高中数北师大必修五案：第一章 数列 2.1 等差数列(二) Word含答案

2.1 等差数列(二)
[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．
知识点一 推广的等差数列的通项公式
已知a 1求a n ，则a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥1)．
已知a m 求a n ，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ≤n )．
思考 已知等差数列{a n }中的a m 和a n ，如何求d?
★答案★ 由{a n }的通项公式得
a n ＝a 1＋(n －1)d ，
a m ＝a 1＋(m －1)d ，
两式相减得a n －a m ＝(n －m )d ，
∴d ＝a n －a m n －m
. 知识点二 等差数列的性质
1．若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有 数 列
结 论 {c ＋a n }
公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n }
公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k }
公差为2d 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }
公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)
2.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…….
3．下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别的，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则有a m ＋a n ＝2a p .
思考 等差数列{a n }中，若a 5＝7，a 9＝19，则a 2＋a 12＝________，a 7＝________. ★答案★ 26 13
4．等差数列的“子数列”的性质
若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则
(1)数列{a n }去掉前几项后余下的项仍组成公差为d 的等差数列．
(2)奇数项数列{a 2n －1}是公差为2d 的等差数列，
偶数项数列{a 2n }是公差为2d 的等差数列．
(3)若数列{k n }是等差数列，则数列{ak n }也是等差数列．
(4)从等差数列{a n }中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差要随之发生变化．
题型一 等差数列的性质及应用
例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.
(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得
a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .
由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13
. ∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23
. 方法二 根据等差数列性质
a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.
由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13
， ∴a 4＋a 8＝2a 6＝23
. (2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)，
∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，
∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，
∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，
∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.
反思与感悟 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪训练1 在等差数列{a n }中：
(1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；
(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________．
★答案★ (1)15 (2)18
解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.
(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20
＝18.
题型二 等差数列项的设法及运算
例2 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则
⎩⎪⎨⎪⎧
(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94，(a －3d )(a ＋3d )＋18＝(a －d )(a ＋d )， 又因为是递增数列，所以d >0，
所以解得a ＝±72，d ＝32
， 此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
反思与感悟 三个数或四个数成等差数列的设法．
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a 1和公差d 列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a －d ，a ，a ＋d ；四个数时，设a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，利用和为定值，先求出其中某个未知量．
跟踪训练2 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
解 方法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，
a 2＋
b 2＋
c 2＝116，
解得a ＝4，b ＝6，c ＝8.
这三个数为4,6,8.
方法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得
⎩⎪⎨⎪⎧
(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18， ①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2，
∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，
∴这三个数为4,6,8.
题型三 等差数列的综合问题
例3 已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1
(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列，并写出{b n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的通项公式及数列{a n }中的最大项与最小项．
解 (1)因为a n ＝2－1
a n －1(n ≥2，n ∈N *)，
所以a n －1＝a n －1－1a n －1
， 所以1a n －1＝a n －1－1＋1a n －1－1＝1＋1a n －1－1
， 即1a n －1－1a n －1－1
＝1. 因为b n ＝1a n －1
，所以b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)． 又a 1＝14，b 1＝1a 1－1
＝－43， 所以数列{b n }是以b 1＝－43
为首项，1为公差的等差数列． 故b n ＝－43＋(n －1)×1＝n －73
(n ∈N *)． (2)由(1)得a n ＝1n －73
＋1＝1＋33n －7，当n ≥3时，数列{a n }是递减数列，且a n >1. 又a 1＝14，a 2＝－2，a 3＝52，所以在数列{a n }中，最大项为a 3＝52
，最小项为a 2＝－2. 反思与感悟 解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a 1和公差d 为未知数的方程(组)或不等式(组)．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．
跟踪训练3 设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )
A ．d <0
B ．d >0
C ．a 1d <0
D ．a 1d >0 ★答案★ C
解析 设b n ＝2a 1a n ，则b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋
1.∵y ＝2x 是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.
题型四 等差数列的实际应用
例4 某公司2009年经销一种数码产品，获利200万元，从2010年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解 记2009年为第一年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，则每年获利构成等差数列{a n }，且当a n <0时，该公司经销此产品将亏损． 设第n 年的利润为a n ，因为a 1＝200，公差d ＝－20，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .
由题意知数列{a n }为递减数列，令a n <0，
即a n ＝220－20n <0，得n >11，
即从第12年起，也就是从2020年开始，该公司经销此产品将亏损．
反思与感悟 解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点
(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中．
(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题．
跟踪训练4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A ．1升
B.6766升
C.4744
升 D.3733升 ★答案★ B
解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，
由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322d ＝766
，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.
审题不仔细致误
例5 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围为________．
错解 方法一 由a 10>0得－24＋9d >0，∴d >83
. 方法二 由⎩⎨⎧ a 10>0a 9<0得⎩⎪⎨⎪⎧
－24＋9d >0－24＋8d <0，∴83<d <3. 错因分析 解答本题，应注意理解“从第10项开始为正数”的含义，它表明“a 10>0”的同时还表明“a 9≤0”这一条件．
正解 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>0，a 9≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－24＋9d >0，－24＋8d ≤0， ∴83
<d ≤3.
★答案★ 83
<d ≤3 误区警示 解答此类问题，应注意仔细审题，认真挖掘题目中的隐含条件，并注意应用．
1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( )
A ．5
B ．8
C ．10
D ．14
★答案★ B
解析 方法一 设等差数列的公差为d ，
则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，
所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.
方法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.
2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12
a 8的值为( ) A ．4B ．6C ．8D ．10
★答案★ C
解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，
∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12
a 6＝8. 3．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )
A ．a 1＋a 101>0
B ．a 2＋a 101<0
C ．a 3＋a 99＝0
D ．a 51＝51
★答案★ C
解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，
又∵a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝…＝2a 51，
∴a 51＝0＝a 3＋a 99.
4．下列是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个结论：
p 1：数列{a n }是递增数列；
p 2：数列{na n }是递增数列；
p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列；
其中正确的结论是( )
A ．p 1，p 2
B ．p 3，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4
★答案★ D
解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以p 1正确；a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，因4d ＞0，所以是递增数列，p 4正确，故选D.
5．在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. ★答案★ 24
解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24.
∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.
1.在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n
为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .
2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素．有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的关系列方程组求解．但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。