
a
c x x kx
bx
1
1
1
1
∴不等式
0的解集:( , ) ( ,1) ． ……………6分
ax
1 cx
1 2 3 2
b
b
a
a
2
2
2
2
（2）证明
b
a b b
a …………2 a 0,
0,
a
2
2 , b
2
2
a
a
b b
分
2
2
2 2
b
a b
a a
b
2
,故
a b 2a
a
b a b
b
(4)
- 8 -。