江城区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

江城区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面
ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）
A B D ．34
2． 函数f （x ）=1﹣xlnx 的零点所在区间是（ ）
A ．（0，）
B ．（，1）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
3． 下列四组函数中表示同一函数的是（ ）
A ．()f x x =，2()g x =
B ．2()f x x =，2()(1)g x x =+
C ．()f x =
()||g x x =
D ．()0f x =，()g x =
1111]
4． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则=2
1V V
（ ）1111]
A ．4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
5． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（ ）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．15
6． 方程x= 所表示的曲线是（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
7． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）
A ．只有减区间没有增区间
B ．是f （x ）的增区间
C ．m=±1
D ．最小值为﹣3
8． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+
取得最小值时，实数a 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
或 D ．3
9． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．()()
2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a >
B ．0a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
二、填空题
11．设函数3
2
()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．
12．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.
13．已知tan()3αβ+=，tan()24
π
α+
=，那么tan β= .
14．已知变量x ，y ，满足
，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为
．
15．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
16．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．
三、解答题
17．（本题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，E 是棱CD 上的一点，P 是棱1AA 上的一点.
（1）求证：⊥1AD 平面D B A 11； （2）求证：11AD E B ⊥；
（3）若E 是棱CD 的中点，P 是棱1AA 的中点，求证：//DP 平面AE B 1.
18．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5A B 两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
x ＜y ，且A 和B 两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B 班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X 表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X 的期望．
19．在ABC ∆中已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断ABC ∆的形状.
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：AF⊥EF．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l1，l2是椭圆的任意两条切线，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
22．设F是抛物线G：x2=4y的焦点．
（1）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（2）设A，B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．
江城区实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
2．【答案】C
【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0，
∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
3．【答案】C
【解析】
试题分析：A定义域值域均不相同，B对应法则不相同，D定义域不相同，故选C.
考点：定义域与值域．
4．【答案】B
【解析】
考
点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
5．【答案】C
【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5，
当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9，
当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，
当a=13时，满足退出循环的条件，
故输出的结果为13，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．【答案】C
【解析】解：x=两边平方，可变为3y2﹣x2=1（x≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．
7．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，
当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣2，
故正确的是B，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
8．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时，+取得最小值．
故选：C．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
9．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x
＞
时，解得， 综上知，a=
﹣时，A=
（﹣
，），符合题意，排除B 、D ；
取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，
∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾； （2）﹣1≤x ≤0，解得x ＜0，矛盾； （3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ，
故选A ．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
10．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用.
二、填空题
11．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()3322
12121210x x a x x a x x ++++++≤,即
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于
()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故
()12122133x x a a
x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，代入前面不等式,并化简得()1a +()2
2520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 12．【答案】120 【解析】
考
点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中根据
sin :sin :sin 3:5:7A B C =，根据正弦定理，可设3,5,7a b ===，即可利用余弦定理求解最大角的余弦，
熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键． 13．【答案】4
3
【解析】
试题分析：由1tan tan()24
1tan π
ααα++
=
=-得1tan 3α=， tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβα
αβα
+-=++
1
34313133-
=
=+⨯
． 考点：两角和与差的正切公式． 14．【答案】
【解析】解：作
的可行域如图：
易知可行域为一个三角形， 验证知在点A （1，2）时， z 1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log 4（2x+y+4）最大是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
16．【答案】30°．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
三、解答题
17．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.
18．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，
=（6+x+8.5+8.5+y），
∵，∴x+y=17，①
∵，
=，
∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②
由①②解得或，
∵x＜y，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，
共有个基本事件，
∴P（C）=，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．
∆为等边三角形．
19．【答案】ABC
【解析】
试题分析：由2
=，根据正弦定理得出2a bc
=，在结合2a b c
A B C
sin sin sin
==，
=+，可推理得到a b c 即可可判定三角形的形状．
考点：正弦定理；三角形形状的判定．
20．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵EF⊂平面PDC，
∴AF⊥EF．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为，
∴=，解得，
∴椭圆C的方程为．…
（2）①当l1，l2的斜率存在时，设l1：y=kx+m，l2：y=kx+n（m≠n）
，
△=0，m2=1+2k2，同理n2=1+2k2m2=n2，m=﹣n，
设存在，
又m2=1+2k2，则|k2（2﹣t2）+1|=1+k2，k2（1﹣t2）=0或k2（t2﹣3）=2（不恒成立，舍去）
∴t2﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），
②当l1，l2的斜率不存在时，
点B（±1，0）到l1，l2的距离之积为1．
综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…
22．【答案】
【解析】解：（1）设切点．
由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，
故所求切线方程为．
即y=x0x﹣x02．
因为点P（0，﹣4）在切线上．
所以，，解得x0=±4．
所求切线方程为y=±2x﹣4．
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0．
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1．
点A，C的坐标满足方程组，
得x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系知，
|AC|==4（1+k2），
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．
同理可求得|BD|=4（1+），
S ABCD=|AC||BD|==8（2+k2+）≥32．
当k=1时，等号成立．
所以，四边形ABCD面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．。