广东省广州市第二中学平面向量及其应用单元测试题含答案

一、多选题
1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是
（ ）
A ．()
0a b c -⋅= B ．()
0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=
D ．2a b c ++=
2．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ）
A ．0PA P
B += B ．0PB P
C += C ．PA AB PB +=
D ．0PA PB PC ++=
3．下列结论正确的是（ ）
A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）
B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为
12
b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形
4．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
5．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B
C D ．6．下列命题中，结论正确的有（ ）
A ．00a ⨯=
B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若//AB C
D ，则A ､B ､C ､D 四点共线；
D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 7．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c
B ．若PA PB PB P
C PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 8．在下列结论中，正确的有（ ）
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．平行向量又称为共线向量
C ．两个相等向量的模相等
D ．两个相反向量的模相等
9．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形
D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形
10．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ） A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
11．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±
12．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=⋅-
13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
14．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个
15．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同
B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反
C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模
D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同
二、平面向量及其应用选择题
16．在矩形ABCD 中，3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ）
A ．0
B ．
3
C ．-4
D ．4
17．若△ABC 中，2
sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
18．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
20．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=
B ．1a b ⋅=
C ．a b =
D ．0a b ⋅=
21．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2
3BG BE = B ．2CG GF = C ．1
2
DG AG =
D ．0GA GB GC ++=
22．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4
B ．3
C ．-4
D ．5
23．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆
顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A ．
33
B ．
53
C ．
73
D ．
83
24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ⋅=⋅≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ⋅>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角
25．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同，则a =（ ）
A ．12
- B ．
12
C ．-2
D ．226．题目文件丢失！
27．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）
A ．13
24
AB AD -+ B ．12
23AB AD + C ．
11
32
AB AD - D ．
13
24
AB AD - 28．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．1-
B ．12
-
C ．2-
D ．32
-
29．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）
A ．
2
5
B ．
35
C ．
34
D ．
14
30．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若
AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）
A ．
34
B ．
53
C ．
73
D ．
83
31．已知1a b ==，1
2
a b ⋅=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ） A ．(
,32⎤-∞+⎦
B ．)
32,⎡++∞⎣
C ．(
,32⎤-∞-⎦
D ．)
32,⎡-+∞⎣
32．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且
a b =，则cos B 等于（ ）
A ．
15
4
B ．
14
C ．
34
D ．
32
33．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，
BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）
A．21
33
AB AD
-B．
12
33
AB AD
-
C．
21
33
AB AD
-+D．
12
33
AB AD
-+
34．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于（）
A．
3
2
B．
2
2
C．
31
2
D．
2
1
2
-
35．在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若()2
2
S a b c
+=+，则cos A等于（）
A．4
5
B．
4
5
-C．
15
17
D．
15
17
-
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一、多选题
1．ABC
【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.
【详解
解析：ABC
【分析】
作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.
【详解】
如下图所示：
对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，
a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()
0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；
对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()
00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；
对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则
()0a c b a --⋅=，C 选项正确；
对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.
2．CD 【分析】
转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
解析：CD 【分析】
转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】
由题意：3AB AC AP +=
故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=
0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=
故选：CD 【点睛】
本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.
3．ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；
对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为
解析：ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()
0a b c ⋅-=， 故()
a b c ⊥-，故A 选项正确；
对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b ⋅=⨯
=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫
⋅
⎪= ⎪⎝⎭
，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，
故C 选项错误；
对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，
则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；
综上所述，正确的有：ABD .
故选：ABD . 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
4．BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】
由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
解析：BC 【分析】
由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】
由正弦定理可得sin sin AB AC C B =
，所以1
sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒， 所以60C =︒或120C =︒. 故选：BC. 【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得
所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1
sin 2
ABC
S
ab C =
=
所以sin 2
C =
，解得60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，，故A 错误；
对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确； 对于C ，，则或与共线，故C 错误； 对于D ，在四边形中，若
解析：BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得； 【详解】
解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误； 对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222
||2a b a b a b a b +=
++⋅=+，
2222
||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；
对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；
对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD
【点睛】
本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.
7．AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量
解析：AD
【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；
对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；
对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD
【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.
8．BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
9．ABD
【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD
【分析】
对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B π
π
>>->，可得
sin sin()cos 2A B B π
>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或
222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.
【详解】
对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π
∈，
2A B π
+>，∴022A B π
π
>>->，
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，
sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，
22A B ∴=或222A B π=-，
A B ∴=或2A B π
+=，
ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.
对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，
可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.
故选：ABD .
【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
10．ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为，
当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为；
当时，，
解得
解析：ABC
【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.
【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；
当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；
当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．
∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．
故选:ABC .
【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
11．ACD
【分析】
利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；
当时，，故选项B 错误；
因为，故选项C 正确；
当共线同向时，，
当共线反
解析：ACD
【分析】
利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；
当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误； 因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；
当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，
当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.
12．AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，
解析：AB
【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】 对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()
a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确.
故选：AB.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题. 13．ABD
【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.
【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD
【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
14．BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，，
设，若，
所以
解析：BCD
【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，
设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．
当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，
得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．
故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
15．ABD
【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.
【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.
当同向时
解析：ABD
【分析】
根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.
【详解】
如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.
当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.
当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.
二、平面向量及其应用选择题
16．C
【分析】
先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.
【详解】 如图所示，
AB AF 2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()
230,3,3,1,,33B F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，
因此()BF AE BF 233,2,323264→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
17．A
【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】
ABC ∆中，sin()sin A B C +=，
∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+， 整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），
0A π<<
90A ∴=︒， 则此三角形形状为直角三角形．
故选：A
【点睛】
此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
18．D
【分析】
先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．
【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，
AB AC ∴=， 1cos ||||2
AB AC A AB AC ==， 3A π
∴∠=，
3B C A π
∴∠=∠=∠=，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．
19．B
【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.
【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，
即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．C
【分析】
取,a b 夹角为
3π，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】
取,a b 夹角为
3π，则0a b -≠，12
a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C .
【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
21．C
【分析】 由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．
【详解】 ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G
为重心，则23BG BE =，2CG GF =，12
DG GA =且0GA GB GC ++= 故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题．
22．C
【分析】
先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．
【详解】
对等式AB AC AB AC +=-两边平方得， 222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，
()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，
设向量BC 与CA 的夹角为θ，
所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CA CA θ⋅⋅-⋅=⋅
===-⋅， 故选C ．
【点睛】
本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．
23．B
【分析】
如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．
【详解】
如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，
在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒
，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，
10353v ==/秒）． 故选B ．
【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．
24．C
【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ⋅=⋅≠，但a b ≠，故B 不正确；
,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形
ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且
||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ⋅>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正
确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 25．A 【分析】
根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】
由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点， 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则
OA OC OB OC OC
OC
⋅⋅=
,
即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12
a =-. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
26．无
27．D 【分析】
利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：
DF AF AD =-，1=
2AF AE ，=AE AB BE +，1
=2
BE BC ，=BC AD ，即可得出答案. 【详解】
利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，
E 为BC 的中点，
F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1=2
BE BC 1111
=
=()=+2224
DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又
=BC AD
13
24
DF AB AD ∴=
-. 故选D.
【点睛】
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：
一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；
二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 28．B 【分析】
由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】
如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()
BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：
()()
()1111
12222
BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =
+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，1
2
t μ=， 所以1
2
λμ+=-. 故选：B.
【点睛】
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 29．D 【分析】
由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果. 【详解】
延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线， 所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB = 代入可得CP mCA nkCB =+
即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+ 又因为1142AP AB AC =+，即11
,142
nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44
m n =
= 所以13
44
CP CA CD =
+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比 所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为14
故选D 【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目. 30．C 【分析】
作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=
，同理得出21
2
AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值.
【详解】
如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，
()
21
2
AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=
， 同理可得21
2
AM AC AC ⋅=
，
86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，
由221212AM AB AB AM AC AC ⎧
⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩
，可得(
)()
3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩
，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，
解得512
λ=
，29，因此，527
43431293
λμ+=⨯
+⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 31．A 【分析】
不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩
+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化
为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【详解】
1a b ==，12a b ⋅=
,易得,3
a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,
(.1),(,1)
1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=
因为a c b d T -+-≥恒成立，
+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即
a b +与c d +共线反向时等号成立)
即求+()a b c d -+最小值.
+()=()()a b c
d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -
三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，
∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为3的一个圆.
又N 在直线方程为10x y +-=上运动，
∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值
此时M 到直线10x y +-=的距离32
2
MN
23
2T NM
故选：A 【点睛】
本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.
平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 32．B 【分析】
利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案； 【详解】
cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，
∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=，
∴2b c =，又a b =，
∴2222211
4cos 12422
b
a c
b B a
c b ⋅+-===⋅⋅，
故选：B. 【点睛】。