9.2.2两条直线的交点与垂直
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所以 l1 l2 A1A2 B1B2 0
得出结论
l1 l2 A1A2 B1B2 0
两直线垂直的充要条件
活学活用
例7：判断下列各对直线是否垂直： (1)2x-4y-7=0与2x+y-5=0 (2)2x=7与3y-5=0
解： （1）因为法向量分别取为n1=(2,-4),n2=(2,1)
求两条直线 程 组
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
这个方程组的解就是两条直线交点的坐标.
活学活用
例5、已知两条直线的方程
L1:2x-y-5=0，L2:x-3y-10=0，判断这两条直 线是否相交。如果相交，求出交点坐标。
解：显然，直线L1的一个法向量可取为n1=(2,-1), L2的一个法向量可取为n2=(1,-3),因为2×(-3)≠(-1)×1 所以直线L1与L2相交。解方程组 2x-y-5=0
9.2.2 两条直线的交点与垂直
(1)两条直线平行的充要条件？
存在一个非零实数,使n1 n2,且C1 C2
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示 成什么？ Ax+By+D=0
新知探究
• n1=(A1,B1)是直线L1:A1x+B1y+C1=0的 一个法向量， n2=(A2,B2)是直线 L2:A2x+B2y+C2=0的一个法向量.如果n1
将点(2,1)代入方程，得D=-3，
所求直线方程为：2x-y-3=0
新知探究
• n1=(A1,B1)是直线L1:A1x+B1y+C1=0的 一个法向量， n2=(A2,B2)是直线 L2:A2x+B2y+C2=0的一个法向量.因为
l1 l2 n1 n2 n1 n2 0 又因为n1 n2 A1A2 B1B2
• 布置作业： • P94.练习9-6第3题
活学活用
例9、求过点(1,2),且与直线2x+y-10=0 垂直的直线方程。 解：设所求直线为x-2y+D=0， 因为直线过点(1,2),将其代入方程得
1-2×2+D=0 解这个方程，得 D=3 所以，所示直线方程为x-2y+3=0.
知识梳理
l1与l2相交 A1B2 A2B1
l1 l2 A1A2 B1B2 0
x-3y-10=0 得 x=1
y=-3 所以直线L1与L2交点的坐标（1，-3）.
活学活用
例6：求过两条直线x-y-1=0和x+y-3=0的 交点，且与2x-y=0平行的直线方程。
解：解方程组 x-y-1=0 得： x=2
x-y-3=0
y=1
因此所求直线过点(2,1)且与2x-y=0平行，
设所求直线方程为：2x-y+D=0,
与n2不平行，即A1B2≠A2B1,.那么直线
L1与L2相交；反之亦然。
得出结论
l1与l2相交 A1B2 A2B1
如果L1与L2相交，由于交点同时在这两条 直线上，因此交点的坐标是这两个方程 组成方程组的解；反之，如果方程组有唯 一的公共解，则以此解为坐标的点必是两 直线的交点。
得出结论
而且 n1·n2=2×2+(-4)×1=0 所以这两条直线垂直。
（2）学生黑板板书
得出结论
例8：求证直线Ax+By+C1=0与直线 Bx-Ay+C2=0垂直。
证明：因为法向量分别取为n1=(A,B),n2=(B,-A), 而且 n1·n2=AB+B×(-A)=0 所以这两条直线垂直.
一般地，与直线Ax+By+C=0垂直的直线 都可以表示为：Bx-Ay+D=0.
得出结论
l1 l2 A1A2 B1B2 0
两直线垂直的充要条件
活学活用
例7：判断下列各对直线是否垂直： (1)2x-4y-7=0与2x+y-5=0 (2)2x=7与3y-5=0
解： （1）因为法向量分别取为n1=(2,-4),n2=(2,1)
求两条直线 程 组
A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
这个方程组的解就是两条直线交点的坐标.
活学活用
例5、已知两条直线的方程
L1:2x-y-5=0，L2:x-3y-10=0，判断这两条直 线是否相交。如果相交，求出交点坐标。
解：显然，直线L1的一个法向量可取为n1=(2,-1), L2的一个法向量可取为n2=(1,-3),因为2×(-3)≠(-1)×1 所以直线L1与L2相交。解方程组 2x-y-5=0
9.2.2 两条直线的交点与垂直
(1)两条直线平行的充要条件？
存在一个非零实数,使n1 n2,且C1 C2
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示 成什么？ Ax+By+D=0
新知探究
• n1=(A1,B1)是直线L1:A1x+B1y+C1=0的 一个法向量， n2=(A2,B2)是直线 L2:A2x+B2y+C2=0的一个法向量.如果n1
将点(2,1)代入方程，得D=-3，
所求直线方程为：2x-y-3=0
新知探究
• n1=(A1,B1)是直线L1:A1x+B1y+C1=0的 一个法向量， n2=(A2,B2)是直线 L2:A2x+B2y+C2=0的一个法向量.因为
l1 l2 n1 n2 n1 n2 0 又因为n1 n2 A1A2 B1B2
• 布置作业： • P94.练习9-6第3题
活学活用
例9、求过点(1,2),且与直线2x+y-10=0 垂直的直线方程。 解：设所求直线为x-2y+D=0， 因为直线过点(1,2),将其代入方程得
1-2×2+D=0 解这个方程，得 D=3 所以，所示直线方程为x-2y+3=0.
知识梳理
l1与l2相交 A1B2 A2B1
l1 l2 A1A2 B1B2 0
x-3y-10=0 得 x=1
y=-3 所以直线L1与L2交点的坐标（1，-3）.
活学活用
例6：求过两条直线x-y-1=0和x+y-3=0的 交点，且与2x-y=0平行的直线方程。
解：解方程组 x-y-1=0 得： x=2
x-y-3=0
y=1
因此所求直线过点(2,1)且与2x-y=0平行，
设所求直线方程为：2x-y+D=0,
与n2不平行，即A1B2≠A2B1,.那么直线
L1与L2相交；反之亦然。
得出结论
l1与l2相交 A1B2 A2B1
如果L1与L2相交，由于交点同时在这两条 直线上，因此交点的坐标是这两个方程 组成方程组的解；反之，如果方程组有唯 一的公共解，则以此解为坐标的点必是两 直线的交点。
得出结论
而且 n1·n2=2×2+(-4)×1=0 所以这两条直线垂直。
（2）学生黑板板书
得出结论
例8：求证直线Ax+By+C1=0与直线 Bx-Ay+C2=0垂直。
证明：因为法向量分别取为n1=(A,B),n2=(B,-A), 而且 n1·n2=AB+B×(-A)=0 所以这两条直线垂直.
一般地，与直线Ax+By+C=0垂直的直线 都可以表示为：Bx-Ay+D=0.