山东省菏泽市第一中学2021-2022学年高一上学期第二次月考数学试题 Word版含答案

高一一部2021年12月质量检测 数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列说法正确的是（ ）
A ．三点确定一个平面
B ．四边形肯定是平面图形
C ．共点的三条直线确定一个平面
D ．梯形肯定是平面图形
2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.下列命题正确的是（ ）
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
4.在正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）
A ．
30 B ．
45 C.
90 D ．
60
5.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为41：，截去的棱锥的高是cm 3，则棱台的高是（ ）
A ．cm 12
B ．cm 9 C. cm 6 D ．cm 3
6.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以D C B A ,,,四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面
ABC 所成的角的大小为（ ）
A ．
90 B ．
60 C.
45 D ．
30
7.设n m 、是不同的直线，γβα、、是不同的平面，有以下四个命题： ①若γαβα//,//，则γβ// ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ③若βα//,m m ⊥，则βα⊥ ④若α⊂n n m ,//，则α//m 其中正确命题的序号是（ ）
A ． ②③
B ．①④ C. ①③ D ．②④
8.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．
34π B ．π4 C. π2 D ．3
32π 9.已知直线l 经过))(,1(),1,2(2
R m m B A ∈两点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．),1[+∞ B ．),(+∞-∞ C. )1,(-∞ D ．]1,(-∞
10.过点)3,1(-且垂直于直线32
1
+=
x y 的直线方程为（ ） A ．072=--y x B ．012=++y x C. 072=+-y x D ．012=-+y x 11.直线0133=++y x 的倾斜角是（ ）
A ．
30 B ．
60 C.
120 D ．
135
12.如图所示，在正四周体ABC P -中，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，下面四个结论不成立的是（ ）
A ．//BC 平面PDF
B ．⊥DF 平面PQF C.平面⊥PDF 平面PAE D ．平面
⊥PDE 平面ABC 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 ．
14.在四棱锥ABCD V -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长均为5，则二面角C AB V --的大
小为 ．
15. 1l 经过点2),4,3(),1,(l B m A -经过点)1,1(),,1(+-m D m C ，当直线1l 平行于2l 时，=m ．
16.已知直线k x y +=21
与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数k 的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知直角三角形cm BC cm AB ABC 5,3,==，绕BC 旋转一周形成一个几何体 （1）想象并写出这个几何体的结构. （2）求这个几何体的表面积和体积.
18. 如图，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PB AE ⊥于PC AF E ⊥,于F
（1）求证：⊥PC 面AEF ；
（2）设平面AEF 交PD 于G ，求证PD AG ⊥. 19. 已知点)1,3(),1,1(),2,1(2
---m m C B m A . （1）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值； （2）若BC AB ⊥，求实数m 的值.
20. 如图1，在ABC Rt ∆中, E D C ,,90 =∠分别为AB AC ,的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1∆的位置，使CD F A ⊥1，如图2.
（1）求证：BE F A ⊥1；
（2）线段B A 1上是否存在点Q ，使⊥C A 1平面kDEQ ？说明理由. 21. 三角形的三个顶点是)3,0(),7,6(),0,4(C B A
（1）求BC 边上的高所在直线的方程 （2）求BC 边上的中线所在直线的方程 （3）求BC 边的垂直平分线的方程 要求：直线方程都转化为斜截式方程
22. 如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面BC AB ABC ⊥,，点E D ,在线段AC 上，且
4,2=====PC PD EC DE AD ，点F 在线段AB 上，且//EF 平面PBC .
（1）证明：BC EF //； （2）证明：⊥AB 平面PEF ；
（3）若四棱锥DFBC P -的体积为7，求线段的长BC .
试卷答案
一、选择题
1-5:DACDD 6-10:CCADB 11、12：CD
二、填空题
13.
3
3π 14.
60 15. 3 16. 1或1- 三、解答题
17.直角三角形的三边分别为cm cm cm 5,4,3，绕边长为cm 4的边旋转一周形成的几何体是圆锥，且圆锥的高为4，底面圆的半径为3，母线长为5，其三视图如图所示：
∴圆锥的表面积)(24)(2cm l r r S ππ=+=
体积)(12433
1
32cm V ππ=⨯⨯⨯=
. 18.解：（1）⊥PA 平面⊂BC ABCD ,面ABCD .
BC PA ⊥∴，又⊥∴=⋂⊥BC A AB PA BC AB ,,面⊂AE PAB ,面PAB ， BC AE ⊥∴，又B BC PB PB AE =⋂⊥,，
⊥∴AE 面⊂PC PBC ,面PC AE PBC ⊥∴,，
又⊥∴=⋂⊥PC A AF AE AF PC ,, 面AEF （2）设平面AEF 交PD 于G ， 由（1）知⊥PC 平面AG PC AEF ⊥∴, 由（1）同理⊥CD 面⊂AG PAD ,面PAD
⊥∴=⊂⊥∴AG C CD PC AG CD ,,面⊂PD PCD ,面PD AG PCD ⊥∴,.
19.解：（1）由于C B A ,,三点共线，且C B x x ≠，则该直线斜率存在， 则AB BC
k k =，即2
1
222-=--m m m ，解得1=m 或31-或31+.
（2）由已知，得2
22--=m m k BC
，且2-=-m x x B A .
①当02=-m 时，即2=m 时，直线AB 的斜率不存在，此时0=BC k ，于是BC AB ⊥； ②当02≠-m 时，即2≠m 时，2
1
-=
m k AB ，由1-=⋅AB AB k k ，得122212-=--⋅-m m m ， 解得3-=m .
综上，可得实数m 的值为2或3-.
20.（1）证明：由已知得BC AC ⊥且AC DE BC DE ⊥∴,//，
D A D
E 1⊥∴，又D CD D A CD DE =⋂⊥1,，⊥∴DE 平面DC A 1，面⊂
F A 1平面DC A 1， F A DE 1⊥∴，
又⊥∴=⋂⊥F A D CD DE CD F A 11,平面BCDE ，
BE F A ⊥∴1.
（2）线段B A 1上存在点Q ，使⊥C A 1平面DEQ .
理由如下：如图，分别取B A C A 11,的中点Q P ,，则BC PQ //.
∴∴.//,//PQ DE BC DE 平面DEQ 即为平面DEP .
由（1）知⊥DE 平面C A DE DC A 11,⊥∴，
又P 是等腰三角形C DA 1底边C A 1的中点DP C A ⊥∴1，
⊥∴=⋂C A D DP DE 1 平面DEP ，从而⊥C A 1平面DEQ ，
故线段B A 1上存在点Q ，使⊥C A 1平面DEQ .
21.解：（1）BC k BC ∴=--=
,326073 边上的高所在直线的斜率为BC .2
3
-边上的高所在直线的方程为)4(2
3
0--=-x y ，整理得01223=-+y x .
（2） 线段BC 的中点坐标为BC ∴),5,3(边上的中线所在直线的方程为
4
34
050--=
--x y ，整理得0205=-+y x .
（3） 线段BC 的中点坐标为)5,3(，垂直平分线的斜率为BC ∴-
,2
3
边的垂直平分线的方程为)3(2
3
5--=-x y ，整理得01923=-+y x .
22.解：（1）证明：//EF 平面⊂EF PBC .平面ABC ，平面⋂PBC 平面BC ABC =， 所以依据线面平行的性质可知BC EF //，
（2）由PC PD EC DE ==,可知E 为等腰PDC ∆中DC 边的中点，故AC PE ⊥， 又平面⊥PAC 平面ABC ，平面⋂PAC 平面⊂=PE AC ABC ,平面AC PE PAC ⊥,，
⊥∴PE 平面⊂AB ABC ,平面AB PE ABC ⊥∴,，
又BC EF BC AB //,⊥ .所以⊥∴=⋂⊥AB E EF PE EF AB ,,平面PEF . （3）设x BC =，在直角三角形ABC 中，236x AB -=，BC AB S ABC ⋅⋅=
∆21，即2362
1
x S ABC -⨯=∆，
BC EF //知AEF ∆相像于ABC ∆，所以
9
4
=∆∆ABC AEF S S ， 由AE AD 21=
，得23691x S AFD -⨯=∆，从而四边形DFBC 的面积为23618
7
x -⨯，由（2）可知PE 是四棱锥DFBC P -的高，32=PE ，所以7323618
7312
=⨯-⨯⨯=-x V DFBC P ，所以
02433624=+-x x ，所以3=x 或33=x ，
所以3=BC 或33=BC .。