广东湛江一中高二数学理科第二学期期末考试必修四

湛江一中2007—2008学年度第二学期期末考试
高二级数学科试卷
考试时间:120分钟 满分:150分 命题老师: WY
参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)
)
)()()(())((2
2
d b c a d c b a bd ac d c b a K ++++-+++=
一.选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案写在答题卷对应表格内)
1.若集合{}{}
,04|,2||2
=-=<=x x x N x x M 则=⋂N M ( )
(A) {4} (B) {0} (C) {0,2} (D) {0,4}
2.若从6名志愿者中选出4人分别赶赴四川从事医疗、教育、心理辅导、勘察四项不同的工作,则选派方案共有( )
(A) 180种 (B) 360种 (C) 15种 (D) 30种
3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分
则试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性的同学是（ ） (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 丁 4．已知随机变量ξ服从正态分布84.0)4(),,2(2=≤ξσP N ,
则=≤)0(ξP ( )
(A) 0.16 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.84
5.在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回地依次抽取2道题.在第一次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为 ( ) (A)
103 (B) 53 (C) 21 (D) 4
1 ６．参数方程⎩
⎨⎧+=-=21
2
t y t x （)R t ∈表示的曲线 （ ） （Ａ）经过坐标原点 （Ｂ）与x 轴相交，但与y 轴不相交
（Ｃ）与y 轴相交，但与x 轴不相交
（Ｄ）不经过坐标原点，但与x 轴、y 轴相交.
7.将编号为1、2、3、4、5的5个球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子，每个盒内放一个球.若恰好有两个球的编号与盒子编号相同,则不同的投放方法的种数为( )
(A) 40 (B) 30 (C) 20 (D) 10
8.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地摸取一个球,定义数列}{n a :
⎩
⎨⎧-=.,1,1次摸取白球第次摸取红球第n n a n 如果n S 为数列}{n a 的前n 项和,那么37=S 的概率为( )
(A)525
7)32()31(C (B) 5227)31()32(C
(C)5257)31()31(C (D) 2
237)3
2()31(C
二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分) 9.6
2
)1(x
x +
展开式中常数项的值为_________. 10.已知,422=+y x 则y x +的最小值为________. 11.过点T(1,—2),倾斜角为
π4
3
的直线l 与抛物线y x 82-=交于P 、Q 两点,则T 点到P 、Q 两点的距离之积为___________. 12.若直线的极坐标方程为,2
2
)4
sin(=
+
π
θρ则极点到该直线的距离是__________. 13.已知正四棱锥P-ABCD 的底面边长为2,侧棱长为3,建立如图所示的空间直角坐标系
Oxyz ,其中O 为正方形ABCD 的中心,则PA 中点M 的柱坐标为__________.
14.
直角坐标系xOy 中边长为n ()*
N n ∈的正方形,正方形内(包括边界)横坐标与纵坐标均为整数的点叫做整点.如图,当3=n 时,从正方形的所有整点中随机选取1个点,该点落在正方形的对角线上的概率为
,2
1
4=n 时,从正方形的所有整点中随机选取1个点,该点落在正方形的对角线上的概率为_________.边长为n ()*
N n ∈时,从正方形的所有整点中随机选取1个点.则该点落在正方形的对角线上的概率为____________. 三.解答题(满分80分)
15.(12分)吃零食是中学生中普遍存在的问题,吃零食对学生身体发育有诸多不利影响,影响学
A
(第13题图)
生的健康成长.某校调查询问了56名男女学生,被调查的28名男生中喜欢吃零食的有8人,而28名女生中不喜欢吃零食的有12人,请根据所提供的数据列出列联表,并从表中的数据分析,有多大把握认为学生性别与吃零食有关.
16.(13分)设有关于x
的方程012=++x x ξ,其中系数ξ是随机变量,其分布列为:
(1) 求方程有实数根的概率.
(2) 令随机变量η表示方程的实数根的个数.(重根按一个计算).求η的分布列. (3) (3)求η的数学期望.
17.(13分)对于任意*
N n ∈,比较)1
21
1()311)(11(-+
++n 与12+n 的大小,并用数学归纳法证明你的结论.
18. .(14分)如果有穷数列n a a a n (,,,21 为正整数）满足条件
,,,,1121a a a a a a n n n ===- 即),,,2,1(1n i a a i n i ==+-我们称其为
“对称数列”，例如，由组合数组成的数列,,,,10m
m m m C C C 就是“对称数列”。

(1) 设}{n a 是项数为5的“对称数列”.其中321,,a a a 是等差数列,且8,231==a a ,依次写出}{n a 的每一项.
(2)设}{n b 是项数为9的“对称数列”,其中98765,,,,b b b b b 是首项为1,公比为2的等比数列,求}{n b 各项的和.
(3)设}{n c 是项数为12-k (正整数)1>k 的“对称数列”,其中
1221,,,,-++k k k k c c c c 是首项为50,公差为-4的等差数列,记}{n c 的各项的和为12-k S ,当k 为何值时, 12-k S 有最大值?
19. (14分)已知抛物线x y 42
=,弦OP 、OQ 互相垂直(O 为坐标原点)
(1)若+=,以OP 的斜率为参数,求点M 的轨迹的参数方程,并说明此轨迹是什么曲线.
(2)证明直线PQ 恒过一定点.
20. (14分)某商场某品牌的空调每周的销售量ξ是一个随机变量,分布列为
==
=k k p ,20
1
)(ξ11, 12, … ,30,而商场每周的进货量为区间 [11,30] 中的某一整数,商场每销售一台空调可获利500元;若供大于求,则每台多余的空调需要交保管费用100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调仅获利200元,问此商场周初进货量应为多少时才能使周平均利润最大?
湛江一中2007—2008学年度第二学期期末考试
高二年级数学科答案
一.
二.填空题(每题5分,共30分)
9. 15 10. -22 11. 30
12.
2
2
13.)27,43,22(π
14.
259 当n 为奇数时,;11+=n P 当n 为偶数时, .)
1(1
22
++=n n P 三.解答题 15.(12分)
841.36677.428
283224)1620128(562
2
>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K
∴有95%的把握认为性别与是否喜欢吃零食有关.
16.(13)
解: (1) 当0=ξ 时,方程012
=+x 没有实根; 当1=ξ 时,方程012
=++x x 没有实根
当2=ξ 时,方程0122=++x x 有一实根
当3=ξ 时,方程0132=++x x 有两个不相等的实根
当4=ξ 时,方程0142=++x x 有两个不相等的实根 ∴方程有实根的概率为P=0.4+0.2+0.1=0.7 (2) 随机变量η的可能取值为0,1,2 ∴
(3) ξE =0.4+0.6=1 17.(13)解: 取
n 112)11(,1+∙>+= 取122)3
1
1)(11(,2+∙>++=n
… 由此推测12)1
21
1()311)(11(+>-+
++n n 下面用数学归纳法证明:
(1) 当1=n 时, 左边=2,右边=3 2>3 ∴不等式成立. (2) 假设k n = 时,不等式成立,有12)1
21
1()311)(11(+>-+++k k 那么, 1+=k n 时, )1
21
1(12]1)1(211)[1211()311)(11(+++>-++-+
++k k k k =1
22
2122212++=++∙
+k k k k k
1
)1(2321
2220
121
12)384(484)32()1
22
2(222
2
++=+>++∴>+=+++-++=+-++k k k k k k k k k k k k k
因而1)1(2)1
21
1)(1211()311)(11(++>++-+
++k k k
就是说 当1+=k n 时,不等式也成立.
由上可知,对于任意*
N n ∈ , 12)1
211()311)(11(+>-+
++n n 18.(14分)解: (1) 52
8
2,8,2231=+===a a a 则 }{n a 数列∴为2,5,8,5,2 (2) ,15=b 公比2=q 数列}{n b 为: 4
32112342,2,2,2,1,2,2,2,2
}{n b ∴的各项和=611)2222(21234=++++
(3)
有最大值。

时，当12221211
21121121350
134)13(4)(2--+-+--=∴-⨯+--=-++=+++++++=k k k k k k k k k k S k k c c c c c c c c c c S
19. (14分)
解: (1) 设 OP 的斜率为 k 则OQ 的斜率为k
1-
由⎩⎨
⎧==x
y kx
y 42
得: )4,4(
2
k
k P 由⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=x y x k y 412 得: )4,4(2k k Q - 设),,(y x M 则k k k y k k x (44442
2
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+=为参数) 是点M 的轨迹的参数方程 由k k k y k k x (44442
2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=为参数)得: 3242-=x y ∴点M 的轨迹是抛物线.
(2) 2
2
214444k k k k k
k k PQ -=-+= ∴ 直线PQ 方程为)4(1422k x k k k y --=+ 即: )4(12
--=x k
k
y ∴ 直线PQ 恒过定点(4,0).
20. (14分)解:设商场周初进货为x 台,]30,11[∈x ,周利润为随机变量η,则
,5.9502)5.25(10300051010)30(2
30
)1(10)30(1525)11(5)11(2)1(1130)200300(201500201)100600(201,30,,12,11,201
)(.,300200500)(200,
,500,,100600)(1005002230
1111+--=++-=-++⨯+-++----+⨯
=++⨯+-=∴==
=⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=+-=<-=--=∑∑+=-=x x x x x x x x x x x x x x x E k k P x x x x x x x x x x ξξξξηξξξξξξξξξξη 又
因为x 是正整数, ]30,11[∈x ,所以25=x 或26台,即周初进货量为25或26台时,周平均利润最大.。