第二节：特殊角的三角函数值

1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标：
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点：
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
学习难点：进一步体会三角函数的意义. 【知识要点】 三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系 平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 倒数关系：tanA·cotA ＝1 商的关系：tanA ＝
A A cos sin ，cotA ＝A
A
sin cos (2)互为余角的函数之间的关系
sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinA tan(90°－A)＝cotA ， cot(90°－A)＝tanA 一些特殊角的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90°
sin α 0
1
cos α 1
tan α
1
-----
【典型例题】
例1．求下列各式的值． （1）︒+︒-︒60cos 45cos 30sin （2）︒⋅︒-︒30cos 30sin 260sin
（3)︒+︒+︒50cos 50sin 45cos 222 (4)︒+︒60sin 30cos 22
（5)︒-︒60cos 445cos 2
(6)︒-︒
︒60cos 245cos 45sin
(7)︒
-︒︒+︒30sin 30cos 60sin 60cos (8)()260cos 60sin ︒-︒
例2 求下各式的值. （1）︒
⋅︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan （2）()2
60cot 60tan ︒+︒
（3）︒︒+︒-︒52tan 38tan 45tan 230cot 3
3
（4）︒⋅︒⋅⋅︒⋅︒⋅︒89tan 88tan 3tan 2tan 1tan (2)已知5cos 5sin 2cos 3sin -=+-α
αα
α,求αtan 的值.
例3 已知的取值范围是则锐角a a ,3
2
tan =（ ）
A.︒<<︒300a
B.︒<<︒4530a
C.︒<<︒6045a
D.︒<<︒9060a
【大显身手】 一、选择
# 1．在ABC Rt ∆中，︒=∠︒=∠60,90A C ，BC=1，则AB=（ ） A ．2 B ．2
C ．
2
3 D ．
33
2
# 2．在ABC Rt ∆中，5
2
sin ,10,90==︒=∠B AB C ，BC 的长是（ ） A ．212 B ．4
C ．21
D ．
50
21 # 3．下列表达式正确的是（ ） A ．︒=︒+︒90cos 60cos 30cos B ．145cos 45sin =︒⋅︒
C. 163cos 27cos 22=︒+︒ D ．3
360cos 30sin =
︒+︒ # 4.已知α是锐角,6.0sin =α,则( ) A.︒<<300α B.︒<<︒4530α
C.︒<<︒6045α
D.︒<<︒9060α
# 5.当锐角︒>∠60A 时,A ∠的余弦值( ) A.大于2
3 B.小于2
3
C.大小
21 D.小于
2
1 # 6．在ABC ∆中，︒=∠90C ，如果43
sin =
A ，那么=
B tan （ ）
A ．
4
3 B.
47 C.
7
3 D.
3
7
# 7．已知,cos sin m =+ααn =⋅ααcos sin ，则n m ,的关系是（ ）
A ． n m = B. 12+=n m C. 122
+=n m
D. n m 212
-=
# 8．在α为直角三角形的内角，则()2cos sin 1αα--等于（ ）
A ． ααcos sin 1-- B. ααcos sin 1++ C ． 0
D. 1cos sin -+αα
# 9．当∠A 为锐角，且3cot <A 时，A ∠（ ）
A ．小于︒30 B.大于︒30 C.小于︒60
D.大于︒60
# 10．当锐角3045A ︒<<︒时，cot A 的值是（ ）
A ．0cot 1A <<
B ．1cot 3A <<
C ．
3
cot 33a << D ．
3
cot 13
A <<
# 11．ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，正确的式子是（ ）
A. 1cos sin <+A A
B. 1cos sin =+A A
C. 1cos sin >+A A
D. 1cos sin ≥+A A
二、填空
# 1．用“<”号连接︒︒︒44cos ,43cos ,41sin 是 .
# 2.在ABC Rt ∆中,B A C ∠∠︒=∠,,90和C ∠的对边分别是b a ,和c , 已知25=a ,2
15=b ,则c = ,A ∠= ,B ∠= ．
# 3．在ABC Rt ∆中，33,30,90=︒=∠︒=∠AC A C ， 则AB= ．
4．在ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，AB=8cm ，AC=cm 34， 则AD= cm.
5.一梯形，它的两个下底角分别为︒30和︒45，较大的腰长为10cm ， 则另一腰长为 ，两底之差为 .
6．在△ABC 中，若2
23
sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∠A 、∠B 都 是锐角，则∠C= ．
7．在△ABC 中，∠C=90o ，若33AC BC =，则∠A= ，
cos B = ．# 1．在锐角ABC ∆中，已知3)90tan(=-︒A ，则=A t a n .
8.已知7155.0tan ,7155.05254cot =='︒α,且α为锐角,则=α .
9.已知2
1
cot ,2tan =
=B A ,则锐角A 与B 的关系是 .
10.在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,若13
5
cos =
A ,则=A tan .
11.若锐角A 满足2cot tan =-A A ,则A A 2
2cot tan += .
12．已知tan 3α=，则2sin cos 3cos sin αα
αα
-+= .
13．在ABC Rt ∆中，=++C B A 2
2
2
sin sin sin
=++C B A 222cos cos cos ．
14.∠A 是锐角，当045A <∠<︒时，则sin A 、cos A 、A cot 的大小顺序为 .
【小试锋芒】
1．若A ∠是锐角，则2sin 2sin 1A A -+= . 2．式子12sin30cos30-︒︒= .
3．已知090α︒<<︒，化简()
21sin sin 90α
α--︒-= .
4．已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5
sin 13
A =，则sin
B = . 二、选择
1．在△ABC 中，∠C=90°，则下列各式中不正确的是（ ） A ．sin a
c A
= B ．cos b
c A
=
C ．cos b
c B =
D ．sin b
c B
=
2．在△ABC 中，∠C=90°，3
sin ,234
B c ==，则b 等于（ ）
A ．4
B ．83
5
C ．
33
2
D ．
72
3．△ABC 中，若2cos 2
A =，3cos 2
B =，则此三角形是（ ）三角形。

A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．直角或钝角
4．等腰三角形的腰是底的2.5倍，则底角的余弦值等于（ ） A ．
25
5
B ．612
C ．15
D ．
25
1．()0
232sin 451212
π--
+︒+-+ 2．()sin 45cos30sin 601sin 3032cos60︒+︒
-︒-︒-︒
3.︒⋅︒⋅︒46tan 45tan 44tan
4.︒-︒⋅︒45tan 330cos 60tan
5.()2
30cos 30sin 260sin 145cos 60sin 145sin ︒-︒+︒
-︒-︒+︒
6.︒⋅︒⋅︒+︒
-︒︒
+︒-︒46tan 45tan 44tan 45cos 30cos 30sin 60cos 45sin 1
7.()
2
2
2
160sin 30tan 41
2160cos 2--︒⋅︒+++︒-
已知α是锐角，且tan α、cot α是关于x 小一元二次方程
2280x kx k -+-=的两个实数根，求k 的值。