均值定理是不等式中的一个重要不等式

浅析算术平均数定理的使用
关键词：算术平均数定理 正 定 等 最值 变形 参考资料：毕国振《应用均值不等式时条件不容忽视》《数学大世界》2011年第6期
薛金星《中学教材全解》
简介：本文主要总结了在使用算术平均数定理时一些常用的变形方法和注意事项。

算术平均数定理是不等式中的一个重要不等式，是一个重点考查内容，可用与求最值﹑证明等，应用非常广泛。

应用此定理关健把握助一二三，即一正二定三相等，在有的题目中不能直接应用，只要是因为定等两条件不满足，必须将题目先适当变形。

下面将一些常用的变形方法介绍一下。

一化负为正
因为算术平均数定理是只对正数才成立，所以引保证含字母的各项都是正数，负的须先转化为正数才可用
例如：已知X ＜0 求函数f(x)=x+1x
+5的值域 解∵X ＜0∴-x ＞0 f(x)=x+1
x
+5= 1
()x x --+-+5 -x+
1x -≥2 ∴x+1
x
≤-2 ∴f(x) ≤3 二。

添加常数项 形如 ax+
b
cx d
+型的常常通过添加常数的办法将其变形为a(x+e)+ ()
b
c x e ++f 的形式
例如：已知a ＞12,求1
321_
a a +
-的最小值
1
321_
a a +
-=3（a-12）+
112()_
2
a -+32≥3
2
32当且仅当3（a-12）
=
1
1
2()_
2
a -即1
2
+32
三。

平均拆项法
将式子中的某项平均分成几项，使乘积出现定值。

平均分的目的是保证所有含字母的项都可相等适用于形如a x +b c
x
，a ≠b 例如y= 23x x
+(x ＞0)的最值
y= 23x x += 266x x x
++≥3 x= y 的最小
值为3 四，改变系数法
此种方法在求最大值时用的较多，把积式中的某一个因式乘以一个常数，通过改变系数使含有字母的各项和为定值。

例如 1。

已知y=x(8—3x) (0＜ x ＜2)求y 的最大值
y=x(8—3x)= 13×3 x(8—3x )≤13×2
3832x x +-⎛⎫ ⎪⎝⎭=1
3
×16=163当且仅当3 x=8—3x 即x=43时取等.所以y 有最大值
163
再如 已知0＜x ＜1,y=23x x -,求y 的最大值
解：y=2
3
x x -=2
(1)(1)x x xx x -=-=12xx(2—2x )≤122
223x x x ++-⎛⎫ ⎪⎝⎭=4
27
所以y 有最大值4
27
五。

分子分母互化 对于形如()()
f x y
g x =
形的函数可把次数高的用次数低的表示出来，并处
以次数低的那个式子。

例如求y=
(5)(2)
1
x x x +++(x ＞-1)的最小值
22710(1)5(1)44(1)5
11(1)
x x x x y x x x x ++++++===++++++≥
当且仅当x+1= 4
1
x + 即 x=1时y 的最小值为9
又如求y =的最大值 设
t=
x=t 2-2,
y=
2211
1
13
2242(1)2(1)3
2(1)21
t t t t t t t ++==
≤
=++-++++
-+
六。

常量字母化。

在有限制条件的不等式中常常将待求式中的常数用条件中的字母代换或乘以条件等式，再考虑用算术平均数定理。

例如：已知,x y R +∈且x+2y=3求1
1x y
+的最小值 解法1：∵x+2y=3 ∴23x y +=1 ∴11x y
+=22213333x y x y y x
x y x y +++=++≥
233y x x y =且x+2y=3即
y= 32
时取最
小值1+
3
解法2：∵x+2y=3 ∴11x
y
+=13
（1
1x y +）（x+2y ）=13（3+x y +2y
x
）≥
1+
3
当且仅当x y =2y x 且x+2y=3即32时取最小
值另外有时还需注意是否可等，若不满足相等就利用打钩函数的单调性求解。

例如x ∈求函数 y =
2
的最值
y
=
2
=+
这里虽然满足正定两条，但当≠
所以不能用算术平均数定理。

可令t ≥2又因y=t+
1
t
在t ≥1时单增，∴当t=2即x=0时y 有最小值5
2
从 以上几例可以看出算术平均数定理的变形应用比较灵活，需要我们认真仔细切不可生搬硬套。