2015-2016年山东省潍坊市高二(下)期中数学试卷(文科)和答案

2015-2016学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）
A．B．
C．D．＝0.08x+1.23
3．（5分）已知命题p：∃x∈R，＞x，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题
4．（5分）“直线l的方程为x﹣y＝0”是“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．（5分）若函数f（x）＝a2﹣sin x，则f′（β）等于（）
A．2a﹣cosβB．﹣cosβC．﹣sinβD．a2﹣cosβ6．（5分）若曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x﹣y＝0，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B等于（）
A．B．C．D．
8．（5分）光线沿着直线y＝﹣3x+b射到直线x+y＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax+2射出，则有（）
A．a＝，b＝6B．a＝﹣，b＝﹣6C．a＝3，b＝﹣
D．a＝﹣3，b＝
9．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣10＝0的实根个数是（）
A．3B．2C．1D．0
10．（5分）若f（x）＝﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）已知i是虚数单位，若复数（1+ai）（2﹣i）是纯虚数（a∈R），则复数a+i的共轭复数为．
12．（5分）若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0切于点P（﹣1，2），则ab 的积为．
13．（5分）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．
14．（5分）设P（x0，y0）是椭圆+＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦
点，则•的最大值为．
15．（5分）如果函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f（x）在区间内单调递增；
②函数y＝f（x）在区间（4，5）内单调递增；
③函数y＝f（x）的最小值是f（﹣2）和f（4）中较小的一个；
④函数y＝xf′（x）在区间（﹣3，﹣2）内单调递增；
⑤函数y＝xf′（x）在区间内有极值点；
则上述判断中正确的是．
三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤）
16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．17．（12分）已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0及命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a＝0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：
（1）求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？
（2）请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？
（n＝a+b+c+d）参考公式：，
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＜﹣1，f（x）在（0，1]上的最大值为﹣1，求a的值．
20．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（1）当k＝e时，证明f（x）≥0恒成立；
（2）若k＞0，且对于任意x＞0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．
21．（14分）已知椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1和F2，
以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且＝0．求证：直线l在y轴上的截距为定值．
2015-2016学年山东省潍坊市高二（下）期中数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：由＝，
则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故选：C．
2．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）
A．B．
C．D．＝0.08x+1.23
【解答】解：法一：
由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D
由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），
将x＝4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B
法二：
因为回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，
故选：C．
3．（5分）已知命题p：∃x∈R，＞x，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题
【解答】解：命题p：∃x∈R，＞x，取x＝成立，因此是真命题；
命题q：∀x∈R，x2＞0，取x＝0时不成立，因此是假命题．
∴只有命题p∧（￢q）是真命题，
故选：D．
4．（5分）“直线l的方程为x﹣y＝0”是“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：由圆的标准方程可知，圆心坐标为（0，0）．若“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”，则等价为直线过圆心，所以成立．
但平分圆x2+y2＝1的周长的直线，不一定是x﹣y＝0，必然x+y＝0，也成立．
故“直线l的方程为x﹣y＝0”是“直线l平分圆x2+y2＝1的周长”的充分不必要条件．
故选：A．
5．（5分）若函数f（x）＝a2﹣sin x，则f′（β）等于（）
A．2a﹣cosβB．﹣cosβC．﹣sinβD．a2﹣cosβ
【解答】解：f′（x）＝﹣cos x，
∴f′（β）＝﹣cosβ，
故选：B．
6．（5分）若曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x﹣y＝0，则实数a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：∵曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线方程是2x﹣y＝0，即y＝2x，∴曲线y＝x3+ax在坐标原点处的切线的斜率为2，
由y＝x3+ax，得y′＝3x2+a，
＝a＝2，
∴y′|x
＝0
即a＝2．
故选：C．
7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B等于（）
A．B．C．D．
【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2＝ac，
由c＝2a，则b＝a，
＝，
故选：B．
8．（5分）光线沿着直线y＝﹣3x+b射到直线x+y＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax+2射出，则有（）
A．a＝，b＝6B．a＝﹣，b＝﹣6C．a＝3，b＝﹣
D．a＝﹣3，b＝
【解答】解：在直线y＝﹣3x+b上任意取一点A（1，b﹣3），
则点A关于直线x+y＝0的对称点B（﹣b+3，﹣1）在直线y＝ax+2上，
故有﹣1＝a（﹣b+3）+2，即﹣1＝﹣ab+3a+2，∴ab＝3a+3，
结合所给的选项，
故选：B．
9．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣10＝0的实根个数是（）
A．3B．2C．1D．0
【解答】解：令f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣10，
则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
∵f（1）＝﹣6，f（3）＝﹣10，
则f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣10的简图如下：
故选：C．
10．（5分）若f（x）＝﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）
【解答】解：由题意可得，当x＞1时，f′（x）＝﹣x+a+2+≤0，即a≤x﹣﹣2．
由于函数y＝x﹣﹣2在（1，+∞）上单调递增，∴y＞﹣2，∴a≤﹣2，
故选：A．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）已知i是虚数单位，若复数（1+ai）（2﹣i）是纯虚数（a∈R），则复数a+i的共轭复数为﹣2﹣i．
【解答】解：∵（1+ai）（2﹣i）＝（a+2）+（2a﹣1）i是纯虚数，
∴，解得a＝﹣2．
∴a+i＝﹣2+i，其共轭复数为﹣2﹣i．
故答案为：﹣2﹣i．
12．（5分）若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0切于点P（﹣1，2），则ab
的积为2．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2＝5，则圆心坐标为（﹣2，0），
则过圆心与P直线的斜率k＝＝2，而直线ax+by﹣3＝0的斜率为﹣，
所以2•（﹣）＝﹣1，化简得：2a＝b①，
又把P点坐标代入ax+by﹣3＝0得：﹣a+2b﹣3＝0②，
把①代入②解得a＝1，把a＝1代入①解得b＝2，
则ab＝2．
故答案为：2
13．（5分）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2＝﹣4x．
【解答】解：设抛物线方程为y2＝mx，
代入P（﹣2，2），可得，
8＝﹣2m，即有m＝﹣4，
则抛物线的方程为y2＝﹣4x．
故答案为：y2＝﹣4x．
14．（5分）设P（x0，y0）是椭圆+＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则•的最大值为4．
【解答】解：∵P（x0，y0）是椭圆+＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个
焦点，
∴|PF1|+|PF2|＝8，且|PF1|＞0，|PF2|＞0，
∴•≤＝＝4，
∴当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时，
•取最大值4．
故答案为：4．
15．（5分）如果函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，给出下列判
断：
①函数y＝f（x）在区间内单调递增；
②函数y＝f（x）在区间（4，5）内单调递增；
③函数y＝f（x）的最小值是f（﹣2）和f（4）中较小的一个；
④函数y＝xf′（x）在区间（﹣3，﹣2）内单调递增；
⑤函数y＝xf′（x）在区间内有极值点；
则上述判断中正确的是②③⑤．
【解答】解：①函数y＝f（x）在区间（﹣3，﹣2）上f′（x）＜0，函数为减函数，则①错误；
②函数y＝f（x）在区间（4，5）内f′（x）＞0，则函数单调递增；故②正确，
③由图象知当x＝﹣2或4时，函数f（x）取得极小值，则函数y＝f（x）的最小
值是f（﹣2）和f（4）中较小的一个，③正确；
④函数y＝xf′（x）在区间（﹣3，﹣2）的导数为y′＝f′（x）+x[f′（x）]′，∵当﹣3＜x＜﹣2时，f′（x）＜0，且f′（x）为增函数，∴[f′（x）]′＞0，∴y′＝f′（x）+x[f′（x）]′＜0，即y＝xf'（x）在区间（﹣3，﹣2）上单调递减，故④错误，
⑤函数y＝xf′（x）的导数y′＝f′（x）+x[f′（x）]′，
当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0，f′（x）为减函数，∴[f′（x）]′＜0，
此时y′＝f′（x）+x[f′（x）]′＞0此时函数y＝xf'（x）为增函数，
当2＜x＜3时，f′（x）＜0，f′（x）为减函数，∴[f′（x）]′＜0，
此时y′＝f′（x）+x[f′（x）]′＜0此时函数y＝xf'（x）为减函数，
则函数y＝xf'（x）在区间内有极值点；故⑤正确，
故答案为：②③⑤．
三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤）
16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设复数z＝a+bi（a，b∈R），
由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+（b+2）i∈R，
∴b+2＝0，即b＝﹣2．
又，
∴2b+a＝0，即a＝﹣2b＝4．∴z＝4﹣2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z＝4﹣2i，
∵（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i
对应的点在复平面的第一象限，
∴
解得a的取值范围为2＜a＜6．
17．（12分）已知命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0及命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a＝0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【解答】解：命题p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，当a＝0时，1＞0成立，因此a＝0满足题意；当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．
综上可得：0≤a＜4．
命题q：∃x0∈R，x02﹣x0+a＝0，∴△1＝1﹣4a≥0，解得．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴命题p与q必然一真一假．
∴或，
解得a＜0或．
∴实数a的取值范围是a＜0或．
18．（12分）学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如表：
（1）求：学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少？并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？
（2）请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？
（n＝a+b+c+d）参考公式：，
【解答】解：（1）学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是＝25%，
＝15%．
由于两个百分比差距明显，故初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．（3）根据表格：
假设H0：损毁餐椅数量与学习雷锋精神无关，则K2应该很小．
根据题中的列联表得k2＝＝6.25＞5.024，…（11分）由P（K2≥5.024）＝0.025，
有97.5%的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关．
19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+lnx，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＜﹣1，f（x）在（0，1]上的最大值为﹣1，求a的值．
【解答】解：（1）f′（x）＝ax+＝，（x＞0）．
当a≥0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，f′（x）＝，
则函数f（x）在（，+∞）上单调递减，在（0，）上单调递增．
综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
当a＜0时，函数f（x）在（，+∞）上单调递减，在（0，）上单调递增．
（2）a＜﹣1时，∈（0，1）．
由（1）可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，1]上单调递减，∴当x＝时，函数f（x）取得极大值即最大值，∴＝+ln ＝﹣1，
∴ln＝﹣，解得a＝﹣e．
20．（13分）已知函数f（x）＝e x﹣kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．（1）当k＝e时，证明f（x）≥0恒成立；
（2）若k＞0，且对于任意x＞0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．【解答】（1）证明：k＝e时，f（x）＝e x﹣ex，x∈R，f′（x）＝e x﹣e，令f′（x）＝e x﹣e＝0，解得x＝1，
∴x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；∴x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）在x＝1时取得极小值，即最小值，f（1）＝0．
∴f（x）≥f（1）＝0，因此当k＝e时，f（x）≥0恒成立．
（2）解：f′（x）＝e x﹣k，k＞0，
令f′（x）＝e x﹣k＝0，解得x＝lnk，
①k∈（0，1]时，lnk≤0，因此x＞0，令f′（x）＝e x﹣k＞0，此时函数f（x）
单调递增，
∴f（x）＞f（0）＝1＞0恒成立．
②k∈（1，+∞）时，lnk＞0，
因此x＞lnk，令f′（x）＞e lnk﹣k＝k﹣k＞0，此时函数f（x）单调递增；
0＜x＜lnk时，f′（x）＜k﹣k＝0，此时函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）在x＝lnk时取得极小值，即最小值，因此f（lnk）＝k﹣klnk＝k（1﹣lnk）＞0．
解得1＜k＜e．
综上①②可得：实数k的取值范围是（0，e）．
21．（14分）已知椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1和F2，
以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且＝0．求证：直线l在y轴上的截距为定值．
【解答】（1）解：由题设知b＝c，又a＝2，所以b＝c＝2，故椭圆方程为
；…（2分）
（2）证明：因为M（0，2），所以直线l与x轴不垂直．
设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝
…（6分）
又，所以（x1，y1﹣2）•（x2，y2﹣2）＝0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝0，
x1x2+（kx1+m）（kx2+m）﹣2（kx1+m+kx2+m）+4＝0，
整理得（k2+1）x1x2+k（m﹣2）（x1+x2）+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）×+k（m﹣2）×（﹣）+（m﹣2）2＝0，…（10分）因为m≠2，所以2（k2+1）（m+2）﹣4k2m+（2k2+1）（m﹣2）＝0
展开整理得3m+2＝0，即m＝﹣．
直线l在y轴上的截距为定值﹣．…（12分）。