沪科版数学八年级下1平行四边形第4课时平行四边形判定(二)

F
B
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）
∵E、F分别为OA、OC中点


∴OE＝OA，OF＝ OC
而OA＝OC
∴OE＝OF
又OB＝OD
∴四边形BEDF是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是 平行四边形）
你还有其他的
证明方法吗？
新
知
应
用
变式2：
∴四边形EBFD是平行四边形.
提
升
练
习
已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出
下列四个论断：
①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平
行四边形”作为结论，完成下列各题：
①构造一个真命题，画图并给出证明；
②构造一个假命题，举反例加以说明．
边形
C
A
E
证明： ∵AC ∥DB
O
F
∴∠C=∠D，∠CAO=∠DBO
∵OA＝OB
∴△CAO≌△DBO
B
D
（AAS）
∴OC＝OD
∵ E、F为OC、OD的中点
∴OE＝OF
∴四边形AFBE为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
例
题
讲
授
例2、如图，在平行四边形ABCD中,E、F、G、H分别是各
展
平行四边形的判定方法总 结
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(定义)
从边来判定
从角来判定
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边
形
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定
两条对角线互相平分的四边形是平行四
边形
课
堂
小
结
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
C
平行四边形的判定定理4:
对角线互相平分的四边形是平行四边形
A
D
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD
O
B
∴四边形ABCD是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
C
新
知
讲
授
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行四边形的是(
(A)两组对边分别相等
(5)两组邻角互补的四边形是平行四边形.
√)
(
× )
例1、已知AB、CD交于O，AC ∥DB，OA＝OB，E、F为
OC、OD的中点，求证：四边形AFBE为平行四边形
C
A
E
O
F
B
D
证出OE=OF,
利用对角线互相平分得出结论
例
题
讲
授
例1、已知AB、CD交于O，AC ∥DB，OA＝OB，E、
F为OC、OD的中点，求证：四边形AFBE为平行四


∴ AC×BE=


F
Ｂ
Ｃ
方法三：
利用面积法证明BE=DF，再根
据BE∥DF得出结论
AC×DF，
∴ BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形
Ｄ
你还能用其他
方法证明吗？
新
知
应
用
变式1：
D
A
E
已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交
O
于点O，E、F分别为OA、OC中点，求证：四
边形BEDF是平行四边形。
提
升
练
习
2．如图，E，F分别是▱ABCD的两对边AD,BC的中点
，则图中平行四边形的个数是( D
A．3个
B．4个
A
B
C．5个
E
F
D
C
)
D．6个
提
升
练
习
3、在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，
从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共
有（ B ）
A．3种
(B)两条对角线互相平分
(C)两条对角线相等
(D)两组对边分别平行
C
)
新
知
辨
析
2、请你辨认下列四边形哪些是平行四边形?为什么？
A
⑴
⑵
D
C
B
O
120°
5㎝
60°
5㎝
C
B
是平行四边形，对角线
互相平分
A
是平行四边形，一组对边平
行且相等
D
A
D
7.6㎝
A
D
110°
4.8㎝
4.8㎝
70°
B110°⑶C是平行四边形，两组对
(C)AB∥CD,AB=CD
(D) AB∥CD,AD=BC
（一组对边平行且相等）
D
A
A
C
B
(E) AB∥CD, ∠A=∠C
（两组对角分别相等或两组对边分别平行）
B
D
C
1、在□ABCD中，E、F分别为AD、BC边上的一点，若再增加
一个条件
DE=BF 或BE∥DF 或AE=CF
DF．
A
B
E
F
D
C
，就可推得BE =
3）已知一组对边平行，可以证另一组对边平行，即定义法；也可证这组对
边相等，构成判定定理4.
4）已知一组对边相等，可以证另一组对边相等，构成判定定理1；也可证这
组对边平行，构成判定定理4.
新
知
总
结
例3、已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且
BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
Ａ
求证：四边形BEDF是平行四边形．
若将“E、F分别为OA、OC中点”改为“AE＝CF”，四边形BEDF还是平行四
边形吗？
D
A
E
O
已知：平行四边形ABCD，对角线AC、
F
B
BE∥DF
BD相交于点O，AE＝CF，求证：四边
C
试试看：你还能怎样改？
还可以是：①AF＝CE
②∠ADE＝∠CBF
③∠CDE＝∠ABF
④BE⊥AC，DF⊥AC
……
BEDF是平行四边形。
沪科版数学八年级下册
第19章
19.2
第4课时
四边形
平行四边形
平行四边形的判定（二）
已学的平行四边形的判定方法
从
看
边
两组对边分别平行
两组对边分别相等
四边形是平
行四边形
一组对边平行且相等
从
角
看
两组对角分别相等
四边形是平
行四边形
思 考
从对角线看： 对角线互相平分
四边形是平行四边形
知
识
回
顾
已知：四边形ABCD, 对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，
提
升
拓
展
解： （1）以①OA=OC、④AD∥BC论断为条件 D
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB．
∴AD=BC．
∴四边形ABCD为平行四边形．
C
O
A
B
（2）②④论断为条件时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可
以构成等腰梯形．
D
A
C
B
提
升
拓
E
证明： ∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F
∴BE∥DF，∠AEB=∠CDF=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC，且AB∥DC，
∴∠BAE=∠DCF
F
Ｂ
Ｃ
方法一：
证明BE与DF平行且相等
∴△ABE≌△CDF （AAS）
∴BE=DF
Ｄ
∴四边形BEDF是平行四边形
新
知
应
用
例3、已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且
边上的点，且AE=CF，BG=DH。求证：EF与GH互相平分。
D
证明： 分别连结HE、EG、GF、FD
F
C
H
∵四边形ABCD是平行四边形
G
∴AD=BC，∠A=∠C
∵BG=DH
∴AD-DH=BC-BG,
即： ADH=CG
∵AE=CF
∴△AEH≌△CFG(SAS)
A
E
B
∴EH=FG(全等三角形对应边相等)
新
知
应
用
1、如图，AC∥ED，点B在AC上且
AB=ED=BC 。找出图中的平行四边形。
E
课
堂
练
习
D
□ABDE
□BCDE
一组对边平行且
相等的四边形是
平行四边形
A
B
C
2、在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是(
（A）AB∥CD,AD∥BC
D) 课
堂
练
习
（两组对边分别平行）
（B） AB=CD,AD=BC （两组对边分别相等）
∴OE=OF
Ｄ
∴四边形BEDF是平行四边形
新
知
应
用
例3、已知：如图，□ABCD中，E、F分别是AC上两点，且
BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
Ａ
求证：四边形BEDF是平行四边形．
E
证明： ∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F
∴ BE∥DF ，∠AEB=∠CDF=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴S△ABC=S△CDA，
B．4种
C．5种
D．6种
4、▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件
中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ B ）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF
提
升
练
习
5、如图:□ABCD中, 以AD、BC为边作正三角形ADE, 正
三角形BCF, 连结BE,DF, 求证: 四边形EBFD是平行四边形.
BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．
Ａ
求证：四边形BEDF是平行四边形．
E
证明： 连结BD,交AC于O点
∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F
∴∠AEB=∠CDF=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OD=OB，
O
F
Ｂ
Ｃ
方法二：
连结BD，证明BD与EF互相平分
∵∠BOE=∠DOF
∴△BOE≌△DOF （AAS）
OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
OA=OC（已知）
∠AOD=∠COB （对顶角相等）
OD=OB （已知）
∴△AOD≌△COB（SAS）
D
A
证明： 在△AOD和△COB中
新
知
讲
授
1
O
2
B
∴∠1=∠2 AD=CB（全等三角形的对应角、对应边相等）
∴ AD∥CB（内错角相等，两直线平行）
∴四边形ABCD是平行四边形
角分别相等
C
B
⑷
7.6㎝
是平行四边形，两组对
边分别相等
新
知
辨
析
新
3、判断
知
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是 平行四边形; ( × ) 辨
析
(2)两组对角都相等的四边形是平行四边形
( √ )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行边形;
(
( ×）
(4)一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行 四边形;
证明: 在 □ ABCD中,
AD = BC, AB = CD,∠1 = ∠2
∵△ADE与△BCF都是正三角形,
E
∴AE=DE=AD, BE=CF=BC,
D
2 4
3 1
A
B
C
∠3=∠4=60°.
∴DE=BF, AE=CF,
∠1＋∠3=∠2＋∠4,
即 ∠EAB=∠DCF,
F ∴△ABE≌△DCF
∴BE=DF
同理可得△DFH≌△BEG(SAS)
∴HF=EG(全等三角形对应边相等)
∴四边形HEGF是平行四边形
∴EF与GH互相平分
例
题
讲
授
证一个四边形是平行四边形的思路：
先找现有条件
再证缺失条件
构成判定方法
平行四边形判定方法的选择方法
1）已知一组对角相等，再证另一组对角相等，构成判定定理2.
2）已知有一条对角线被平分，再证另一条对角线被平分，构成判定定理3.