高中数学新人教版A版精品教案《购房中的数学----数列在房贷中的应用》

购房中的数学
——数列在房贷中的应用
一、教材内容和内容解析
本节课选自人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学必修5A版》第二章《数列》的“探究与发现购房中的数学”，教材将其安排在等差数列与等比数列之后，符合建构主义理论思想，新旧知识的双向互动作用表现为了同化和顺应。

该内容与数学息息相关，体现出数列与生活联系紧密，数学来自于生活，并服务于生活。

本问题的解决需要掌握数列的概念、数列求和公式等基础知识和数据处理的运算能力，合理地建立数学模型。

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，其过程可用下框图体现：
二、学情分析
学生在学习本节内容之前已经学习了数列的基本知识，如求数列通项、数列求和等；学生已具
²的商品房，每平方米的售价为7500元。

（二）买二手房：一套面积为12021的二手房，售价为82万元，要
求首付30万元以上。

刘先生要买房还需要贷款，他去咨询了一家银行有关购房贷款事宜，银行的工作人员向他提供了以下信息：
申请住房商业贷款，贷款期限为2021较合适，购房的首期付款不得低于实际购房总额的30%，贷款额应该不高于实际购房总额的70%，还款方式可采用等额本金或等额本息还款。

等额本金还款：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。

贷款人需要将本金平均分摊到每期内，同时付清上一交易日（还款日）至本次还款日之间产生的利息。

等额本息还款：借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。

两种还款方式的区别如图，等额本息每月还款数一样，等额本金还款额逐月减少。

分期付款中约定： ⑴利息以复利计算；
⑵每次还款间隔相同，还款数目相同；
⑶商品价值与每期还款额，从购买之初到贷款全部付清，随着时间的增加而增值。

两者本利和相等。

问题：你能根据所学知识，为刘先生出谋划策吗？ 【设计意图】将生活中的案例以材料的形式推送到学生期（12
m
年，1期为1个月），每月还款一次，设月利率为r 。

1. 等额本金还款： 每月还本金：
=A
m
贷款本金贷款期数
每月还利息：-=(1)A A n r m ⎡⎤
⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦
（贷款本金累计已归还贷款本金）月利率-
记每月还款额为n a ，n 表示第n 个月，则n a =每月还本金每月还利息，即
n a =
（分析：这是一个 数列，它的基本量有 ）
到期后所有还款总数m S = 答案：(1)()n A A Ar A Ar a A n r n Ar m m m m m ⎡⎤
=
+⨯-⨯=+++⎢⎥⎣⎦
--
等差，首项
A Ar m +，公差Ar m -
(1)()()(1)222
m A m m Ar rm r S Ar m A m m -=++=++-
【设计意图】步骤设计详细，目的使学生深入理解等额本金还款中，每月所还本金是固定的，每月利息在逐月递减。

2等额本息还款：
方法一：各期所还款额增值=商品售价增值
记刘先生每月还款元，m 个月后，银行共收到的付款及利息总和=贷款A 万元m 个月的本息总和。

第1个月还款元，产生的本息和：1(1)m x r -+
第2个月还款元，产生的本息和： 第3个月还款元，产生的本息和： ……
第m-3个月还款元，产生的本息和： 第m-2个月还款元，产生的本息和： 第m-1个月还款元，产生的本息和： 第m 个月还款元，产生的本息和：
这m 个月银行收到的付款及利息总和：11(1)m y x r -=++ 贷款A 万元m 个月的本息总和2y =
因m 个月还清了所有贷款，所以12y y =，即： 所以每月还款额= 答案：2(1)m x r -+，3(1)m x r -+，3(1)x r +，2(1)x r +，1(1)x r +，0(1)x r +
233210(1)(1)...(1)(1)(1)(1)m m x r x r x r x r x r x r --++++++++++++ (1)m A r +
01231(1)(1)(1)(1)...(1)(1)m m x r x r x r x r x r A r -++++++++++=+ (1)(1)1
m m
Ar r r ++- 【设计意图】抓住分期付款问题的本质分析问题：商品价值与每期还款额，从购买之初到贷款全部付清，随着时间的增加而增值。

两者本利和相等。

方法二：
贷款总额A 万元，设每个月还款元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作{a n }： 第1个月还款元后，还有欠款a 1＝ ；
第2个月还款元后，还有欠款a 2＝a 11＋r －＝ ； 第3个月还款元后，还有欠款a 3＝a 21＋r －＝ ；
……
第m 个月还款元后，还有欠款a m ＝a m-11＋r －＝ ；
因为经过m 个月还清了贷款，所以a m ＝0，即 故每个月的还款额x = （分析：这是一个 数列）
到期后所有还款总数m S = 答案：1(1)a A r x =+-，22(1)(1)a A r x r x =+-+-，323(1)(1)(1)a A r x r x r x =+-+-+-
122(1)(1)(1)...(1)(1)m m m m a A r x r x r x r x r x --=+-+-+--+-+- 122(1)(1)(1)...(1)(1)m m m A r x r x r x r x r x --+=+++++++++ (1)(1)1
m
m
Ar r r ++-，常数， (1)(1)1
m
m m
Arm r S r +=+- 【设计意图】用逆向思维，从欠款角度考虑，构造数列{a n }，用叠加法将每个月的欠款列出关系式，由最后一个月刚好还清贷款即欠款为0计算出每个月还款额元。

【合作交流】请你与组内成员交换建模结果，看是否有出入，互相探讨。

【设计意图】团队内部检查正误，便于下一环节的开展。

（三）模型求解与模型验证
²的速度增长，请问刘先生的这套房子可以出售多少万元？你认为还需要搜集哪些资料才能评估这套房屋的价钱？请你试一试。

【设计意图】这是个开放问题，由学生自由发挥，上网查阅或与老师、同学交流，探究发现生活中的数学问题。

（六）课堂提升与小结
请你说一说，购房需要做一些什么准备工作？购房贷款需要做好哪些预算？需要用到我们学过的什么知识？请用思维导图的形式画出今天我们所学的知识与你自己的收获。

（七）课后作业
（教师通过期（
12
m
年，1期为1个月），每月还款一次，设月利率为r 。

2. 等额本金还款：
每月还本金：
=A
m
贷款本金贷款期数
每月还利息：-=(1)A A n r m ⎡⎤
⨯⨯-⨯⎢⎥⎣⎦（贷款本金累计已归还贷款本金）月利率-
记每月还款额为n a ，n 表示第n 个月，则n a =每月还本金每月还利息，即
n a =
（分析：这是一个 数列，它的基本量有 ） 到期后所有还款总数m S = 2等额本息还款：
方法一：各期所还款额增值=商品售价增值
记刘先生每月还款元，m 个月后，银行共收到的付款及利息总和=贷款A 万元m 个月的本息总和
第1个月还款元，产生的本息和：1(1)m x r -+
第2个月还款元，产生的本息和： 第3个月还款元，产生的本息和： ……
第m-3个月还款元，产生的本息和： 第m-2个月还款元，产生的本息和： 第m-1个月还款元，产生的本息和： 第m 个月还款元，产生的本息和：
m 个月所有还款总额：11(1)m y x r -=++ 贷款A 万元m 个月的本息总和2y =
因m 个月还清了所有贷款，所以12y y =，即：
所以每月还款额=
方法二：
贷款总额A万元，设每个月还款元后的剩余欠款按月份构成一个数列，记作{a n}，则有：
第1个月还款元后，还有欠款a1＝；
第2个月还款元后，还有欠款a2＝a11＋r－＝；
第3个月还款元后，还有欠款a3＝a21＋r－＝；
……
第m个月还款元后，还有欠款a m＝a m-11＋r－＝；
因为经过m个月还清了贷款，所以a m＝0，即
故每个月的还款额x=
（分析：这是一个数列）
到期后所有还款总数
S=
m
【任务二】按小组分派不同的任务，八个学习小组分别到不同的银行查阅贷款利率等资料。

据调查，在柳州的刘先生可选择在中国银行，中国工商银行，中国建设银行，中国邮政储蓄银行，招商银行，中国光大银行，浦发银行，中信银行中选择贷款银行。

1模型求解：查阅数据并计算、整理。

步骤：
（1）任务派送：我们被随机分派到的银行是：
（2
²的速度增长，请问刘先生的这套房子可以出售多少万元？
你认为还需要搜集哪些资料才能评估这套房屋的价钱？请你试一试。

【课后作业】
梁女士要购买一间商铺，请你帮她做一下大致规划，并阐述理由。