高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》图文解析

【最新】数学《平面解析几何》高考知识点
一、选择题
1．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则
ABC ∆的重心坐标为（ ）
A ．14,19⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．14,09⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．14,127⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】
设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则
121222
121212
4
344
AB y y y y k y y x x y y --=
===-+-，得124
3
y y +=
， 同理234263y y +=
=，31422
y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，2
2
214y x ==，
2
33449
y x ==，
则
12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，
2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A
．
4
B
．
2
C
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果.
【详解】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>
，可设(1,),(2,C m B m ，
则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩
B. 【点睛】
本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22
145
x y
-=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P
是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ） A ．5 B ．7
C ．9
D ．11
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意并结合双曲线的定义可得
1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公
式可得所求最小值． 【详解】
由题意得抛物线2
16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22
145
x y -=的左、右焦点分别为
()()123,0,3,0F F -．
∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．
∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当
2,,F P F 三点共线时等号成立，
∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ． 【点睛】
解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
4．设D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使
得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ）
A ．x 2＋（y －2）2＝20
B ．x 2＋（y －2）2＝5
C ．x 2＋（y ＋2）2＝20
D ．x 2＋（y ＋2）2＝5
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得25PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆，进而可得其轨迹方程． 【详解】
由题意得PA PD DA DB DA =+=+，
又点D 为椭圆2
2
15
y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，
∴25DB DA +=， ∴25PA =，
∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆， ∴点P 的轨迹方程为()2
2220x y ++=． 故选C ． 【点睛】
本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到25PA =，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．
5．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A ．
7
7
B ．
52
C ．
72
D 7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．
【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
6．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y
轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且
5
3
OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．
4
5
B ．
23
C ．
34
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
设出直线AB 的方程，联立直线AB 方程和渐近线方程，由此求得,A B 两点的坐标，以及
求得C 点的坐标，根据5
3
OA a =列方程，求得,,a b c 的关系，由此求得||||FB FC 的值.
【详解】
由于双曲线渐近线为b y x a =±
，不妨设直线AB 的斜率为a
b
-，故直线AB 的方程为
()a y x c b =--.令0x =，得0,ac C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由(
)a y x c b
b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2,a ab B
c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由
()a y x c b
b y x
a ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
解得22222
,a c abc A a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，由53OA a =得2
2
222222259a c abc a a b a b ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭，化简得()()2222
440a b a b --=，解得12b a =或2b a =.由于C 位于,A B 之间，故1
2b a =舍去，所以2b a
=，即2b a =.故
22222222
||44||45B C ab
y FB b b a c ac FC y c a b a a b
======++. 故选：A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查直线和直线相交所得交点坐标的求法，考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
7．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 B ．5
C
．25
D ．4
【答案】A 【解析】
圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。

由于四边形PACB 面积等于1
22
PA AC PA ⨯
⨯⨯=，而21PA PC =-. 故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.
又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而()
2
2
014521d ++==+-，
故四边形PACB 面积的最小的最小值为512-=， 故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形； （３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
8．如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则2
2
||ME NE -=（ ）
A ．2p
B ．2p
C ．22p
D ．24p
【答案】C 【解析】 【分析】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x ＝p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案． 【详解】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线
AB 为x ＝p ，由2y 2px
x p ⎧=⎨=⎩
，解得y ＝±2p ，
则A （p ，﹣2p ），B
（p ，2p ），
∵直线BM 的方程为y ＝2x ，直线AM 的方程为y ＝-2x ， 解得M （﹣p ，﹣2p ），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2， 设过点M 与此抛物线相切的直线为y +2p ＝k （x +p ），
由()
2y 2y+2=k px p x p ⎧=⎪
⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣22p +2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣22p +2p 2k ）＝0， 解得k ＝
2+2
， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为y +2p ＝
2+2
2
（x +p ）， 由()2+2
y+2=2x p p x p =⎧
⎪⎨+⎪⎩
，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，
∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2， 故选C ． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．
9．如图，12,F F 是椭圆2
21:14
x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第
二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）
A B
C ．
32
D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2
＝|F 1F 2|2＝2，∴a ，∴e
＝2. 考点：椭圆的几何性质．
10．已知双曲线22
:1124
x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的
两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】
不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，
4OF =，∴OP =POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =
∴6PQ ==. 故选C 【点睛】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.
11．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2
a C ．2a
D ．
22
a 【答案】D 【解析】 【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求
HI 的长度即可. 【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
2
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
12．已知椭圆22
1259
x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个
焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】
由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．
13．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，12F F =c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，12F F =c =
，2
2 4b a
=，
222c a b =-，解得3a =，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
14．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ，P 为抛物线上的动点，PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A ．3-
B ．2-C
D 1
【答案】D 【解析】
由已知，(01)(01)F Q ，，，-，过点P 作PM 垂直于准线，则PM PF =．记PQM α∠=，则sin PF PM m PQ
PQ
α=
=
=，当α最小时，m 有最小值，此时直线PQ
与抛物线相切于点P ．设2
04x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，可得(21)P ，
±，所以222PQ PF ，==，则2PF PQ a +=，∴21a =+，1c =，∴21c
e a
==-，故选D ．
15．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲
线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =
+=13c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b
y x x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
16．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
12225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭
⎭
()115522333
⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m
n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
17．过双曲线22
134x y -=的左焦点1F 引圆223x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲
线右支于P 点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=（ ） A ．1 B
．2
C
．1+D ．2
【答案】B 【解析】
根据三角形的中位线性质，双曲线的定义，及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】
由图象可得
()1111||MO MT MO MF TF MO MF TF -=--=-+=
()(2221111
2322322PF PF OF OT -+-=⋅-+= 故选：B. 【点睛】
本题考查圆与双曲线的综合，解题的关键是正确运用双曲线的定义，三角形的中位线性质．
18．过坐标轴上的点M 且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为
3M 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设出直线方程，根据弦长公式，转化为圆心到直线的距离建立等量关系求解. 【详解】
由直线的斜率为tan 603k ︒==3y x b =+. 圆2
2
40x y y +-=可化为2
2
(2)4x y +-=，圆心为(0,2)，半径为2r =， 则由弦长公式得：
圆心(0,2)到直线3y x b =+的距离为2
2
22232122r d l ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎭⎝⎭
=⎪⎝， 即
|2|
12
b -+=，解得0b =，4b =，故直线的方程为3y x =或34y x =+. 直线3y x =过坐标轴上的点(0,0)，
直线34y x =+过坐标轴上的点()0,4与433⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，故点M 的个数为3.
【点睛】
此题考查直线与圆的位置关系，根据弦长公式将弦长问题转化为圆心到直线的距离求解.
19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x ⎧=⎨=-⎩
得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，
则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M ，N 两点，若||MN ≥k 的取值范围是（ ）
A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．3⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．2,03
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
可通过将弦长转化为弦心距问题，结合点到直线距离公式和勾股定理进行求解 【详解】
如图所示，设弦MN 中点为D ，圆心C(3,2),330y kx kx y =+⇒-+=Q
∴弦心距2
2
2
(1)
1
CD k k =
=
+-+，又2||23||
33MN DN DN 厖?，
∴由勾股定理可得2
22222
231DN CN CD k ⎛⎫
=-=-+…，22223
1|31|
1(31)1(43)004
1
k k k k k k k k ⇒++++⇒+⇒-+剟剟
答案选A 【点睛】
圆与直线的位置关系解题思路常从两点入手：弦心距、勾股定理。

处理过程中，直线需化成一般式。