九年级奥数：探索三角形相似的条件

九年级奥数：探索三角形相似的条件
解读课标
对应角相等、对应角相等、对应边成比例的三角形叫相似三角形一：判定两个三角形相似的基本方法有：两角对应相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
通过寻找（或构造）相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在计算线段的长度、证明角相等、证明线段成比例等方面有广泛的应用，是平面几何中应用最广泛的方法之一．
熟悉以下基本图形、基本结论：
例1 如图，△ABC 中，∠ABC =60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB =∠BPC =∠CP A ，且P A =8，PC =6，则PB =___________．
例2 已知任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，且AB =CD ．若只增加下列条件
中的一个①AO =BO ，②AC =BD ，③；④，一定能使成立的可选条件是（）．
A ．②④
B ．①②
C ．③④
D ．②③④
例3 （1）如图1，等边△ABC 中，D 为AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE ，求证AE ∥BC ；
（2）如图2，将（1）中等边三角形ABC 的形状改成为以BC 为底边的等腰三角形，所作△EDC 改成相似于△ABC ，请问，是否仍有AE ∥BC ？证明你的结论．
例4 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求∠EBF +∠EBG ．
例5 把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中∠ABC =∠DEF =90°，∠C =∠F =45°，AB =DE =4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．
（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ ．此时，AP ·CQ =____________；
（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为，其中0
°AO DO CO BO
=OAD OBC ∠=∠BAC CDB ∠=
∠α
<<90°，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由；
（3）在（2）的条件下，设CQ =x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．
数学冲浪
1．如图，在△ABC 中，AC >AB ，点D 在AC 边上，若再增加一个条件就能使△ABD ∽△ACB ，则这个条件可以是_____________．
2．如图，已知CD 是Rt △ABC 的斜边上的高，其中AD =9cm ，BD =4cm ，那么CD =_________cm ．
3．如图，点P 是△ABC 中AB 边上的一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线最多有_________条．
4．如图，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB =10，AC =2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动．一直角边始终经过点C ，另一直角边与BE 相交于点D ，若BD =8，则AP 的长为_________．
5．如图，AB ∥CD ，AE ∥FD ，AE 、FD 分别交BC 于点G ，H ，则图中共有相似三角形（ ）．
A ．4对
B ．5对
C ．6对
D ．7对
6．如图，若点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7⨯8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的（ ）．
A ．F
B ．G
C ．H
D ．K
7．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于F ，E 恰是CD 的中点，下列式子成立的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
α2221AF BF =2231AF BF =2221AF BF >223
1AF BF <
8．直线DE 与△ABC 的AB 边相交于点D ，与AC 边相交于E ，下列条件：①DE ∥BC ；②
∠AED =∠B ；③AE ⋅AC =AD ⋅AB ；④中，能使△ADE 与△ABC 相似的条件有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB =2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ．
（1）求证：△EDM ∽△FBM ；
（2）若DB =9，求BM ．
10．已知：Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P （3，4）为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt △OAB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt △OAB 相似？（注：在图中画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．
11．如图，取一副三角，扳按图①拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC 绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为的角（0°<≤45°），得到△ABC ′，如图②所示，试问：
（1）当为多少度时，能使得图②中AB ∥CD ？
（2）当旋转至图④位置，此时又为多少度？图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比．
（3）连结BD ，当0°<≤45°时，探寻∠DBC ′+∠CAC ′+∠BDC 值的大小变化情况，并说明理由．
思想方法新天地
12．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长是____________．
13．如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15m ，分别自两杆上高出地面4m
、AE ED AC BC
=αααα
α
6m 的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D 、B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为__________m ．
14．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、AD 上的点，AC 与EF 交于点G ，________________．
15．如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM 于E ，则DE 等于（ ）．
A
． B ． C ． D ．
16．如图，在△ABC
中∠
BAC ：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，AD 是∠BAC 的平分线，有如下三个结论：①BC ：AC ：AB =4：2：1；②AC =AD +AB ；③△DAC ∽△ABC ．其中正确的结论是（ ）． ， ’
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
17．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点G ，E 为AD 的中点，连结BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BF A =90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△CFB ，其中相似的为（ ）．
A ．①④
B ．①② c ．②③④ D ．①②③
18．如图，在△ABC 中AB =AC ，∠BAC =90°，BD 是中线，AE ⊥BD ，交BC 于点E ．求证：BE =2EC ．
19．如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH =BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P ．求证：DP ⊥PQ ．
应用探究乐园
20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2AC ，AD 是∠BAC 的平分线，求证：AB +2BD =5AC ． ===AC
AG AD AF AB AE 则,31,212242b a ab
+224b a ab +2242b a ab +224b a ab +
21．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA =7，AB =4，∠COA =60°，点P 为x 轴上的一个动点，点P 不与点O 、A 重合，连结CP ，过点P 作PD ．交AB 于点D ．
（1）求点B 的坐标；
（2）当点P 运动封什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；
（3）当点P 运动到什么位置时，使得∠CPD =∠OAB ，且
，求这时点P 的坐标．
58BD AB。