常见递推数列通项地九种求解方法

常见递推数列通项地九种求解⽅法
常见递推数列通项的九种求解⽅法
⾼考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有⼴度，创新度和深度，是⾼考的热点之⼀。

是⼀类考查思维能⼒的好题。

要求考⽣进⾏严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍⼏种常见递推数列通项公式的求解⽅法。

类型⼀：1()n n
a a f n +=+（()f n 可以求和）
→解决⽅法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：
121(2)n n a a n n --=-≥
∴21324311
3
521
n n a a a a a a a a n --=??-=??
-=-=-?? 上述1n -个等式相加可得：∴2
11n a a n -=- 2n a n ∴=
评注：⼀般情况下，累加法⾥只有n-1个等式相加。

【类型⼀专项练习题】
1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

3、已知数列}a {n 满⾜1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中，n
n n a a a 2,311+==+，求n a 。

5、已知112a =,112n
n n a a +??=+
*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
6、已知数列{}n a 满⾜11,a =()1
132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？
7、若数列的递推公式为1*
113,23()n n n a a a n N ++==-?∈，则求这个数列的通项公式
8、已知数列}a {n 满⾜3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

9、已知数列{}n a 满⾜211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。

10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公⽐不为1的等⽐数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式．
11、设平⾯有n 条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平⾏，任意三条直线不过同⼀点．若⽤()f n 表⽰这
n 条直线交点的个数，则(4)f = ；
当4n >时，()f n = （⽤n 表⽰）．
答案:1. (12n n n a +=） 2. (31)2n n n a += 3.21n a n =+ 4. 21n n a =+ 5. 1
3122n n a -??=- ?
6. 312n n a -=
7. 1123n n a +=-
8. 31n
n a n =+- 9. 312n a n =- 10.(1)2 (2) 22n a n n =-+
11.(1)5 (2) 22
2
n n -+
类型⼆：1
()n n
a f n a +=? （()f n 可以求积）
→解决⽅法累积法例1、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项公式。

解析：12 32
112321
n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=
1232111
43n n n n n n --=
+-2
1
n =
+ ⼜1a 也满⾜上式；21n a n ∴=+ *
()n N ∈
评注：⼀般情况下，累积法⾥的第⼀步都是⼀样的。

【类型⼆专项练习题】
1、已知11a =，11
1
n n n a a n --=
+(2n ≥)，求n a 。

2、已知数列{}n a 满⾜321=a ，n n a n n
a 11+=+，求n a 。

3、已知}{n a 中，12n n n
a a n +=+，且12a =，求数列}{n a 的通项公式.
4、已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a 。

5、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、已知数列{}n a 满⾜11,a =12n
n n a a +=，求通项公式n a ？
7、已知数列}a {n 满⾜3a a 5)1n (2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

8、已知数列{a n }，满⾜a 1=1，1321)1(32--++++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项
9、设{a n }是⾸项为1的正项数列, 且(n + 1)a 21+n - na 2
n +a n +1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …)，求它的通项公式. 10、数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2
N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.
答案：1. 22n a n n =
+ 2. 23n a n = 3. ()41n a n n =?+ 4. 6
31
n
a n =- 5. n a n = 6. 22
2n n n a -=
7. 212
3!25
n n
n n a n --= 8. 1
!2
n a n ??
= 12n n =≥ 9. 1n a n =
10. 22n a n n =+
类型三：1(n n
a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）
→解决⽅法待定常数法可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1
B t A =-，则数列{}n a t +为公⽐等于A 的等⽐数列，然后求n a 即可。

例1 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。

解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+
1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+{}1n a ∴+是以112a +=为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列。

1231n n a -∴=?-
【类型三专项练习题】
1、在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

2、若数列的递推公式为*
111,22()n n a a a n N +==-∈，则求这个数列的通项公式
3、已知数列{a n }中，a 1=1，a n =
2
1
a 1-n + 1(2)n ≥求通项a n ． 4、在数列{}n a (不是常数数列)中,1122n n a a +=+且11
3
a =,求数列{}n a 的通项公式.
5、在数列{a n }中，,13,111-?==+n n a a a 求n a .
6、已知数列{}n a 满⾜*
111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式.
7、设⼆次⽅程n a x 2
- 1.＋n a x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满⾜6α-2αβ+6β=3． (1)试⽤n a 表⽰a 1n +；（2）求证：数列23n a ?? -
是等⽐数列；（3）当17
6
a =
时，求数列{}n a 的通项公式 8、在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若132
a =，22a =，并且113210(2)n n n S S S n +--++=≥，试判断{}1()n a n *-∈N 是不是等⽐数列？
答案：1. 32n n a =- 2. 1
22
n n a -=- 3. 122
n
n a -=- 4. 111423
n
n a -=-? 5. 1132n n a -+=
6. 21n
n a =- 7.(1) 11123n n a a +=+ (3) 2132n
n a ??
=+
8.是
类型四：()110n n n Aa Ba Ca +-++=??≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0
可将其转化为()()()112n n n n A a a a a n αβα+-+=+≥-----（*）的形式，列出⽅程组A B
C
αββα?-=??-?=?,解出,;
αβ还原到（*）式，则数列{}1n n a a α++是以21a a α+为⾸项， A
β
为公⽐的等⽐数列，然后再结合其它⽅法，就可以求出n a 。

例1 在数列{}n a 中， 12a =，24a =，且1132n n n a a a +-=-()2n ≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：令11(),(2)n n n n a a a a n αβα+-+=+≥
得⽅程组3
2βααβ-==-?
解得1,2;αβ=-=
()()1122n n n n a a a a n +-∴-=-≥
则数列{}1n n a a +-是以21a a -为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列
11222n n n n a a -+∴-=?=
212
323
4311
2222n n n a a a a a a a a ---=??-=??∴-=??
-= 112(12)2212n n n a a --∴-=
=--()*2n n a n N ∴=∈评注：在()
110n n n Aa Ba Ca +-++=??≠；其中A,B,C 为常数，且A B C 0中，若
A+B+C=0,则⼀定可以构造{}1n n a a +-为等⽐数列。

例2 已知12a =、23a =,116n n n a a a +-=-(2)n ≥,求n a 解析：令()()112n n n n a a a a n αβα+-+=+≥，整理得()11n n n a a a βααβ+-=-+
1
6
βααβ-=-?∴?
=? 3,2αβ∴== ()1112133292n n n n a a a a --++=+?=?；两边同除以12n +得，
1139
2224
n n n n a a +++=，
令
2n n n a b =，13924n n b b +∴+=令()132n n b t b t ++=-+，得135
22
n n
b b t ++=- 59,24t ∴-= ∴9
10
t =-193910210n n b b +??∴-=-- ，
故910n b ?
-
是以119911021010a b -=-=为⾸项，3
2
-为公⽐的等⽐数列。

∴ 1
91310102n n b -??
-=- ?
，1
91310102n n b -??
=+- ?
即1
913101022n n n
a -??
=+- ?
，得()1
9123105
n n n a -=
+- 【类型四专项练习题】
1、已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=++，求n a 。

2、已知 a 1=1，a 2=
53，2n a +=531n a +-2
3
n a ,求数列｛n a ｝的通项公式n a . 3、已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,
),1n n S a n a +=+==，
⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等⽐数列；⑵设数列),2,1(,2
==
n a c n n
n ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

12
23(1)2;n n n a n --=+-?31)22n n s n =
-?+（ 4、数列{}n a ：213520(1,)n n n a a a n n N ++-+=≥∈， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

答案：1. 1
311143n n a -
=+--?? ?
2. 2333n
n a ??=- 3.(3) 12
23(1)2;n n n a n --=+-?31)22n n s n =
-?+（ 4. 1
2323()3n n a b a a b -??
=-+- ?
类型五：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）
⼀般需⼀次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等⽐数列。

例1 设在数列{}n a 中， 11a =，()11 2122
n n a a n n -=+-≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：设 n n b a An b =++
()11
12n n a An B a A n B -∴++=
+-+
展开后⽐较得2042
61022
A
A A
B B ?+=?=-=??+-=??
这时()11
462
n n n n b b a n -=
≥=-+n 2且b {}n b ∴是以3为⾸项，以1
2
为公⽐的等⽐数列
1
132n n b -??
∴=? ?
即1
13462n n a n -=-+ ?
，1
13462n n a n -??
∴=?+- ?
例2 在数列{}n a 中， 12a =，()1
1222n n n a a n +-=+≥求数列{}n a 的通项公式。

解析：
()11222n n n a a n +-=+≥
1122n n n a a +-∴-=，两边同除以2n 得
11222n n n n a a ---=2n n
a ??
∴
是以12a =1为⾸项，2为公差的等差数列。

()112212
n
n a n n ∴
=+-?=- 即()221n n a n =- 例3 在数列{}n a 中， 15a =，(
)*
12212,n
n n a a n n N
-=+-≥∈求数列{}n
a 的
通项公式。

解析：在1221n n n a a -=+-中，先取掉2n
，得121n n a a -=-
令()12n n a a λλ-+=+，得1λ=-，即112(1)n n a a --=-；
然后再加上2n
得()()11212n n n a a --=-+ ； ()()11212n
n n a a ----=
两边同除以2n
，得
11111;22n n n n a a -----=∴12n n
a -??
是以1122a -=为⾸项，1为公差的等差数列。

()12112
n n
a n n -∴
=+-=+， ()211n
n a n ∴=++ 评注：若()f n 中含有常数，则先待定常数。

然后加上n 的其它式⼦，再构造或待定。

例4 已知数列}a {n 满⾜1a 425a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解析：在13524n n n a a +=+?+中取掉52n
待定
令()13n n a t a t ++=+，则132n n a a t +=+24t ∴=， 2t =；()1232,n n a a +∴+=+再加上52n 得，
()123252n n n a a +∴+=++?，整理得：
112235
2222
n n n n a a ++++-=，。