吉林省长春市吉大附中2021-2022学年九年级下学期一模数学试题(含答案解析)

吉林省长春市吉大附中2021-2022学年九年级下学期一模数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题
1．下列各数中，最大的数是（）
A．﹣2B．0C．3D．6
2．据省统计局公布的数据，2021年上半年某省统筹疫情防控和经济社会发展成效持续显现，农村居民人均可支配收入达到10010元，高出全国平均水平762元，这里“10010”用科学记数法表示（）
A．5
⨯D．5
1.00110
⨯
1.00110
0.100110
⨯B．3
1.00110
⨯C．4
3．如图是由5 个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（）
A．左视图会发生改变，其他视图不变B．俯视图会发生改变，其他视图不变C．主视图会发生改变，其他视图不变D．三种视图都会发生改变
4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若⊙BCD＝30°，则⊙ABD的大小为（）
A．60°B．50°C．40°D．20°
5．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，则常数c的值为
（）
A．±4B．4C．±16D．16
6．如图，在△ABC中，⊙C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（）
A．B．
C ．
D ．
7．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．
A ．7.5米
B ．8米
C ．9米
D ．10米
8．如图，直线y n =交y 轴于点A ，交双曲线()0k
y x x
=>于点B ，将直线y n =向下平移2个单位长度后与y 轴交于点C ，交双曲线()0k y x x
=>于点D ，若1
3
AB CD =，则n 的值（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．5
二、填空题
9．分解因式：2218x -=_______．
10．命题“两直线平行，同旁内角相等”是_______命题．（填“真”或“假”）
11．将直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若151∠=︒，则2∠=_______．
12．如图，已知30AOB ∠=︒，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心，2cm 为半径作
M ，当OM =________cm 时，M 与OA 相切.
13．如图所示，把一张矩形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，若得到一个钝角为120°的菱形，则剪口与第二次折痕所成角的度数应为_______．
14．已知函数221y x x =+-，当2m x m ≤≤+时，22y -≤≤，则m 的取值范围是_______． 三、解答题
15()()0
3
129tan30--+--︒．
16．图⊙、图⊙均为44⨯的正方形网格，线段AB 、BC 的端点均在格点上，按要求在图⊙、图⊙中作图并计算其面积．
（1）在图⊙中画一个四边形ABCD ，使四边形ABCD 有一组对角相等，S 四边形
ABCD
= ；
（2）在图⊙中画一个四边形ABCE ，使四边形ABCE 有一组对角互补，S 四边形
ABCE
= ．
17．先化简，再求值：（
1
1a -＋1）÷21
a a -，其中a ＝﹣4． 18．如图，在⊙ABC 中，⊙C ＝90°，点O 为AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切于点D ，连结AD ，过D 作DE ⊙AB ，垂足为点E ． （1）求证：AD 平分⊙CAB ．
（2）若AB ＝20，且AE ：EB ＝3：2，则⊙O 的半径为 ．
19．2020年11月19日，长春发生了罕见的冻雨灾害，市政清洁队一个小分队承担着2100米长的道路冰雪清理任务．为了提高清理进度，在清理了300米后增加了人数和设备，清理效率是原来的4倍，结果共用了5小时就完成了清理任务求原来每小时清理的长度．
20．为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列可题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级______名学生，并将频数分布直方图补充完整；（2）估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（含120分）学生有______名；
（3）扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为_______ ．
（4）如果第一组（75~90）中只有一名是女生，第五组（135~150）中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想．请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生好是一名女生和一名男生的概率．
21．一艘轮船在航行中遇到暗礁船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积
水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为()y t ，时间为()min x ，y 与x 之间的函数图象如图所示．
（1）修船过程中排水速度为_________t/min ，a 的值为__________． （2）求修船完工后y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）当船内积水量是船内最高积水量的1
2时，直接写出x 的值．
22．【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图⊙在ABC 中，,AB AC D =在AB 上，
E 在AC 的延长上，DE 交BC 于点
F ，且DF EF =，求证:BD CE =.
小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图⊙过D 点作//DG AC 交BC 于G ，进而解决了该问题.（不需要证明）
【探究】如图⊙，在四边形ABCD 中，//AB DC ，E 为BC 边的中点，
,BAE EAF AF ∠=∠与DC 的延长线交于点F ，试探究线段AB 与AF CF 、之间的数量
关系，并证明你的结论.
【应用】如图⊙，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边
上的点，若AG ＝1，BF ，⊙GEF ＝90°，则GF 的长为 .
23．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 为AB 的中点，动点P 从点A 出发以每秒4个单位向终点B 匀速运动（点P 不与A 、D 、B 重合），过点P 作AB 的垂线交折线AC BC -于点Q ．以PQ 、PD 为邻边构造矩形PQMD ．设矩形PQMD 与ABC 重叠部分图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒．
(1)直接写出PQ 的长（用含t 的代数式表示）． (2)当点M 落在ABC 的边上时，求t 的值．
(3)当矩形PQMD 与ABC 重叠部分图形为矩形时，求S 与t 的函数关系式．并写出t 的取值范围．
(4)沿直线CD 将矩形PQMD 剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的t 的值．
24．在平面直角坐标系中，把函数222y ax bx =++（a 、b 为常数）的图象记为G ． （1）求G 与y 轴交点的坐标．
（2）当2b =时，G 与x 只有一个交点，求a 的值．
（3）⊙设0k ≠，若点()2,A k t -在G 上，则点()2,B k t +必在G 上，且G 过点
()3,1C -，求G 的函数表达式．
⊙点()11,D y 、()24,E y 是⊙中函数图象上的两点，比较1y 与2y 的大小． ⊙点()3P m y +、()43,Q m y +是⊙中函数图象上的两点，比较3y 与4y 的大小． （4）矩形FHMN 四个顶点的坐标分别为()1,2F -、()4,2H -、()4,4M 、()1,4N ，当
1a =-时，函数222y ax bx =++（0x ≥）的图象在矩形FHMN 内部的部分均为自左向
右下降时，直接写出b 的取值范围．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
解：⊙﹣2＜0＜3＜6，
⊙其中最大的数是6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
10010用科学记数法表示为：4
．
1.00110
故选C
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【解析】
【分析】
根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】
如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．A
【解析】
【分析】
连接AD．利用圆周角定理求出⊙ADB=90°，⊙A=⊙BCD=30°即可解决问题．
【详解】
解：连接AD．
⊙AB是直径，
⊙⊙ADB=90°，
⊙⊙A+⊙ABD=90°，
⊙⊙A=⊙BCD=30°，
⊙⊙ABD=60°，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．B
【解析】
【分析】
根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】
⊙方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，
⊙⊙=（-4）2-4×1×c=16-4c=0， 解得：c=4． 故选B ． 【点睛】
本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键． 6．C 【解析】 【分析】
点P 到AB 、BC 的距离相等，说明点P 在ABC ∠的角平分线上，作出角平分线即可得到答案． 【详解】
解：⊙需要在边AC 上确定一点P ，使点P 到AB 、BC 的距离相等， ⊙点P 是⊙ABC 的平分线与AC 的交点， 故选：C ． 【点睛】
本题考查尺规作角的平分线，懂得把问题转化成角平分线的问题是解题关键． 7．D 【解析】 【分析】
结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】
根据题意，得：sin 370.6BC
AB
︒=≈ ⊙6BC =米 ⊙6
100.60.6
BC AB =
==米 故选：D ． 【点睛】
本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 8．B
【分析】
设B 的坐标(m ，n )，则D 的坐标(3m ，n -2)，利用反比例函数的性质计算判断即可．
【详解】
⊙直线y n =交y 轴于点A ，交双曲线()0k y x x
=>于点B ，
⊙设AB =m ，
则B 的坐标(m ，n )，
⊙直线y n =向下平移2个单位长度后与y 轴交于点C ，交双曲线()0k y x x =>于点D ，且13AB CD =， ⊙D 的坐标(3m ，n -2)，
⊙B ，D 都在反比例函数图像上，
⊙mn =3m (n -2)，
解得n =3，
故选B ．
【点睛】
本题考查了直线平移的规律，反比例函数图像与点的关系，熟练掌握反比例函数解析式的意义是解题的关键．
9．2（x +3）（x -3）
【解析】
【分析】
原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：2218x -
=2（x 2-9）
=2（x +3）（x -3），
故答案为：2（x +3）（x -3）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．假
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补来判断．
【详解】
⊙两直线平行，同旁内角互补，
⊙两直线平行，同旁内角相等是假命题，
故答案为：假．
【点睛】
本题考查了的命题真假的判断，熟练掌握正确的基本定理是解题的关键．
11．39°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质求出⊙BED=⊙1=51°，则⊙2=180°-⊙CED-⊙BED=39°．
【详解】
∥，⊙CED=90°
解：由题意得AB CD
⊙⊙BED=⊙1=51°，
⊙⊙2=180°-⊙CED-⊙BED=39°，
故答案为：39°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，几何中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．12．4
【解析】
【分析】
过M作MN⊙OA于点N，此时以MN为半径的圆M与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长.
【详解】
解：如图，过M作MN⊙OA于点N，
⊙MN=2cm，30
AOB
∠=︒，
⊙OM=4cm，
则当OM=4cm时，M与OA相切.
故答案为4.
【点睛】
本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
13．30°或60°
【解析】
【分析】
折痕为AC与BD，⊙BAD=120°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得
⊙ABD=30°，易得⊙BAC=60°，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
【详解】
解：如图，
⊙四边形ABCD是菱形，
⊙⊙ABD=1
2⊙ABC，⊙BAC=1
2
⊙BAD，AD⊙BC，
⊙⊙BAD=120°，
⊙⊙ABC=180°-⊙BAD=180°-120°=60°，
⊙⊙ABD=30°，⊙BAC=60°．
⊙剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．故答案为：30°或60°．
【点睛】
此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．
14．-3≤m ≤-1
【解析】
【分析】
先确定抛物线的对称轴，计算y =2时，自变量的值；当y =-2时，自变量的值，根据函数的增减性建立不等式计算即可．
【详解】
⊙函数221y x x =+-，
⊙对称轴为直线x =-1；
当y =2时，
221=2x x +-，
解得12=1=3x x -，；
当y =-2时，
221=2x x +--，
解得12==1x x -，
⊙2m x m ≤≤+时，22y -≤≤，
⊙31121m m -≤≤-⎧⎨-≤+≤⎩
， 解得-3≤m ≤-1，
故答案为：-3≤m ≤-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴，增减性，不等式组的解集，熟练掌握抛物线的性质，灵活转化为不等式组求解是解题的关键．
15．98
- 【解析】
【分析】
根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值的计算法则求解即可．
【详解】
()()
03
129tan30
-
-+--︒
1
19
8
=--
1
1
8
=--
9
8
=-．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂和特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．（1）6；（2）
9
2
．
【解析】
【分析】
（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知⊙CBA=⊙CDA，然后用用割补法求出面积即可；
（2）根据图中正方形网格和⊙B的特点，作出⊙E与⊙B互补，然后用割补法求面积即可．【详解】
解：（1）如图，
S四边形
1222
34226
22
ABCD
⨯⨯
=⨯-⨯-⨯=，
（2）如图，
S四边形
1222119 332
2222 ABCE
⨯⨯⨯
=⨯-⨯--=．
【点睛】
此题主要考查了应用设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补法求面积．
17．a＋1，﹣3
【解析】
【分析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（
1
1
a-
＋1）÷
21
a
a-
＝11(1)(1) 1
a a a
a a
+-+-
⋅
-
＝
1 1
a a
a
+⋅
＝a＋1，
当a＝﹣4时，原式＝﹣4＋1＝﹣3．
【点睛】
本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值后准确进行计算．
18．（1）见解析；（2）7.5
【解析】
【分析】
（1）连接OD，根据切线的性质和平行线的判定和性质证明即可；
（2）证明Rt△ACD⊙⊙Rt△AED（HL），由全等三角形的性质得出AC=AE=12，由勾股定理求出BC=16，设CD=DE=x，则BD=16-x，求出x=6，证明△ODB⊙⊙ACB，由相似三角形的
性质得出OB BD AB BC
=，则可求出答案． 【详解】
解：（1）证明：连接OD ，
⊙直线BC 是⊙O 的切线，
⊙OD ⊙BC ，
⊙⊙ODB =⊙C =90°，
⊙OD ⊙AC ，
⊙⊙CAD =⊙ODA ，
⊙OA =OD ，
⊙⊙OAD =⊙ODA ，
⊙⊙CAD =⊙OAD ，
即AD 平分⊙BAC ；
（2）⊙AB =20，且AE ：EB =3：2，
⊙AE =12，BE =8，
⊙AD 平分⊙CAB ，DE ⊙AB ，CD ⊙AC ，
⊙CD =DE ，
在Rt △ACD 和Rt △AED 中，
CD DE AD AD
⎧⎨⎩＝＝ ， ⊙Rt △ACD ⊙⊙Rt △AED （HL ），
⊙AC =AE =12，
⊙16BC ==，
设CD =DE =x ，则BD =16-x ，
⊙DE 2+BE 2=BD 2，
⊙x 2+82=（16-x ）2，
⊙x =6，
⊙DE =CD =6，
⊙BD =10，
⊙OD ⊙AC ，
⊙⊙ODB ⊙⊙ACB ， ⊙
OB BD AB BC =， ⊙20102016
OA -=， ⊙OA =7.5，
⊙⊙O 的半径为7.5
故答案为7.5．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．
19．150米
【解析】
【分析】
设原来每小时清理x 米，根据关系“效率是原来的4倍”，表示出现在的清理速度，再根据用时共5小时，列出方程即可解答．
【详解】
解：设原来每小时清理x 米，根据题意，得
300210030054x x
-+= 解得150x =
经检验，150x =是原方程的解，且符合题意．
答：原来每小时清理150米．
【点睛】
本题以工程问题为背景考查了分式方程的应用，解题的关键找到两个关系，一个关系表示未知量，另一个关系式列方程求解，注意分式方程要验根．
20．（1）50名，补充图形见解析；（2）540；（3）57.6；（4）5 8
【解析】
【分析】
（1）用第三组的频数除以它的频率即可得到调查的总人数，然后计算出第五组的频数后补全频数分布直方图；
（2）利用样本估计总体，用1500乘以第四、五组的频率和即可；
（3）根据第二组的人数求得百分数，再计算圆心角即可；
（4）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）20÷40%=50，
所以本次调查共随机抽取了该年级50名学生，
第五组的学生数为50-4-8-20-14=4，
频数分布直方图补充为：
（2）1500×144
50
=540，
所以该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（含120分）学生估计有540名；故答案为540；
（3）8÷50×360°=57.6°，
故答案为：57.6；
（4）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数为10，
所以所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率=
105168． 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．也考查了统计图．
21．（1）1，24；（2）496y x =-+，1324x ≤≤；（3）173x =
或372
x = 【解析】
【分析】
（1）先求出修船的时间、进水速度再求出排水速度，故可得到水排尽的时间；
（2）设修船完工后y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，根据待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法求出当513x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式，再代入y =22即可求解．
【详解】
（1）由图可得修船的时间为：13-5=8分钟
修船过程中进水速度为：20÷5=4（t/min ），
⊙排水速度为：4-（44-20）÷（13-5）=1（t/min ），
船修好后将水排尽所需的时间为：44÷4=11分钟
⊙a=13+11=24，
故答案为；1；24；
（2）设修船完工后y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+． 由题意，把（13，44）、（24，0）代入得1344240
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得496k b =-⎧⎨=⎩
， ⊙修船完工后y 与x 之间的函数关系式为496y x =-+．
⊙自变量x 的取值范围为1324x ≤≤．
（3）设当513x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式为y mx n =+．
由题意，把（13，44）、（5，20）代入得1344520
m n m n +=⎧⎨+=⎩， 解得35m n =⎧⎨=⎩
， ⊙当513x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式为35y x =+．
⊙当船内积水量是船内最高积水量的1
2
时，35y x =+=22 解得173x = 当1324x ≤≤，y 与x 之间的函数关系式为496y x =-+
令496y x =-+=22 解得372
x = ⊙当船内积水量是船内最高积水量的12时，173x =或372
x =． 【点睛】 此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
22
．探究： AB AF CF =+；应用：1GF =
【解析】
【分析】
探究：分别延长DC 、AE ，交于点G ，根据已知条件可以得到△ABE⊙⊙GCE ，由此得到AB ＝CG ，由⊙BAE ＝⊙EAF ，等量代换可证⊙CGE ＝⊙EAF ，进而得到AF ＝GF ，即可得出结论；
应用：分别延长FB 、GE ，交于点M ，根据已知条件可以得到△AEG⊙△BEM ，由此得到AG=BM ，GE=ME ，然后利用三线合一的性质得到FG ＝FM ，即可求出GF.
【详解】
解：探究：AB ＝AF ＋CF ；
证明：如图1，分别延长DC 、AE ，交于点G ，
⊙AB⊙DC，
⊙⊙BAE＝⊙CGE，⊙ABE＝⊙GCE，
⊙BE=CE，
⊙△ABE⊙⊙GCE，
⊙AB＝CG，
又⊙⊙BAE＝⊙EAF，
⊙⊙CGE＝⊙EAF，
⊙AF＝GF，
⊙AB＝CG＝GF＋CF＝AF＋CF；
应用：如图，分别延长FB、GE，交于点M，
⊙⊙A＝⊙EBM＝90°，⊙GEA＝⊙MEB，AE＝BE，⊙△AEG⊙△BEM，
⊙AG=BM，GE=ME，
又⊙⊙GEF＝90°，即FE⊙GM，
⊙FG＝FM，
⊙FM＝BF+BM＝BF+AG＝1
⊙GF＝1
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，正确理解感知中辅助线的作法，结合实际问题作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
23．(1)当0＜t ＜45且t ≠58时，PQ =3t ；当45＜t ＜54
时，PQ =20163t - (2)t =115128
(3)2215512(0)286450540(0)3
38t t t S t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜＜ (4)45或115128
【解析】
【分析】
(1)过点C 作CE ⊙AB ，垂足为E ，分点P 在AE 上和EB 上两种情形计算即可．
(2) 过点D 作DM ⊙AB ，垂足为D ，交AC 于点M ，计算此时PD 的长，后用P A 除以速度即可．
(3)当0＜t ＜58时，矩形PQMD 在⊙ABC 内部，此时PQ =3t ，PD =AD -P A =52-4t ，当115128
＜t ＜54，矩形PQMD 在⊙ABC 内部，此时PQ =20163t -，PD =BD -PB =5554422
t t -+=-． (4) 当CD 恰好是矩形PDMQ 的对角线时，分割的两部分能拼成三角形，当点M 落在ABC 的边上时也可以．
(1)
如图1，⊙AC =4，BC =3，
⊙AB
，
⊙D 为AB 的中点，
⊙AD =52
， 过点C 作CE ⊙AB ，垂足为E ，
根据题意，得P 与D 重合的时间t =524=58； ⊙CE =125
AC BC AB =，
⊙P A 165
⊙P 与E 重合的时间t =1654
=45，P 与B 重合的时间t =54； 当点P 在AE 上时即0＜t ＜
45且t ≠58时， ⊙3tan 4
PQ BC A PA AC =∠==，P A =4t ， ⊙3PQ t =；
当点P 在EB 上时，45＜t ＜54
时， ⊙4tan 3
PQ AC B PB CC =∠==，P A =4t ， ⊙54PB t =-，
⊙PQ =20163
t -； 故当0＜t ＜45且t ≠58时，PQ =3t ；当45＜t ＜54
时，PQ =20163t -． (2)
如图2，过点D 作DM ⊙AB ，垂足为D ，交AC 于点M ，
⊙3tan 4DM BC A AD AC =∠==，AD =52
， ⊙158MD =
；
⊙四边形PDMQ是矩形，
⊙MD=PQ=15
8
，
⊙
4
tan
3
PQ AC
B
PB CC
=∠==，PQ=
15
8
，
⊙
45
32 PB=，
⊙P A=AB-PB=
45115
5
3232
-=，
⊙t=
115
32
44
PA
=
=
115
128
．
(3)
如图3，当P在AD上时，矩形PQMD在⊙ABC内部，此时0＜t＜5
8
，PQ=3t，PD=AD-
P A=5
2
-4t，
⊙S=PQ×PD=(5
2
-4t) ×3t=2
15
12
2
t t
-+；
当M 在过点D 垂直AB 的直线与AC 的交点上时，矩形PQMD 在⊙ABC 内部，此时
115128
＜t ＜54，PQ =20163t -，PD =BD -PB =5554422
t t -+=-， ⊙S =PQ ×PD =(542t -) ×20163
t -=264504033t t -+-； 故2215512(0)286450115540()331284t t t S t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩＜＜＜＜． (4)
如图4，当CD 恰好是矩形PDMQ 的对角线时，分割的两部分能拼成三角形，
此时点 P 与E 重合的时间t =1654=45； 点M 落在ABC 的边上时，t =
115128
， ⊙矩形PDMQ ，
⊙QM∥AB ， ⊙MG CG QG AD CD BD ==， ⊙AD =BD ，
⊙MG =QG ，
延长DG 、PQ ，二线交于点H ，
⊙矩形PDMQ ，
⊙MD∥QH ，
⊙⊙MDG =⊙QHG ，⊙DMG =⊙HQG ，
⊙⊙DMG ⊙⊙HQG ，
故能拼成一个三角形.
故符合条件的t 的值为45或115128
． 【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角函数的综合，勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，分类思想，熟练掌握三角函数的综合，灵活运用分类思想求解是解题的关键． 24．（1）(0，2)；（2）0a =或2a =；（3）⊙242y x x =-+，⊙21y y >，⊙当12m <时，34y y >；当12
m =时，34y y =；当12m >时，34y y >；（4）312b -<≤；3924b ≤< 【解析】
【分析】
（1）令0x =，即可求得G 与y 轴交点的坐标；
（2）分0a =和0a ≠两种情况讨论，若0a ≠，利用0=解a 的方程即可求解；
（3）⊙根据题意可求得抛物线的对称轴为2x =，推出2b a =-，再将点()31C -，
代入即可求解；
⊙将点()11,D y 、()24,E y 分别代入242y x x =-+，求得1y ，2y 的值，比较即可求解； ⊙将点()3P m y +、()43,Q m y +分别代入242y x x =-+求得3y ，4y 的关于m 的等式，利用求差法，再分类求解即可；
（4）求得抛物线的对称轴为x b =，分1b >和1b ≤两种情况讨论，根据图形分别列出不等式组求解即可．
【详解】
（1）令0x =，则2222y ax bx =++=，
⊙G 与y 轴交点的坐标为(0，2)．
（2）当2b =时，242y ax x =++，
⊙若0a =，一次函数42y x =+的图象G 与x 轴只有一个交点；
若0a ≠，因为二次函数242y ax x =++的图象G 与x 轴只有一个交点，
所以，1680a ∆=-=，
⊙0a =或2a =时，G 与x 只有一个交点；
（3）⊙⊙点()2,A k t -、点()2,B k t +都在G 上，
⊙抛物线的对称轴为2x =，即222b x a
=-
= ⊙2b a =-， 将点()31C -，
代入242y ax ax =-+，得：19122a a -=-+， 解得：a =1，b =-2，
所以G 的函数表达式为：242y x x =-+；
⊙⊙点()11,D y 、()24,E y 是函数242y x x =-+图象上的两点，
⊙11421y =-+=-，2164422y =-⨯+=，
⊙21y y >；
⊙⊙点()3P m y +、()43,Q m y +是函数242y x x =-+图象上的两点，
⊙2342y m m =-+，()()243432y m m =+-++，
⊙()()()
2243343242y y m m m m -=+-++--+ 63m =-，
当630m -<，即12m <
时，34y y >； 当630m -=，即12m =
时，34y y =； 当630m ->，即12
m >时，34y y >； （4）当1a =-时，函数222y ax bx =++（0x ≥）， 抛物线的对称轴为22b x b a
=-=，开口向下， ⊙当x b >时，抛物线自左向右下降，
⊙当1b ≤时，
当1x =时，1222F y b y =-++>=-，即32
b >-， ⊙当312
b -
<≤时，矩形位于对称轴右边部分，满足矩形FHMN 内部的部分均为自左向右下降； ⊙当1b >时，
顶点纵坐标22224b b -++>，即22b >，即b >
1x =时，1224N y b y =-++≥=，即32
b ≥， 4x =时，216824H M y b y =-<-++<=，即3924
b <<； ⊙当3924
b <<时，矩形位于对称轴右边部分，满足矩形FHMN 内部的部分均为自左向右下降；
综上，b 的取值范围为312b -
<≤或3924
b ≤<． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，
二次函数图象上点的坐标特征，确定图象上点的位置关系和分类求解是本题解题的关键．。