梁的切应力强度条件

* FS S z FS t I zb 2I z
h2 2 4 y
tmax
O
(1) t沿截面高度按二次抛物 线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应 力tmax在中性轴处( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)， 切应力为零。
tmax
z
y
t max
FS h FS h 3 FS 3FS 3 8I z 8 bh 12 2 bh 2 A
n y m dx
F
* N2
F
* N1
My1 M *s1 d A * dA A A Iz Iz
M * A* y1 d A I z S z
面积AA1mm' 对中性轴 z的静矩
F
* N2
(M d M ) M dM * *s 2 d A * y1 d A Sz A A Iz Iz
tmin
且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、 下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应 力流”。
三、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征： (1) <<r0→沿壁厚切应 tmax 力的大小不变； r0 O y 最大切应力tmax 仍发生 在中性轴z上。
tmax
(2) 内、外壁上无切应力 →切应力的方向与圆周 相切； (3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y 轴相交的各点处切应力 为零。
2
2


二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力

d O b
O
t
y
t' t A* s
y
* FS S z t Izd
h
y
dA
h h h/ 2 y S b y d y 2 2 2 2 2 b d h 2 h y 2 2 2
320
F1
50kN 50kN 50kN
F2
10
100 9.5
C截面弯矩为
M C 112.5kN m
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
10
y
s C ,max
FS(kN)
75
25 25 75 112.5
M C 112.5 106 Wz 692.2 103 162.5MPa [s ]
t
薄壁环形截面梁最大切应力的计算 r0
I p d A 2πr0 r 2πr
2 A 2 0
3 0
O
A 2πr0
O 2 r0 /p
y
C
y
I p I z I y 2I z 1 I z I p πr03 2 2r0 * S z πr0 2r02 π * 2 FS S z FS (2r0 ) t max 3 I z 2 πr0 (2 ) FS FS 2 πr0 A
3 100 10 320 10 2 4 I z 11075 .5 10 2[ 10010( ) ] 12 2 2 16522 104 mm4
Iz 16522104 Wz 972103 mm3 ymax (320/ 2) 10
s E ,max
M max 150 106 154.3MPa [s ] 3 Wz 972 10
3对于拉压强度不等的材料制成的梁应采用对中性轴不对称的截面以尽量使梁的最大工作拉压应力分别达到或接近材料的许用拉应maxmaxmaxmax三合理设计梁的外形考虑各截面弯矩变化可将梁局部加强或设计为变截50kn50kn50kn95100若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力则称为等强度梁鱼腹梁
ql2/8
I zb
t
材料在横力弯曲时的许用切应力
q
E
m G mH l/2
C D l
F
C
smax
D
smax
梁上smax所在点处于 单轴应力状态，其正 应力强度条件为
ql/2
s max s
G H
t
s
s
t
梁上任意点G 和H →平面应力状态， 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行，而必 须考虑两者的共同作用（强度理论）。
z
h y
m
A1 m'
b
O
B1
t A
t'
dx
y m
B n
窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：
(1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；
(2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等。
m' z
h y
n' m n
根据切应力互等定理
t t
x推得： (1) t' 沿截面宽度方向均匀分 布；
* z
2 b d h * 2 h y Sz 2 2 2
腹板与翼缘交界处
tmax
t min
FS b h Izd 2
* FS S z , max
tmax O
y
中性轴处 t max
Izd
tmin
y
FS,max 75kN
FS(kN)
75 25
75
112.5
x
x
M max 150kN m
M(kN· mm)
112.5 150
320 10
F1
60kN 50kN 40 kN
F2
10
100 9.5
C B E A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
最大弯矩为
M max 150kN m
x
x
剪应力强度条件
t max s max S z ,max
dIz 75103 9.5 274.6
M(kN· mm)
112.5 150
28.8MPa [t ]
满足强度条件
例4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许 用正应力[σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试 选择工字钢的型号。
320 10
F1
50kN 50kN
50kN
F2
10
100 9.5
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
y
解 1、计算反力得FA 75kN
FB 75kN
320 10 25
F1
50kN 50kN 50kN
F2
10
100
9.5
C B A 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m FA FB
根据前面的分析
n y m dx
* FN2
FS S t I zb
* z
矩形截面梁弯曲切应力计算公式
* FS S z t I zb
z
y1 y y
其中：
FS→ 横截面上的剪力；
dA
Iz → 整个横截面对于中性轴的惯性矩；
b → 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；
* Sz → 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对
y
m' n'
M(x)
m n
A1
FS(x)
m'
s
y A B y m n
b
y m
dx
n
dA
横截面上纵向力不平 衡意味着纵截面上有水平 剪力，即有水平切应力分 布。
* * FN2 d FS FN1
z y1 A1 O B1 d F A
x
dA s * FN1 m'
S
B
而横截面上纵向力的大小为
最大切应力tmax 在中性轴z处
d
tmax O k y 2d /3p O'
t max
* FS S z Izd
1 πd 2 2d FS 2 4 3π πd 4 d 64 4 FS 4 FS π 2 3A 3 d 4
k'
O C
y
Ⅱ、梁的切应力强度条件 一般tmax发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 s=0。不计挤压，则tmax所在点处于纯剪切应力状态。
q
E m G mH l/2 C D F E
tmax
F
tmax
l
梁的切应力强度条件为
ql/2
t max t
ql/2
对等直梁，有
* FS,max S z , max
§4-5 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力 推导思路：近似方法
不同于前面章节各种应力计算公式的分析过程
分离体的平衡 横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
一、矩形截面梁 F1 F2 m n
x m n dx
q(x) h
b z
m'
z
h
n'
m O n M(x)+d M(x) x FS(x)+d FS(x) z
2 Fபைடு நூலகம் b d h h Izd 22 2
2、翼缘上的切应力

h
(1) 平行于y 轴的切应力 a、因为翼缘的上、下表面 无切应力，所以翼缘上、下边 缘处平行于y 轴的切应力为零； b、计算表明，工字形截面 梁的腹板承担的剪力
A1
m'
O
B1
t A
b
t'
dx
y m
B n
(2) 在dx微段长度内可以认为t' 没有变化。
即
z
t b d x d FS
dM * Sz 又 d FS Iz
由两式得
* z
y1
A1
O
B1 d F A
x
dA s * FN1 m'
* z
S
B
FS S dM S t d x I zb I zb
矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律
m' n' n (1) 由于梁的侧面为t =0的 自由表面，根据切应力互 等定理，横截面两侧边处 x 的切应力必与侧边平行； (2) 对称轴y处的切应力必沿 y轴方向，即平行于侧边； (3)横截面两侧边处的切应 力值大小相等，对于狭长 矩形截面则沿截面宽度其 值变化不会大。
ql2/8
横力弯曲梁的强度条件：
s max s
t max t
q E
强度 足够
设计截面时
F
m G mH l/2
C D l
s max s
确定截面尺寸
ql/2
验 证
t max t
ql2/8
例4-19 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其 中间区段焊上两块 10010 3000mm的钢板制成。材 料均为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校 核该梁的强度。
四、圆截面梁 d
切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周 相切；切应力分布与 y轴对称； 与 y轴相交各点处的切应力其 方向与y轴一致。 k' 关于其切应力分布的假设：
tmax
O k y O'
* FS S z ty I z b( y )
1、离中性轴为任意距离y的水 平直线段上各点处的切应力汇 交于一点 ； 2、这些切应力沿 y方向的分量 ty沿宽度相等。
50kN A 150 80kN B 500 500 47.5kN
解：（1）作内力图，确定 最大剪力和最大弯矩 FA=97.5kN,FB=32.5kN, FSmax=50kN, Mmax=16.25kN.m
32.5kN 50kN 7.5kN.m
（2）由正应力强度条 件，选择工字钢型号：
16.25kN.m
d
O
b
t
y
FS1 t d A 0.9 FS
A1
可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一 般不考虑。
y
(2) 垂直于y 轴的切应力

d
F
* N2
O
b
t
y
dM * Sz F F d FS Iz * FS S z t 1 I z
* N2 * N1
F t
* 1 N1
M max s max [s ] Wz
M max 16.25106 3 Wz 101.56cm [s ] 160
查表，选14号工字钢：Wz=102cm3, d=5.5 mm, Iz:Sz=12cm （4）校核剪应力强度
t1'
h
t1 d x d FS
FS h FS t1 t1 h I z 2 2 2 I z

t1max tmax O
y
tmax
FS t1 h 2I z
即翼缘上垂直于y轴的切 应力随按线性规律变化。
中性轴的静矩
矩形横截面上弯曲切应力的变化规律
* Sz * y1 d A A
z
y1 y
y
dA
* z
FS S t I zb
h/2 y h b y y 2 2 2 b h 2 y 2 4
2 FS b h 2 F h 2 2 S t y y I zb 2 4 2 I 4 z
M * F Sz Iz M dM * * FN2 Sz Iz
* N1
z
y1 A1 O B1 d F A x
纵截面上水平剪力值为
dA s * FN1 m'
S
B
F
x
0
* * d F S FN2 FN1
n y m dx
* FN2
dM * d FS Sz Iz
要确定与之对应的水平切应力t‘ 还需要补充条件。