重庆一中高级上期数学期末试题
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17.(10 分)计算: (3log3 4 )2 (log9 32) (log16 81) (ln 3)0 (lg 5)2 lg 2 lg 50 .
18.(12 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn a 2n b,且a1 3 .
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()
A.{x | x b a或x a b}
B.{x | a b x a b}
C.{x | x a b}
D.
4.等比数列{an}中,S3:S2=3:2,则公比 q 的值为( )
A.1
B. 1
C.1或 1
D. 1或 1
2
2
2
5.对于定义在 R 上的任何奇函数 f (x) ,均有( )
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重庆一中高 2007 级(上)期数学期末试题
一.单选题.(每小题 5 分,共 60 分)
1.下列关系中,正确的是( ) ① 0 N ; ② {0}; ③{0} ; ④ 2 {x | x 10}
A.①②
B.①③
C.②③
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7.数列{an}为等差数列是数列{2an } 为等比数列的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8.已知函数 f (x) loga (x2 ax 3) (a 0且a 1) 满足:对任意实数 x1, x2 ,当
x1
x2
2
x
)
log
a
(
2 x 1
1)
(x (1,1))
g(x) 2 1易知 g(1) g(x) , ∴ g(x) 0 即原函数值域 R x 1
∴ f 1 (x) 的定义域 R.
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12.已知函数 y f (x) 的图象关于直线 x 1对称,且当 x (0,) 时, f (x) 1 x
,则 x (,2) 时, f (x) 的解析式是( )
1 A.
x2
1 B.
2x
C. 1 x
D. 1 x2
二.填空题.(每小题 4 分,共 16 分)
log a
x 1 1 x
log a
1 1
x x
log a
(1 1
x ) 1 x
loga
x 1 1 x
f
(x)
∴ f (x) 为奇函数.
(2)由
y
log a
x 1 解得 1 x
x
ay ay
1 1
∴ f 1 (x) a x 1 ax 1
由于
f (x)
loga
x 1 2 1 x
log
a
(1
1
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(3)法一:设 x1
x 2 ,则
f
1 (x2 )
f
1 (x1 )
a x2 a x2
1 1
a x1 a x1
1 1
2(a x2 a x1 ) (a x2 1)(a x1 1)
1.a 1时, a x2 a x1 , 此时f 1 (x2 ) f 1 (x1 ).函数f 1 (x) 单增.
A. f (x) f (x) 0
B. f (x) f (x) 0
C. f (x) f (x) 0
D. f (x) f (x) 0
6.在同一坐标系中,函数 y ax a与y a x 的图象大致是( )
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二.填空题.(每小题 4 分,共 16 分)
13. 24
14. (1,7) (7,8)
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15. 1
16.1 m 2
三.解答题.(17 题 10 分,18—20 每题 12 分,21、22 每题 14 分,共 74 分.要求写
(2)求 f 1 (x) 的表达式,并指出其定义域;
(3)判断 f 1 (x) 单调性并证明.
20.(12 分)已知二次函数 f (x) x2 bx c (b, c R),当x [1,1] 时,有 f (x) 0 , 当 x [1,3] 时,有 f (x) 0 . (1)求 b c 的值; (2)比较 c 与 3 的大小; (3)若 f (x) 在区间[1,1] 上的最大值为 8,求 b及c 的值.
∴ 9 3b c 0
由(1) b c 1 ∴ 9 3(c 1) c 0
∴ 2c 6
∴c 3
(3)法一: f (x) 的对称轴 x b ∵ b c 1 4 2
∴ b 2 ,开口向上, ∴二次函数 f (x) 在[-1,1]上单减 2
∴ f (x)max f (1) 1 b c 8
a 2
时,总有
f
(x1 )
f
(x2 )
0 ,那么 a 的取值范围是(
)
A.(0,3)
B. (1,2 3)
C. (0,2 3)
D.(1,3)
9.已知某数列前 n 项和为 n3 ,且前 n 个偶数项的和为 n2 (4n 3) ,则前 n 个奇数
项的和为( )
A. 3n2 (n 1) B. n2 (4n 3)
)
3 1 1
n ]
2n
2
∴ Tn
2 (2 3
2 2n
n 2n )
4 (1 3
1 2n
n 2n1 ) .
19.(12 分)
解: (1)令 t x2 1 ∴ x2 t 1
∴
f
(t)
log a
t 1 1t
∴
f
(x)
log a
x 1 1 x
其定义域为 (1,1) .
其定义域关于原点对称.
f
(x)
②
3 a 2 a3 8a b
③
解得: a2 2a, a3 4a
∴公比 q a3 2 a2
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∴ a2 2a 2 33
∴ a 3 代入①得 b 3
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(1)求 a 、 b 的值及数列{an}的通项公式;
(2)设 bn
n an
,求数列{bn}的前 n 项和Tn .
19.(12
分)已知函数
f (x2
1)
log a
x2 2 x2
(a
0且 a
1) .
(1)求 f (x) 的表达式,并写出其定义域,并判断奇偶性;
13.等差数列{an}中, a1 3a8 a15 120,则2a9 a10 的值是
.
3x 1
14.函数 f (x)
3 的定义域是
.
log2 (8 x)
15.函数 f (x) | x | 4 ,当x [3,1] 时,记 f (x) 的最大值为 m ,最小值为 n ,则 |x|
mn=
.
16.已知命题 p:“不等式| x | | x 1 | m 的解集为 R”
D.①④
2.函数 f (x) loga x 满足 f (9) 2 ,则 f 1 ( log9 2) 的值是( )
2
A.2
B. 2
C. 2
D. log3 2
3.设 a b 0,集A {x | | x b | a}, B {x | | x a | b} ,则 (CR A) (CR B) 是
2.0 a 1时, a x2 a x1 , 此时f 1 (x2 ) f 1 (x1 ),函数f 1 (x) 单减.
法二:证 f (x) 单调性.
20.(12 分)
解: (1)由题 f (1) 0, f (1) 0 ∴ f (1) 0
∴1 b c 0
∴ b c 1
(2)∵ f (3) 0
C. 3n2
D. 1 n3 2
10.设 函 数 f (x) ax2 bx c (a 0,b R)满足f (x) f (2 x) ,则
f (2 x )与f (3x ) 的大小关系是( )
A. f (3x ) f (2 x )
B. f (3x ) f (2 x )
C. f (3x ) f (2 x )
∴ an 3 2n1
(2) bn
n an
n 3 2n1
∴ Tn
1 (1 3
2 2
3 22
4 23
...
n 2n1 )
④
1 2 Tn
1 (1 32
2 22
3 23
4 24
...
n 2n
)
⑤
④-⑤得:
1 2
Tn
1 (1 3
1 2
1 22
...
1 2 n1
n )
2n
1
1(1 [
1 2n
D. f (3x ) f (2 x )
11.若函数
f (x)
4x x4
,
且x1
2, xn1
f (xn ), n N * ,则 x2003 是(
)
1 A.
500
1 B.
501
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1 C.
499
1 D.
498
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解: (1)解法一:当 n 2 时, an Sn Sn1 (a 2n b) (a 2n1 b) 2n1 a
由 a1 3 得: S1 a1 2a b 3
又{an}等比数列, ∴ a1 a 3
a 3 于是 b 3
∴通项公式 an 3 2n1
3 2a b
①
解法二:由题有 3 a2 4a b
①
由(1) b c 1 ②
b 4 联系①②解得 c 3 .
法二: x [1,1]时, f (x) 的最大值为 8. 开口向上,又 f (1) 0
∴只能是 f (1) 1 b c 8 .下同法一.
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)现
有
两
个
函
数
f1 ( x)
2
log a
2 (x2
6ax
8a 2 )
(a
0, a
1),
f2 (x)
1
(1)若
f1 ( x)
在给定区间 [2a
1,2a
3]上有意义,求 a 2
的取值范围;
(2)对于区间[m, n] 上有意义的两个函数 f (x)与g(x) ,如果对于任意 x [m, n]
,均 有 | f (x) g(x) | 1,则 称 在 区 间 [m, n]上, f (x)可被g(x) 代 替 ,否 则 称 f (x)
f (x) 在 区 间 [m, n] 上 不 可 被 g(x) 代 替 .试 讨 论 在 (1)的 给 定 区 间
[2a 1,2a 3]上 2
f1 (x) 是否可被 f 2 (x) 代替.
重庆一中高 2007 级(上)期数学期末试题答案
一.单选题.(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C A B C B B C A D
出必要的解题过程.)
17.(10 分)
5
解:原式 42 log32 2 2 log24 34 1 (lg 5)2 lg 2(1 lg 5)
16
5 4
log 32Βιβλιοθήκη log 231
lg
5(lg
5
lg
2)
lg
2
16 5 1 lg 5 lg 2 16 5 1 1 17 1
4
4
4
18.(12 分)
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(本题参考数据: lg2=0.3010)
天数 1 2 3 4 5 6 7 …
病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32 64 …
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22.(14 分
命题 q:“ f (x) (5 2m) x 是减函数.”
若 “p 或 q” 为 真 命 题,同 时 “p 且 q” 为 假 命 题,则 实 数 m 的 取 值 范 围
是
.
三.解答题.(17 题 10 分,18—20 每题 12 分,21、22 每题 14 分,共 74 分.要求写 出必要的解题过程.)
21.(14 分)医学上研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细 胞注入一只小白鼠体内进行实验,经检测,病毒细胞的总数与天数的关系记 录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候小白鼠将 死亡.但注射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药 物?(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天)
18.(12 分)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn a 2n b,且a1 3 .
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()
A.{x | x b a或x a b}
B.{x | a b x a b}
C.{x | x a b}
D.
4.等比数列{an}中,S3:S2=3:2,则公比 q 的值为( )
A.1
B. 1
C.1或 1
D. 1或 1
2
2
2
5.对于定义在 R 上的任何奇函数 f (x) ,均有( )
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一.单选题.(每小题 5 分,共 60 分)
1.下列关系中,正确的是( ) ① 0 N ; ② {0}; ③{0} ; ④ 2 {x | x 10}
A.①②
B.①③
C.②③
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7.数列{an}为等差数列是数列{2an } 为等比数列的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
8.已知函数 f (x) loga (x2 ax 3) (a 0且a 1) 满足:对任意实数 x1, x2 ,当
x1
x2
2
x
)
log
a
(
2 x 1
1)
(x (1,1))
g(x) 2 1易知 g(1) g(x) , ∴ g(x) 0 即原函数值域 R x 1
∴ f 1 (x) 的定义域 R.
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12.已知函数 y f (x) 的图象关于直线 x 1对称,且当 x (0,) 时, f (x) 1 x
,则 x (,2) 时, f (x) 的解析式是( )
1 A.
x2
1 B.
2x
C. 1 x
D. 1 x2
二.填空题.(每小题 4 分,共 16 分)
log a
x 1 1 x
log a
1 1
x x
log a
(1 1
x ) 1 x
loga
x 1 1 x
f
(x)
∴ f (x) 为奇函数.
(2)由
y
log a
x 1 解得 1 x
x
ay ay
1 1
∴ f 1 (x) a x 1 ax 1
由于
f (x)
loga
x 1 2 1 x
log
a
(1
1
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(3)法一:设 x1
x 2 ,则
f
1 (x2 )
f
1 (x1 )
a x2 a x2
1 1
a x1 a x1
1 1
2(a x2 a x1 ) (a x2 1)(a x1 1)
1.a 1时, a x2 a x1 , 此时f 1 (x2 ) f 1 (x1 ).函数f 1 (x) 单增.
A. f (x) f (x) 0
B. f (x) f (x) 0
C. f (x) f (x) 0
D. f (x) f (x) 0
6.在同一坐标系中,函数 y ax a与y a x 的图象大致是( )
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二.填空题.(每小题 4 分,共 16 分)
13. 24
14. (1,7) (7,8)
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15. 1
16.1 m 2
三.解答题.(17 题 10 分,18—20 每题 12 分,21、22 每题 14 分,共 74 分.要求写
(2)求 f 1 (x) 的表达式,并指出其定义域;
(3)判断 f 1 (x) 单调性并证明.
20.(12 分)已知二次函数 f (x) x2 bx c (b, c R),当x [1,1] 时,有 f (x) 0 , 当 x [1,3] 时,有 f (x) 0 . (1)求 b c 的值; (2)比较 c 与 3 的大小; (3)若 f (x) 在区间[1,1] 上的最大值为 8,求 b及c 的值.
∴ 9 3b c 0
由(1) b c 1 ∴ 9 3(c 1) c 0
∴ 2c 6
∴c 3
(3)法一: f (x) 的对称轴 x b ∵ b c 1 4 2
∴ b 2 ,开口向上, ∴二次函数 f (x) 在[-1,1]上单减 2
∴ f (x)max f (1) 1 b c 8
a 2
时,总有
f
(x1 )
f
(x2 )
0 ,那么 a 的取值范围是(
)
A.(0,3)
B. (1,2 3)
C. (0,2 3)
D.(1,3)
9.已知某数列前 n 项和为 n3 ,且前 n 个偶数项的和为 n2 (4n 3) ,则前 n 个奇数
项的和为( )
A. 3n2 (n 1) B. n2 (4n 3)
)
3 1 1
n ]
2n
2
∴ Tn
2 (2 3
2 2n
n 2n )
4 (1 3
1 2n
n 2n1 ) .
19.(12 分)
解: (1)令 t x2 1 ∴ x2 t 1
∴
f
(t)
log a
t 1 1t
∴
f
(x)
log a
x 1 1 x
其定义域为 (1,1) .
其定义域关于原点对称.
f
(x)
②
3 a 2 a3 8a b
③
解得: a2 2a, a3 4a
∴公比 q a3 2 a2
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∴ a2 2a 2 33
∴ a 3 代入①得 b 3
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(1)求 a 、 b 的值及数列{an}的通项公式;
(2)设 bn
n an
,求数列{bn}的前 n 项和Tn .
19.(12
分)已知函数
f (x2
1)
log a
x2 2 x2
(a
0且 a
1) .
(1)求 f (x) 的表达式,并写出其定义域,并判断奇偶性;
13.等差数列{an}中, a1 3a8 a15 120,则2a9 a10 的值是
.
3x 1
14.函数 f (x)
3 的定义域是
.
log2 (8 x)
15.函数 f (x) | x | 4 ,当x [3,1] 时,记 f (x) 的最大值为 m ,最小值为 n ,则 |x|
mn=
.
16.已知命题 p:“不等式| x | | x 1 | m 的解集为 R”
D.①④
2.函数 f (x) loga x 满足 f (9) 2 ,则 f 1 ( log9 2) 的值是( )
2
A.2
B. 2
C. 2
D. log3 2
3.设 a b 0,集A {x | | x b | a}, B {x | | x a | b} ,则 (CR A) (CR B) 是
2.0 a 1时, a x2 a x1 , 此时f 1 (x2 ) f 1 (x1 ),函数f 1 (x) 单减.
法二:证 f (x) 单调性.
20.(12 分)
解: (1)由题 f (1) 0, f (1) 0 ∴ f (1) 0
∴1 b c 0
∴ b c 1
(2)∵ f (3) 0
C. 3n2
D. 1 n3 2
10.设 函 数 f (x) ax2 bx c (a 0,b R)满足f (x) f (2 x) ,则
f (2 x )与f (3x ) 的大小关系是( )
A. f (3x ) f (2 x )
B. f (3x ) f (2 x )
C. f (3x ) f (2 x )
∴ an 3 2n1
(2) bn
n an
n 3 2n1
∴ Tn
1 (1 3
2 2
3 22
4 23
...
n 2n1 )
④
1 2 Tn
1 (1 32
2 22
3 23
4 24
...
n 2n
)
⑤
④-⑤得:
1 2
Tn
1 (1 3
1 2
1 22
...
1 2 n1
n )
2n
1
1(1 [
1 2n
D. f (3x ) f (2 x )
11.若函数
f (x)
4x x4
,
且x1
2, xn1
f (xn ), n N * ,则 x2003 是(
)
1 A.
500
1 B.
501
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1 C.
499
1 D.
498
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解: (1)解法一:当 n 2 时, an Sn Sn1 (a 2n b) (a 2n1 b) 2n1 a
由 a1 3 得: S1 a1 2a b 3
又{an}等比数列, ∴ a1 a 3
a 3 于是 b 3
∴通项公式 an 3 2n1
3 2a b
①
解法二:由题有 3 a2 4a b
①
由(1) b c 1 ②
b 4 联系①②解得 c 3 .
法二: x [1,1]时, f (x) 的最大值为 8. 开口向上,又 f (1) 0
∴只能是 f (1) 1 b c 8 .下同法一.
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)现
有
两
个
函
数
f1 ( x)
2
log a
2 (x2
6ax
8a 2 )
(a
0, a
1),
f2 (x)
1
(1)若
f1 ( x)
在给定区间 [2a
1,2a
3]上有意义,求 a 2
的取值范围;
(2)对于区间[m, n] 上有意义的两个函数 f (x)与g(x) ,如果对于任意 x [m, n]
,均 有 | f (x) g(x) | 1,则 称 在 区 间 [m, n]上, f (x)可被g(x) 代 替 ,否 则 称 f (x)
f (x) 在 区 间 [m, n] 上 不 可 被 g(x) 代 替 .试 讨 论 在 (1)的 给 定 区 间
[2a 1,2a 3]上 2
f1 (x) 是否可被 f 2 (x) 代替.
重庆一中高 2007 级(上)期数学期末试题答案
一.单选题.(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C A B C B B C A D
出必要的解题过程.)
17.(10 分)
5
解:原式 42 log32 2 2 log24 34 1 (lg 5)2 lg 2(1 lg 5)
16
5 4
log 32Βιβλιοθήκη log 231
lg
5(lg
5
lg
2)
lg
2
16 5 1 lg 5 lg 2 16 5 1 1 17 1
4
4
4
18.(12 分)
学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！
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学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！
(本题参考数据: lg2=0.3010)
天数 1 2 3 4 5 6 7 …
病毒细胞总数 N 1 2 4 8 16 32 64 …
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22.(14 分
命题 q:“ f (x) (5 2m) x 是减函数.”
若 “p 或 q” 为 真 命 题,同 时 “p 且 q” 为 假 命 题,则 实 数 m 的 取 值 范 围
是
.
三.解答题.(17 题 10 分,18—20 每题 12 分,21、22 每题 14 分,共 74 分.要求写 出必要的解题过程.)
21.(14 分)医学上研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防,将病毒细 胞注入一只小白鼠体内进行实验,经检测,病毒细胞的总数与天数的关系记 录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108 的时候小白鼠将 死亡.但注射某种药物,将可杀死其体内该病毒细胞的 98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药 物?(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物,才能维持小白鼠的生命?(精确到天)