广东第二师范学院番禺附属中学高中平面向量及其应用知识点和相关练习试题

一、多选题
1．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且
02
C <<
π
，4b =，则以下说法正确的是（ ）
A ．3
C π
=
B ．若72
c =
，则1cos 7B =
C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形
D ．若ABC 的面积是4
2．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=
D ．()
4BC a b ⊥+
3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ．
sin sin sin +=+a b c
A B C
4．下列结论正确的是（ ）
A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）
B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为
12
b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、
c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）
A ．
B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解
C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解
D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解
6．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．
23
C ．23
-
D 7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐
标为（ ） A ．(0,1)-
B ．(6,15)
C ．(2,3)-
D ．(2,3)
8．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
9．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对
C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==
10．已知ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足,3
B a c π
=+=,则
a
c
=( ) A ．2
B ．3
C ．
12 D ．
13
11．已知ABC ∆的面积为3
2
,且2,b c ==,则A =( ) A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
12．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C
处,,那么x 的值为( )
A B ．C ．D ．3
13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等
B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 14．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+-
C ．OA O
D AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-15．题目文件丢
失！
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
(62)2
C 62
D ．
1
(62)2
17．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
18．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin 2a c B -==-，且0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
21．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
22．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D ．
41
41
23．在ABC ∆中，设2
2
2AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且
3
03
aGA bGB cGC ++
=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
25．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
26．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
27．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4
B ．
72
C ．
258
D ．
259
28．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
29．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若
(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）
A ．316
- B ．
316 C ．
12
D ．12
-
30．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则
BD AC ⋅=（ ）
A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．5
31．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A ．5
B ．10
C ．4
D ．5
32．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且11
42
AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）
A ．
2
5
B ．
35
C ．
34
D ．
14
33．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3
π
，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( ) A ．
12
B ．－
12
C ．
13
D ．－
13
34．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）
A B C ．2
D 35．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
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一、多选题 1．AC 【分析】
对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；
对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利 解析：AC 【分析】
对于A 2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；
对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得
A B C ==；
对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】
2sin c A =2sin sin A C A =，
因为sin 0A ≠，故sin C =， 因为(0,
)2
C π
∈，则3
C π
=
，故A 正确；
若72
c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =
，则4sin sin 72
b B C
c == 因为(0,)B π∈
，则1
cos 7
B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A B
C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，
2sin c A =
，即sin a A =
sin 2cos A c B =
，所以sin A B =，
因为23A B C ππ+=-=，则23
A B π=
-
，故2sin()3B B π
-=，
1
sin 2B B B +=
，即1sin cos 22
B B =，
解得tan B =3
B π
=，则3
A π
=
，
即3
A B C π
===
，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC
的面积是
1
sin 2
ab C =2a =，
由余弦定理可得2
2
2
1
2cos 416224122
c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=
，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，
由正弦定理可得24
sin c R C =
==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．
2．ABD 【分析】
A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；
B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；
C. 根据，利用数量积运算判断；
D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长
解析：ABD 【分析】
A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；
B.根据2AB a =，
2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1
,2
a AB
b BC =
=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】
A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；
B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；
C. 因为1,2a AB b BC =
=，所以11
22cos120122
a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()
2
444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()
4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
3．ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角
解析：ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在ABC ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；
对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错
误；
对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以
A B >，故C 正确；
对于D ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则
2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题.
4．ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；
对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为
解析：ABD 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()
0a b c ⋅-=， 故()
a b c ⊥-，故A 选项正确；
对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b ⋅=⨯
=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫
⋅
⎪= ⎪⎝⎭
，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，
故C 选项错误；
对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，
则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；
综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
5．ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于，因为为锐角且，所以三角
解析：ABC 【分析】
根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当
sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】
对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；
对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92
c B b c =⨯==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；
对于C ，因为B 为锐角且 sin 432
c B b =⨯=>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；
对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】
本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.
6．AD 【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】
由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=，可得1
20sin 22sin 153
b A B a ⨯
===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
7．ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】 第四个顶点为， 当时，，
解得，此时第四个顶点的坐标为； 当时，， 解得
解析：ABC 【分析】
设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】
第四个顶点为(,)D x y ，
当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，
解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-； 当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，
解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)； 当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，
解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-． 故选:ABC . 【点睛】
本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.
【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】
分析知，，与的夹角是.
由，故B 错误，D 正确；
由，所以，故A 错误；
由，所以，故C 正确.
故选：CD
【点睛】
解析：CD
【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.
【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()
4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD
【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
9．BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当时，这样的有无数个，故C
解析：BC
【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否.
【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确.
【点睛】
若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使
12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.
10．AC
【分析】
将两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.
【详解】
∵，
∴①，
由余弦定理可得，②，
联立①②，可得，
即，
解得或.
故选：AC.
【点睛】
本题考查余弦定理的应
解析：AC
【分析】
将a c +=两边同时平方，可得一个关系式，再结合余弦定理可得结果.
【详解】
∵,3B a c π
=+=，
∴2222()23a c a c ac b +=++=①，
由余弦定理可得，2222cos 3a c ac b π
+-=②，
联立①②，可得222520a ac c -+=， 即2
2520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得
2a c =或12
a c =. 故选：AC.
【点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，是基础题.
11．BD
由三角形的面积公式求出即得解.
【详解】
因为,
所以,
所以,因为,
所以或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD
【分析】
由三角形的面积公式求出sin A =
即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A =
=,
所以13222
A ⨯=,
所以sin A =
,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．AB
【分析】
由余弦定理得，化简即得解.
【详解】
由题意得,由余弦定理得,
解得或.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB
【分析】
由余弦定理得293cos306x x
︒
+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒
+-=,
解得x =x
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13．AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据
解析：AD
【分析】
利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【详解】
单位向量的模均为1，故A 正确；
向量共线包括同向和反向，故B 不正确；
向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；
根据相等向量的概念知，D 正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．
14．ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
;
;
;
.
故选：ABCD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析：ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;
()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;
0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
故选：ABCD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．A
【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理
sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得
AE =-． 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝
DA =
BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45
°=
， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒
，
∴
12
AE =，∴
AE =）， 故选:A ．
【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
17．B
【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】
延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得
::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。

另外本题是奔驰定理直接推导得出。

18．C
【分析】
化简条件可得
sin 2
a B c ==，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin 2
a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 4
B π∴=.
由正弦定理，得
sin sin 2a A c C ==，
3
sin 4C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈，
2
C π∴=， 则4A B C π
π=--=
， ∴ABC 是等腰直角三角形.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.
19．B
【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.
【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，
即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．A
【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan 2
C ，从而求得tan C ．
【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22
ab C a b ab c ⨯
⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-， 又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ⨯===---， 故选：A ．
【点睛】 本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
21．C
【分析】 首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12
a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=，所以2()7a b +=，
即22447a a b b +⋅+=，
因为221a b ==，所以12a b ⋅=
， 所以1cos ,2
a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.
22．B
【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =
，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理
sin sin b c B C
=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =
，c =45B =︒，
由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C
=，
所以2sin 42sin 55
c B C b ===，
故选：B
【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．D
【分析】 根据已知条件可得()
222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.
【详解】 ()()()
222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅
()20BC AC AB AM ∴⋅+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥
ME ⇒为BC 的垂直平分线
M ∴轨迹必过ABC ∆的外心
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.
24．D
【分析】
由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入303aGA bGB cGC ++=中可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+
-= ⎪ ⎪⎝⎭
,由,GB GC 不共线可得003
b a a -=⎧-=⎩,即可求得,,a b
c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】
因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=,
所以GA GB GC =--, 代入30aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=
⎪ ⎪⎝⎭
, 因为,GB GC 不共线,所以0
0b a a -=⎧-=,
即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D
【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角
25．D
【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．
【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒ 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形
故选：D ．
【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 26．D
【分析】
由正弦定理可得，sin B =
，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】
由正弦定理可得，sin sin b A B a ==， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.
故选：D
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 27．C
【分析】
在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =
，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC R A
=
求解. 【详解】
在ABC 中，5AB AC ==，6BC =， 由余弦定理得：2222225567cos 225525
AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，
所以24sin 25
A ==， 由正弦定理得：625224sin 425
BC R A ===， 所以258
R =， 此三角形的外接圆半径是
258 故选：C
本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 28．D
【分析】
由22
()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22
bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．
【详解】
解：22()S a b c +=+，
2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22
bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，
因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17
A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．
15cos 17
A ∴=-． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
29．A
【分析】
利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出λμ⋅的值.
【详解】 E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()111244AE AO AC AB AD =
==+， ()113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=
+-=-，14λ∴=，34μ=-. 因此，1334416
λμ⎛⎫⋅=
⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】 本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题.
【解析】
分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：
BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=
2211()()24222
BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 31．B
【分析】
先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.
【详解】
()22224419||=1||3m m n m n
n m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+，
令()(0x x f x x n =<≤=,则()
'1f x =，令()'0f x =，得
2x =∴当02x <<时， ()'0f x >，当2
x << ()'0f x <， ∴当
2
x =时， ()f x 取得最大值f =⎝⎭
，故选B. 【点睛】 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 32．D 【分析】
由题，延长AP 交BC 于点D ，利用共线定理，以及向量的运算求得向量,,CP CA CD 的关系，可得DP 与AD 的比值，再利用面积中底面相同可得结果.
【详解】
延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线， 所以(1)CP mCA nCD m n =++=，设CD kCB =
代入可得CP mCA nkCB =+
即()(1)AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB -=-+-⇒=--+
又因为1142AP AB AC =+，即11,142nk m nk =--=，且1m n += 解得13,44
m n == 所以1344
CP CA CD =+可得4AD PD = 因为BPC ∆与ABC ∆有相同的底边，所以面积之比就等于DP 与AD 之比 所以BPC ∆与ABC ∆的面积之比为
14 故选D
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，共线定理以及四则运算，解题的关键是在于向量的灵活运用，属于较难题目.
33．A
【分析】
根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．
【详解】
法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos 3
π＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·
(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·
[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·
[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2
＝(1－λ)·
4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，
∴λ＝12
，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，
则B (2,0)，C (1，)，D (－13．
令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－33)·
(x －13＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP ＝λAB ，∴λ＝
12.故选A. 【点睛】
1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·
b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.
34．C
【分析】 化简得到22AM AB AC λμ=+，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大
值. 【详解】 ()
1222AM AE AF AB AC λμ=+=+， 故2222224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭ 故()()()222223134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立.
故选：C .
【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.
35．D
【分析】
由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状．
【详解】
由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴2B π
π<<．
∴ABC 是钝角三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念．。