第四章控制理论在汽车系统中的应用2资料
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误差的动态特性可以由状态空间的一个滑动表面来确定，设该面
S(t)=0，S(t)可以由下式确定：
S(t) C1e(t) e(t)
式其中满的足系S(数t)C S1必(t)须能0 使 , S(t)=0 时得到可以接受的误差瞬态特性。如果选择 u(t)使
则闭环动态特性将在 S(t)=0 面上“滑动”，并达到 S(t) 趋近于零。
~
~
A B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.5 0.7 1 0.1 0.7 x1 x2 x3 x4 x5
A 和B
~
~
的交集为
A B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
Mb
M M
b
b
S 0 S 0
偏差大， 减小制动压力 偏差小， 增加制动压力
M
b
和M
b
分别为由控制器、电磁阀及车轮制动器组成的调节系统所决定的两种不同的制
动力矩状态（如减小和增加状态）。
控制变量 M b 的选择应满足条件 S S 0 ，满足此条件有两种情况
(1) S 0, 且 S 0 ， 此时由式
~~
~
的隶属函数，应取 A (x) 和 B (x) 中的小者计算。
~
~
3) 模糊关系
又属于B ~
a. 普通集合的关系
① 集合的直积 设A.、B是两个普通集合。在普通集合论中，记
A B (x, y) | x A, y B | （x，y）为序偶
称为A与B的直积。所有这样序偶（x，y）的全体构成的集合就是直积。
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.2 0.3 0 0 05 x1 x2 x3 x4 x5
并集相当于逻辑运算中的“或”运算。AB (x)
~~
即该元素xA属于 B 和
~
~
中任意一个集合（把两个集合作为一个整体）的隶属函数，应取 A (x) 和B (x) 中
~
~
的大者计算。
交集相当于逻辑运算中的“与”运算。AB (x) 即该元素x既属于A
RN(C1
)
0
(4-59)
选取待定参数C1，使其满足
C1 0
则(4-59)式可写成
M
b
f1
(V
)M
b
f2 (V ) (1 ) f3 (V )
(4-61)
(2) S 0,
且 S 0
N f1(V ) C1 2 MV
f2 (V
)
2(N )2 MV
R
f3 (V
)
2N 2J M 2RV
C
~
(x)
A
~
B
~
的隶属函数定义为 (4-68)
或写成
C (x) A (x) B (x)
~
~
~
式中 “max”，“∨”都表示取大运算。
(2) 模糊子集的交集 两个模糊子集 A 与 B 的交集 C A B 的隶属函数定义为
~
~
~ ~~
C
~
(
x)
min
A ~
(
x),
B
~
(
x)
或写成
C (x) A(x) B (x)
环节，它操纵控测器结构的变更。
T 的确定
采用加权最小二乘法估计对路况进行识别,并由此确定出相应的最佳值. 制动力比例控制 通过电磁阀用脉宽调制（PWM）来实现。
滑模控制需要同时测量车轮轴线速度 v 及转速，并计算出滑移率及其随时 间的变化，
图4-25 v(t),(t) 曲线
由式 得
S e C1e S e C1e C1 ( T )
在运用滑模控制方法时，首先需要选择控制切换函数S和控制变量u， 以满足可达条件式。
2. 滑模控制在车轮防抱死制动系统中的应用 1) 汽车防抱死制动系统的结构原理
制动器制动力 (制动器摩擦阻力) 地面制动力 (车轮与地面间的摩擦力) 地面附着力
FΦ Z Φ
轮胎滑移率的定义
(V
R0)
V
100%
(1 R0
依据来自传感器的信息 、 ，就
可得知 S 是大于零或小于零。然后通
过逻辑环节，控制变量 M b
图4-26 (t) 曲线
图4-27 制动力矩Mb(t)曲线
参数值 C1 的选择对控制质量有较大影响。
4.6 模糊控制
1. 模糊数学基础
1) 模糊集合的基本概念
模糊集合的定义:
引入特征函数 CA(x)，对于一般集合A来说，它的元素是完全确定的，既x要 么属于A，要么不属于A，此时
给定一个论域U，U 中某一部分元素的全体叫做子集。模糊集合往往是一论域U
的子集，故常习惯地称为模糊子集。如模糊子集 A 包含有限个元素，则表示为
~
A 1 2 n
~ x1 x2
xn
式中
i A (xi )
(1) 模糊子集的并集
两个模糊子集 A 与 B
C
~
(
x)
m~ax~~A
的并集
(x),B
~
因此，汽车制动时，如果车轮完全抱死， 不但纵向附着系数下降而达不到最佳效能，而 且还会丧失转向和抵抗侧向力的作用，而造成 制动时方向不稳定。
汽车制动防抱死装置的目的，就是要达到能自动调节制动器制动力，使滑移率保持 在20%的最佳状态，以充分利用峰值附着系数，提高汽车的制动效能，并且还要具有 较好的转向和抵抗侧向力的作用，以提高汽车制动时的方向稳定性。
模糊集合的隶属函数的确定带有一定主观性，通常根据经验或统计方法确定。如
“老年人”集合的隶属函数可表达为
老
(
x)
1
[1
(
x
50 5
)
2
]1
由上式可得
老 (50) 0 老 (55) 0.5 老 (60) 0.8 老 (65) 0.9
2） 模糊子集的运算
在研究一个具体问题时总是把议题限制在某一范围内，称为论域。论域用符号 U，V，X， Y 等表示，论域中每个元素，通常用小写字母 u，v，x，y 等表示。
d d 1 T
k
k
(4-65)
只有当制动力矩
M
b
或松动力矩
M
b
依据由 (4-63)式或(4-57)式的控制指令，而
满足(4-61)、(4-62)式以及(4-64)、（4-65）式时，才能保证水平纵向滑移率在制动
过程中逐渐趋向其期望值 T 。
d. 滑模控制系统实现 滑模控制系统由受控对象和一个变结构控制器组成。控测器中含有一个逻辑
/V
)
100%
纯滚动时 V R0, 0
纯滑动时 0, 100%
边滚边滑时 0 100%
滑移率说明了车轮运动中，滑动成分所占的比例大小。滑动率越大， 滑动成分就越多。
轮胎附着系数在=20%左右达到最大值，而 在车轮抱死时，车轮的附着系数反而有所下降。 还可看出：侧向附着系数在纯滚动时为最大， 随着滑移率的增加而迅速地减小，特别是在车 轮抱死时，侧向附着系数下降到零。
u S 0 u u S 0
系统状态就在切换线S C1e e 0 附近来回运动，经 P3 , P4 ,, Pn 一直运动到所期望 的系统工作状态。
3) 滑模控制的可达条件 为了保证在切换线S=0任何一侧邻域中，系统状态的运动都趋向
于切换线，显然控制系统要满足下列条件
S S 0
此条件被称之为滑模控制的可达条件。
轮速传感器 多使用电磁式非接触传感器。由两部 分组成： 一部分是装在车轮上随其转动的带齿 部分；另一部分是由永久磁铁和感应 线圈组成的电磁传感器。后者感受着 通过齿轮四周的磁通量变化而输出电 压脉冲，其脉冲频率与电压成正比， 将其整形放大送入控制器后，便可处 理成为车轮角减速度信息。
压力调节器（电磁调节阀） 靠控制器送来信息控制电磁阀动作， 从而调节制动力的减弱或加强，使车 轮的滑移率接近于最佳值。
S e C1e
误差变量
e T
-C1
(T,0)
为了方便起见，仅考虑路况不变的情形，故假设 T 为一常量，
S C1 ( T )
如果纵向滑移率 及其导数 构成一相平面，则切换线是一斜率为“-C1 ”，且
过点的(T ,0) 的直线 S=0. 如上图。
c. 控制变量确定
可选取制动力矩为控制变量，并对系统进行不连续开关控制
~
~
~
“min“、“∧”都表示取小运 算。
例如，设论域为 U x1, x2 , x3 , x4 , x5
A 与 B 是U的子集，即
~
~
A 0.2 0.7 1 0 0.5
~ x1 x2 x3 x4 x5
B 0.5 0.3 0 0.1 0.7 ~ x1 x2 x3 x4 x5
由(4-68)式， A 和 B 的并集为
有关系的序偶所组成的集合，它是A B 的一个子集，记
R
AB
例如，一次考试中，王二得优，张三、李四得中，则从A到B的关系为
R={（王二，优），（张三，中），（李四，中）}
R可用矩阵来表示，如上述关系可列成表4-2。 表4-2 普通集合的关系
集合B 优
良
中
及格
不及 格
集合A
王二
1
0
0
0
0
张三
S e C1e
e T
可得
C1 ( T ) 0, C1 0 C1 0, C1 0
(4-57)
对 1 R /V 求一、二阶导数，再将车轮制动模型代入，并注意此时 S >0
Mb
M
b
，则可以得到
M
b
(C1
2N MV
)M
b
2(N )2 MV
R
(1
)(C1
)
2N MV
NJ MR
1R /V
滑移率 的期望值:
与曲线 () 峰值相对应的滑移率 T
所以车轮的防抱死制动控制实质上是对纵向
滑移率 T 偏离 的误差控制。
当
T时，
k T
当
T时，
k g T 1 T
k g 1 T
k 最大附着系数
1
T
最大附着系数时的滑移率
g 车轮完全抱死时的附着系数
b. 切换函数选择
可选切换函数为
在制动过程中，车轮抱死总
是出现在d / dt 相当大的时
刻，因此预选一个角减速度 门限值，当实测的角减速度 超过此门限值时，控制器发 出指令，开始释放制动压力， 使车轮得以加速旋转。 再预选一个角加速度门限值， 当车轮角加速度达到此门限 值时，控制器又发出指令， 使制动力开始增大，车轮做 减速运动。
，同理可得
C1( T ) 0, C1 0
M
b
f1
(V
)M
b
f2 (V ) (1 ) f3 (V ) (C1
)(1
)
NJ MR
RN
(4-62)
（4-63） (4-64)
由 与纵向滑移率 之间的关系
及(4-60)式可得
C1 d
C1 d
C1 k
d d T
C1 d
C1 d
C1 k g
电子控制防抱制动车轮速度的变化曲线
所以可以用一个车轮角速度传感器作为单信号输入，同时在电子控制器中设置 合适的加、减角速度门限值，就可实现防抱制动循环。
2）车轮防抱死制动系统的滑模控制方法
a. 车轮制动过程模型
车轮在制动过程中的运动微分方程为
MV Ft N J Ft R Mb
轮胎与路面间的水平纵向滑移率为
2) 几何解释
如果令S=0则得到在相平面 (e, e) 中的切换线方程为
C1e e 0 C1 0
切换线S=0将相平面 (e, e) 分成了两个部分，
即S>0和S<0。
设系统状态从相平面上的P0点出发，开始 沿左区的相轨迹运动。
在切换线上，控制量u是不连续的，这必将 引起当相轨迹与切换线相交时，系统应立即进行 控制切换
汽车制动防抱死装置 是在原有的液压和气压制 动系统中加上传感器、电 子控制器（ECU）和电磁调 节阀而形成的防抱死制动 系统。 标准的ABS系统主要由 传感器 电子控制器（ECU） 压力调节阀 组成 正常制动时：液力蓄能器 的高压油推开球阀4，高压
油作用在减压活塞上方，使球阀9常开，制动分泵与总泵直接相通。 制动过程中：控制器不断分析传感器送来的信息。
1 CA(x) 0
xA xA
CA(x)表征了x 对A 集合的隶属情况，称之为集合A 的特征函数。 如果CA(x) 只取0、1两个值，那么对应的集合是非模糊的；反之如CA(x) 取
0~1之间所有实数值，即
0 CA(x) 1
则对应的集合称为模糊集合。用 A 表示。 ~
模糊集合的特征函数称为隶属函数，用 A 表示，或称隶属度。 ~
1. 滑模控制方法
4.5 滑模控制
1) 问题的描述 对于一个典型的可控非线性系统：
x1(t) x2 (t)
xn (t) f ( x(t)) g( x(t))u(t) d (t) 设控制问题定义为x1(t) 跟踪所需的轨迹x1d(t) ，由于模型和扰动的不确定性，这样， 跟踪误差为
e(t) x1 (t) x1d (t)
例如，王二、张三、李四三个参加一次考试，每人所得的成绩可能是优、良、中、及格、不
及格。如果设
A={王二，张三，李四}
B={优，良，中，及格，不及格}
则A中任一元素可以和B中任一元素无约束搭配，结合成为序偶如（王二，优）、（张三，
良）、（李四，中）等全部序偶构成的集合就是直积 A B 。
②集合的关系 在普通集合论中，所谓从A到B的一个关系R是指直积 A B 中
S(t)=0，S(t)可以由下式确定：
S(t) C1e(t) e(t)
式其中满的足系S(数t)C S1必(t)须能0 使 , S(t)=0 时得到可以接受的误差瞬态特性。如果选择 u(t)使
则闭环动态特性将在 S(t)=0 面上“滑动”，并达到 S(t) 趋近于零。
~
~
A B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.5 0.7 1 0.1 0.7 x1 x2 x3 x4 x5
A 和B
~
~
的交集为
A B 0.2 0.5 0.7 0.3 1 0 0 0.1 0.5 0.7
Mb
M M
b
b
S 0 S 0
偏差大， 减小制动压力 偏差小， 增加制动压力
M
b
和M
b
分别为由控制器、电磁阀及车轮制动器组成的调节系统所决定的两种不同的制
动力矩状态（如减小和增加状态）。
控制变量 M b 的选择应满足条件 S S 0 ，满足此条件有两种情况
(1) S 0, 且 S 0 ， 此时由式
~~
~
的隶属函数，应取 A (x) 和 B (x) 中的小者计算。
~
~
3) 模糊关系
又属于B ~
a. 普通集合的关系
① 集合的直积 设A.、B是两个普通集合。在普通集合论中，记
A B (x, y) | x A, y B | （x，y）为序偶
称为A与B的直积。所有这样序偶（x，y）的全体构成的集合就是直积。
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.2 0.3 0 0 05 x1 x2 x3 x4 x5
并集相当于逻辑运算中的“或”运算。AB (x)
~~
即该元素xA属于 B 和
~
~
中任意一个集合（把两个集合作为一个整体）的隶属函数，应取 A (x) 和B (x) 中
~
~
的大者计算。
交集相当于逻辑运算中的“与”运算。AB (x) 即该元素x既属于A
RN(C1
)
0
(4-59)
选取待定参数C1，使其满足
C1 0
则(4-59)式可写成
M
b
f1
(V
)M
b
f2 (V ) (1 ) f3 (V )
(4-61)
(2) S 0,
且 S 0
N f1(V ) C1 2 MV
f2 (V
)
2(N )2 MV
R
f3 (V
)
2N 2J M 2RV
C
~
(x)
A
~
B
~
的隶属函数定义为 (4-68)
或写成
C (x) A (x) B (x)
~
~
~
式中 “max”，“∨”都表示取大运算。
(2) 模糊子集的交集 两个模糊子集 A 与 B 的交集 C A B 的隶属函数定义为
~
~
~ ~~
C
~
(
x)
min
A ~
(
x),
B
~
(
x)
或写成
C (x) A(x) B (x)
环节，它操纵控测器结构的变更。
T 的确定
采用加权最小二乘法估计对路况进行识别,并由此确定出相应的最佳值. 制动力比例控制 通过电磁阀用脉宽调制（PWM）来实现。
滑模控制需要同时测量车轮轴线速度 v 及转速，并计算出滑移率及其随时 间的变化，
图4-25 v(t),(t) 曲线
由式 得
S e C1e S e C1e C1 ( T )
在运用滑模控制方法时，首先需要选择控制切换函数S和控制变量u， 以满足可达条件式。
2. 滑模控制在车轮防抱死制动系统中的应用 1) 汽车防抱死制动系统的结构原理
制动器制动力 (制动器摩擦阻力) 地面制动力 (车轮与地面间的摩擦力) 地面附着力
FΦ Z Φ
轮胎滑移率的定义
(V
R0)
V
100%
(1 R0
依据来自传感器的信息 、 ，就
可得知 S 是大于零或小于零。然后通
过逻辑环节，控制变量 M b
图4-26 (t) 曲线
图4-27 制动力矩Mb(t)曲线
参数值 C1 的选择对控制质量有较大影响。
4.6 模糊控制
1. 模糊数学基础
1) 模糊集合的基本概念
模糊集合的定义:
引入特征函数 CA(x)，对于一般集合A来说，它的元素是完全确定的，既x要 么属于A，要么不属于A，此时
给定一个论域U，U 中某一部分元素的全体叫做子集。模糊集合往往是一论域U
的子集，故常习惯地称为模糊子集。如模糊子集 A 包含有限个元素，则表示为
~
A 1 2 n
~ x1 x2
xn
式中
i A (xi )
(1) 模糊子集的并集
两个模糊子集 A 与 B
C
~
(
x)
m~ax~~A
的并集
(x),B
~
因此，汽车制动时，如果车轮完全抱死， 不但纵向附着系数下降而达不到最佳效能，而 且还会丧失转向和抵抗侧向力的作用，而造成 制动时方向不稳定。
汽车制动防抱死装置的目的，就是要达到能自动调节制动器制动力，使滑移率保持 在20%的最佳状态，以充分利用峰值附着系数，提高汽车的制动效能，并且还要具有 较好的转向和抵抗侧向力的作用，以提高汽车制动时的方向稳定性。
模糊集合的隶属函数的确定带有一定主观性，通常根据经验或统计方法确定。如
“老年人”集合的隶属函数可表达为
老
(
x)
1
[1
(
x
50 5
)
2
]1
由上式可得
老 (50) 0 老 (55) 0.5 老 (60) 0.8 老 (65) 0.9
2） 模糊子集的运算
在研究一个具体问题时总是把议题限制在某一范围内，称为论域。论域用符号 U，V，X， Y 等表示，论域中每个元素，通常用小写字母 u，v，x，y 等表示。
d d 1 T
k
k
(4-65)
只有当制动力矩
M
b
或松动力矩
M
b
依据由 (4-63)式或(4-57)式的控制指令，而
满足(4-61)、(4-62)式以及(4-64)、（4-65）式时，才能保证水平纵向滑移率在制动
过程中逐渐趋向其期望值 T 。
d. 滑模控制系统实现 滑模控制系统由受控对象和一个变结构控制器组成。控测器中含有一个逻辑
/V
)
100%
纯滚动时 V R0, 0
纯滑动时 0, 100%
边滚边滑时 0 100%
滑移率说明了车轮运动中，滑动成分所占的比例大小。滑动率越大， 滑动成分就越多。
轮胎附着系数在=20%左右达到最大值，而 在车轮抱死时，车轮的附着系数反而有所下降。 还可看出：侧向附着系数在纯滚动时为最大， 随着滑移率的增加而迅速地减小，特别是在车 轮抱死时，侧向附着系数下降到零。
u S 0 u u S 0
系统状态就在切换线S C1e e 0 附近来回运动，经 P3 , P4 ,, Pn 一直运动到所期望 的系统工作状态。
3) 滑模控制的可达条件 为了保证在切换线S=0任何一侧邻域中，系统状态的运动都趋向
于切换线，显然控制系统要满足下列条件
S S 0
此条件被称之为滑模控制的可达条件。
轮速传感器 多使用电磁式非接触传感器。由两部 分组成： 一部分是装在车轮上随其转动的带齿 部分；另一部分是由永久磁铁和感应 线圈组成的电磁传感器。后者感受着 通过齿轮四周的磁通量变化而输出电 压脉冲，其脉冲频率与电压成正比， 将其整形放大送入控制器后，便可处 理成为车轮角减速度信息。
压力调节器（电磁调节阀） 靠控制器送来信息控制电磁阀动作， 从而调节制动力的减弱或加强，使车 轮的滑移率接近于最佳值。
S e C1e
误差变量
e T
-C1
(T,0)
为了方便起见，仅考虑路况不变的情形，故假设 T 为一常量，
S C1 ( T )
如果纵向滑移率 及其导数 构成一相平面，则切换线是一斜率为“-C1 ”，且
过点的(T ,0) 的直线 S=0. 如上图。
c. 控制变量确定
可选取制动力矩为控制变量，并对系统进行不连续开关控制
~
~
~
“min“、“∧”都表示取小运 算。
例如，设论域为 U x1, x2 , x3 , x4 , x5
A 与 B 是U的子集，即
~
~
A 0.2 0.7 1 0 0.5
~ x1 x2 x3 x4 x5
B 0.5 0.3 0 0.1 0.7 ~ x1 x2 x3 x4 x5
由(4-68)式， A 和 B 的并集为
有关系的序偶所组成的集合，它是A B 的一个子集，记
R
AB
例如，一次考试中，王二得优，张三、李四得中，则从A到B的关系为
R={（王二，优），（张三，中），（李四，中）}
R可用矩阵来表示，如上述关系可列成表4-2。 表4-2 普通集合的关系
集合B 优
良
中
及格
不及 格
集合A
王二
1
0
0
0
0
张三
S e C1e
e T
可得
C1 ( T ) 0, C1 0 C1 0, C1 0
(4-57)
对 1 R /V 求一、二阶导数，再将车轮制动模型代入，并注意此时 S >0
Mb
M
b
，则可以得到
M
b
(C1
2N MV
)M
b
2(N )2 MV
R
(1
)(C1
)
2N MV
NJ MR
1R /V
滑移率 的期望值:
与曲线 () 峰值相对应的滑移率 T
所以车轮的防抱死制动控制实质上是对纵向
滑移率 T 偏离 的误差控制。
当
T时，
k T
当
T时，
k g T 1 T
k g 1 T
k 最大附着系数
1
T
最大附着系数时的滑移率
g 车轮完全抱死时的附着系数
b. 切换函数选择
可选切换函数为
在制动过程中，车轮抱死总
是出现在d / dt 相当大的时
刻，因此预选一个角减速度 门限值，当实测的角减速度 超过此门限值时，控制器发 出指令，开始释放制动压力， 使车轮得以加速旋转。 再预选一个角加速度门限值， 当车轮角加速度达到此门限 值时，控制器又发出指令， 使制动力开始增大，车轮做 减速运动。
，同理可得
C1( T ) 0, C1 0
M
b
f1
(V
)M
b
f2 (V ) (1 ) f3 (V ) (C1
)(1
)
NJ MR
RN
(4-62)
（4-63） (4-64)
由 与纵向滑移率 之间的关系
及(4-60)式可得
C1 d
C1 d
C1 k
d d T
C1 d
C1 d
C1 k g
电子控制防抱制动车轮速度的变化曲线
所以可以用一个车轮角速度传感器作为单信号输入，同时在电子控制器中设置 合适的加、减角速度门限值，就可实现防抱制动循环。
2）车轮防抱死制动系统的滑模控制方法
a. 车轮制动过程模型
车轮在制动过程中的运动微分方程为
MV Ft N J Ft R Mb
轮胎与路面间的水平纵向滑移率为
2) 几何解释
如果令S=0则得到在相平面 (e, e) 中的切换线方程为
C1e e 0 C1 0
切换线S=0将相平面 (e, e) 分成了两个部分，
即S>0和S<0。
设系统状态从相平面上的P0点出发，开始 沿左区的相轨迹运动。
在切换线上，控制量u是不连续的，这必将 引起当相轨迹与切换线相交时，系统应立即进行 控制切换
汽车制动防抱死装置 是在原有的液压和气压制 动系统中加上传感器、电 子控制器（ECU）和电磁调 节阀而形成的防抱死制动 系统。 标准的ABS系统主要由 传感器 电子控制器（ECU） 压力调节阀 组成 正常制动时：液力蓄能器 的高压油推开球阀4，高压
油作用在减压活塞上方，使球阀9常开，制动分泵与总泵直接相通。 制动过程中：控制器不断分析传感器送来的信息。
1 CA(x) 0
xA xA
CA(x)表征了x 对A 集合的隶属情况，称之为集合A 的特征函数。 如果CA(x) 只取0、1两个值，那么对应的集合是非模糊的；反之如CA(x) 取
0~1之间所有实数值，即
0 CA(x) 1
则对应的集合称为模糊集合。用 A 表示。 ~
模糊集合的特征函数称为隶属函数，用 A 表示，或称隶属度。 ~
1. 滑模控制方法
4.5 滑模控制
1) 问题的描述 对于一个典型的可控非线性系统：
x1(t) x2 (t)
xn (t) f ( x(t)) g( x(t))u(t) d (t) 设控制问题定义为x1(t) 跟踪所需的轨迹x1d(t) ，由于模型和扰动的不确定性，这样， 跟踪误差为
e(t) x1 (t) x1d (t)
例如，王二、张三、李四三个参加一次考试，每人所得的成绩可能是优、良、中、及格、不
及格。如果设
A={王二，张三，李四}
B={优，良，中，及格，不及格}
则A中任一元素可以和B中任一元素无约束搭配，结合成为序偶如（王二，优）、（张三，
良）、（李四，中）等全部序偶构成的集合就是直积 A B 。
②集合的关系 在普通集合论中，所谓从A到B的一个关系R是指直积 A B 中