2022-2023学年广西钦州市高一年级上册学期12月考试数学试题【含答案】

2022-2023学年广西钦州市第四中学高一上学期12月考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
{}40log 2A x x =<<{}
3
1x B x e -=≤()R A C B =
A ．
B ．
C ．
D ．()
3,16()
3,8(]
1,3(
)
1,+∞【答案】A
【解析】化简集合A,B ，根据补集、交集运算即可求解.【详解】因为
，
，
{}40log 2(1,16)
A x x =<<={}
31(,3]
x B x e -=≤=-∞所以，.
(3,)R C B =+∞()(3,16)
R A C B = 故选：A
2．一个笼子里有只白兔，只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，32则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3545
23
34
【答案】A
【分析】利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】设只白兔为，只灰兔为，
3123,,a a a 212,b b 则所有基本事件为：
，，,,,,,,,
()12,a a ()13,a a ()11,a b ()12,a b ()23,a a ()21,a b ()22,a b ()31,a b ()32,a b ,共有个，
()12,b b 10其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：
,,,,
()11,a b ()12,a b ()21,a b ()22,a b ,,共个，
()31,a b ()32,a b 6所以所求事件的概率为：.
63105=
故选：A
3．定义集合运算：
.设
，，则集合中的
()2{|1,,}
A B z z x y x A y B ⋅==-∈∈{}1,1A =-{}0,2B =A B ⋅所有元素之和为（ ）A ．0B ．1
C ．2
D ．3
【答案】A
【解析】根据定义，逐个分析的取值情况，由此得到的取值情况，从而集合可确定，则
,x y z A B ⋅
集合中所有元素的和可求.
【详解】当时，；当时，；
1,0x y =-=()()2
1011
z =-⨯-=-1,2x y =-=()()2
1211z =-⨯-=当时，；当时，；
1,0x y ==()21011z =⨯-=-1,2x y ==()21211z =⨯-=所以
，所以中所有元素之和为，
{}1,1A B ⋅=-A B ⋅0故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结A B ⋅果的求解.
4．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我
G a b G ∈a b +a b -ab G ∈0b ≠a
G
b ∈们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则
G .0①；②G 集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是
2019G ∈；③{|2}P x x k k Z ==∈，④.（ ）A ．B ．C ．D ．①②④②③④①④①②
【答案】A
【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.【详解】对于①，当且时，a b =,a b G ∈a b -G ∈所以是任何数域的元素，①正确；
0对于②，当时，且时，由数域定义知，
0a b =≠,a b G ∈1a
G
b =∈所以1+1=2，1+2=3......1+2018=2019，故选项②正确；G ∈G ∈G ∈对于③，当时，
,故选项③错误；2,4a b ==12a b =
G ∉对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域.
a b Q Îa b +a b -ab ∈Q 0b ≠a
b ∈Q
故选：A
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用
表示
.x R ∈[]x 不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：
，已知函数
x []y x =[]0.51-=-[]1.5 1.=，则函数
的值域为（ ）()()2
134142f x x x x =
-+≤≤()y f x ⎡⎤=⎣⎦A ．B ．
C ．
D ．
1322⎡⎫⎪⎢⎣⎭，{}101-，，
{}1012-，，，
{}012，，
【答案】B
【分析】分析函数的单调性，再结合高斯函数的特点即可求解.【详解】，
()()2
134142f x x x x =
-+≤≤所以
，
()()()2
1131422f x x x =
--≤≤所以函数在
单调递减，在单调递增，
()13，()34，
所以==,
()min f x ()3f 1
2-
又
,,()3
12f =
()40f =所以
的值域为.
()y f x ⎡⎤=⎣⎦{}101-，，故选：B.
6．若直角坐标平面内的两点、满足条件：①、都在函数的图象上；②、关P Q P Q ()y f x =P Q 于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（点对与看作同一
[]P Q 、()y f x =[]P Q 、[]Q P 、对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）
2
2(0)
()2(0)
x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩A ．4对B ．3对C ．2对
D ．1对
【答案】C
【分析】由题意，设点，则的坐标为，结合，转化为此函数(,)P x y Q (,)x y --2
2(0)()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，从而作图解答
22
2x
x x --=-0x >【详解】解：由题意，设点，则的坐标为，
(,)P x y Q (,)x y --因为
，2
2(0)
()2(0)x x f x x x x ⎧≤=⎨->⎩所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数，
22
2x
x x --=-0x >作与的图像如图所示，
2x
y -=-22y x x =-
两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2对故选：C
【点睛】此题考查学生对新定义的理解能力及作图能力，属于中档题
7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克()1,0,R x Q f x x C Q ∈⎧=⎨
∈⎩雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,以下命题正确的个数是下面给出关于狄利克雷函数f (x )的五个结论:①对于任意的x ∈R ,都有f (f (x ))=1;②函数f (x )偶函数;③函数f (x )的值域是{0,1};
④若T ≠0且T 为有理数,则f (x +T )=f (x )对任意的x ∈R 恒成立;⑤在f (x )图象上存在不同的三个点A ,B ,C ,使得△ABC 为等边角形.A ．2B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
【解析】①分，两种情况从内到外，利用求值判断.②分，x ∈Q R x C Q ∈()1,0,R x Q
f x x C Q ∈⎧=⎨
∈⎩x ∈Q 两种情况，利用奇偶性定义判断.③当时，；当时，判断.
R x C Q ∈x ∈Q ()1f x =R x C Q ∈()0f x =④分，
两种情况，利用周期函数的定义判断.⑤取
，
x ∈Q R x C Q
∈1230,x x x === 判断
.
(
),0,0,1,,0A B C ⎛
⎫
⎫-
⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎭【详解】①当时，
，则
；当
时，，则
x ∈Q ()1
f x =()()()11
f f x f ==R x C Q ∈()0f x =，所以对于任意的x ∈R ，都有f (f (x ))=1;故正确.
()()()01
f f x f ==
②当时，，；当
时，，，所以函
x ∈Q Q x -∈()()
1f x f x -==R x C Q ∈R x C Q -∈()()0f x f x -==数f (x )偶函数;故正确.③当时，
；当
时，，所以函数f (x )的值域是{0，1};故正确.
x ∈Q ()1
f x =R x C Q ∈()0f x =④当时，因为T ≠0且T 为有理数，所以，则f (x +T )=1=f (x )；当 时，因为
x ∈Q +∈T x Q R x C Q ∈T ≠0且T 为有理数，所以
，则f (x +T )=0=f (x )，所以对任意的x ∈R 恒成立;故正确.
+∈R T x C Q
⑤取 ， 1230,x x x ===(),0,0,1,,0A B C ⎛⎫
⎫- ⎪⎪
⎪⎪
⎝⎭⎭形，故正确. 故选：D
【点睛】本题主要考查了函数新定义问题和函数的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
8．设函数，若，则3
2log ,0
()22,0x x f x x x x >⎧=⎨+-≤⎩()1f a ==a A ．3B ．C ．或1
D ．或1
3
±3-3±【答案】B
【分析】由分段函数的解析式，根据分段条件，列出方程，即可求解．
【详解】由题意，函数
，且，3
2log ,0
()22,0x x f x x x x >⎧=⎨+-≤⎩()1f a =当时，即，解得；
0a >3log 1x =3x =当时，即，解得或（舍去），
0a ≤2
221x x +-=3x =-1x =综上可知的值为，故选B ．
a 3±【点睛】本题主要考查了分段的解析式，以及分段函数的求参数问题，其中解答中合理利用分段函数的解析式，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）A ．30B ．25
C ．20
D ．15
【答案】C
【详解】抽取比例为,
1501
30000200=
，
1
400020200∴
⨯=抽取数量为20,故选C.
10．已知，，，则（ ）
ln 2a =0.8
2b =2
ln
3c =A ．B ．a c b <<c<a<b C ．D ．c b a <<a b c
<<【答案】B
【分析】借用0，1进行比较大小，简单判断即可.【详解】因为，，
，
0ln 2ln 1a e <=<=0.8
0221b =>=2
ln
ln103c =<=所以.c<a<b 故选：B
11．函数
的定义域是（ ）
()f x =A ．B ．
1|2x x ⎧
⎫≠-⎨⎩⎭1|2x x ⎧
⎫>-⎨⎬
⎩⎭C ．
且D ．
且1
{|2x x ≠-
1}
x ≠{1
|2x x >-
1}
x ≠【答案】D
【解析】根据函数解析式的性质求定义域即可.【详解】由函数解析式，知：，
2
210210
x x x +≥⎧⎨--≠⎩解之得：且，
1
2x >-
1x ≠故选：D
【点睛】本题考查了求具体函数的定义域，根据分式的分母不为零，根式的双重非负性求定义域，属于简单题.12．设集合，若，则{}{}33,log ,,M a N a b =={}0M N = M N ⋃=
A ．
B ．{}3,0{}301,,
C ．
D ．
{}
3,0,2{}
3012,,,【答案】B
【详解】因为
，且易知a >0，所以b =0，所以a =1.
{}0M N ⋂=3log 0,a =所以M ={3，0}，N ={1，0}，所以M ∪N ={3，0，1}.故选B ．
【名师点睛】解答本题时，要注意题目中的隐含条件，对数中的真数a >0，所以对于集合N 中的元素就没有必要分a =0和b =0两种情况进行讨论，所以首先可以根据
和交集的概念求出
{}0M N ⋂=b 的值，再求出a 的值，最后求出M ∪N ，这样大大提高了解题效率.
二、填空题
13．若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点
()(1)f x m x α=-()log ()a g x x m =-0a >1a ≠的坐标为__________．
A 【答案】（3，0）
【详解】若函数是幂函数，则，()(1)f x m x α
=-2m =则函数（其中，），
2
()()log x a a g x log x m -=-=0a >1a ≠令，计算得出：，，21x -=3x =()0g x =其图象过定点的坐标为．
A (3,0)14．设全集，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是{1,2,3,4,5,6}U ={2,4}自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.已知，，若集合表示的字符串为，则满足条件的集合{1,3}A =
B U ⊆A B ⋃B 的个数为________.【答案】4
【解析】由，集合表示的字符串为，得出表示的集合，进而求出集合B ，从{1,3}A =A B ⋃A B ⋃而得到答案.
【详解】由集合表示的字符串为，可知A B ⋃{}
1,3,6A B = 而，，{1,3}A =B U ⊆则B 可能为
，，，，故满足条件的集合B 的个数是4.
{}6{}1,6{}3,6{}1,3,6故答案为：4
【点睛】关键点点睛：本题以集合的新定义的形式，考查集合的运算和判断子集的个数问题，解题的关键是能将新定义的内容与已学的集合的内容联系起来，考查学生的分析解题能力，属于基础题.
15．已知函数是定义在R 上的偶函数，且当时，． 若关于 的方程
()f x 0x ≥2
()2f x x x =-x 有四个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．
()0f x m -=m 【答案】(1,0)
-【解析】若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，作出()0f x m -=()y f x =y m =函数的图象，由数形结合法分析即可得答案．
()f x 【详解】因为函数是定义在R 上的偶函数且当时，，
()f x 0x ≥2
()2f x x x =-所以函数图象关于轴对称，()f x y 作出函数的图象：
()f x
若方程有四个不同的实数解，则函数与直线有4个交点，()0f x m -=()y f x =y m =由图象可知：时，即有4个交点.10m -<<故m 的取值范围是，(1,0)-故答案为：(1,0)
-【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.
16．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是
x 20ax bx c -->(2,1)-2
0cx bx a -->______．
【答案】
1(1)2-，【分析】通过的解集可以确定与的关系以及，代入所求不等式，化简为
2
0ax bx c -->,b c a a<0，求解不等式得到结果.
2210x x +-<【详解】由的解集是
可知：和是方程的两根且20ax bx c -->()2,1-2-120ax bx c --=a<0
12b
a c a ⎧=-⎪⎪∴⎨
⎪-=-⎪⎩2b a
c a
=-⎧⇒⎨=⎩22020
cx bx a ax ax a -->⇔+->又
a<02
210x x ⇒+-<11,2x ⎛⎫
⇒∈- ⎪
⎝⎭【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，关键在于通过解集确定方程的根，属于基础题.
三、解答题
17．定义在非零实数集上的函数对任意非零实数，都满足.()f x x y 22x y x y
f f y x x ⎛⎫-⎛⎫+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求的值；()
2f （2）求
的解析式；
()
f x （3）设函数，求在区间
上的最大值.()()g x xf x =()g x 1,24m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦()h m 【答案】（1）
；（2）；（3）
()122f =-
()()
221
0333x f x x x =-+≠.
()2142,21321,12m m m h m m ⎧⎛⎫----<≤- ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨
⎪>-⎪⎩【分析】（1）分别令，和，，可得出关于和的方程组，即可解出
2x =1y =1x =2y =()2f 12f ⎛⎫
⎪
⎝⎭的值；
()
2f （2）令，则，再用替换可得出，利用加减
()0x
t t y =≠()1122f t f t t ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
1t t ()122f f t t t ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭消元法可解出
，即可得出函数
的解析式；
()
f t ()
y f x =（3）由题意得出
，然后分和，分析二次函数在区()2
211322g x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11242m <≤
122m ≥()y g x =间上的单调性，即可得出函数在区间
上的最大值的表达式.1,24m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()y g x =1,24m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦()h m
【详解】（1）令，，得；2x =1y =()113222222f f ⎛⎫
+=-=
⎪⎝⎭令，，得.
1x =2y =()122220
2f f ⎛⎫
+=-= ⎪⎝⎭由，解得
；()()13
2222
12202f f f f ⎧⎛⎫+=
⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩
()122f =-（2）令，则
，所以，
()0x
t t y =≠()1122f t f t t ⎛⎫
+=- ⎪
⎝⎭()122f f t t t ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭由以上两式，解得
，
()1
223t t f t =-+
即，所以；()221333f t t t =-+()()
2210333x f x x x =-+≠（3）
.()2
2221211333322g x x x x ⎛⎫=-++=--+
⎪⎝⎭当，即时，此时，函数在区间上单调递增，11242m <≤21m -<≤-()y g x =1,24m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；
()()2124232m m m h g m ⎛⎫
==--- ⎪
⎝⎭当
，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则122m >
1m >-()y g x =11,42⎡⎤⎢⎣⎦1,22
m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
()11
22h m g ⎛⎫==
⎪⎝⎭综上，.
()2142,21321,12m m m h m m ⎧⎛⎫----<≤- ⎪⎪⎪⎝⎭
=⎨
⎪>-⎪⎩【点睛】本题考查函数值的求解、利用方程组法求函数解析式，同时也考查了二次函数在区间上的最值的求解，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18．已知函数
是偶函数，且当时，
(，且).
()
f x 0x ≥()()lo
g 3a f x ax =-0
a >1a ≠（1）求当时的的解析式；
0x <()
f x （2）在①
在上单调递增；②在区间上恒有这两个条件中任选一个补充
()
f x ()1,4()1,1-()2f x x ≥到本题中，求的取值范围.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)()12a
g a ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭【答案】（1）
；（2）答案见解析.
()()
log 3a f x ax =+
【解析】（1）根据函数
为偶函数，当时，由
即可求出；
()
f x 0x <()()
=f x f x -（2）若选①，根据复合函数的单调性可知，，由此解出的范围，再根据指数函数
01
340a a <<⎧⎨
-≥⎩a 在上单调递减，即可求出的取值范围；12x y ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭()0,∞+()12a
g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭若选②，先讨论与的关系，当时，易知，所以可得，
a 101a <<()0log 30
a f =<1a >而
与都是偶函数，所以只需在上，根据单调性即可求出．
()
f x 2y x =()0,1()2f x x ≥【详解】（1）当时，，又是偶函数，则
，
0x <0x ->()
f x ()()()
log 3a f x f x ax =-=+即
.
()()
log 3a f x ax =+（2）选条件①的解析：由于
在
上单调递增，显然不合题意，
()
f x ()1,41a >则，此时的取值范围是
.01303404a a a <<⎧⇒<≤⎨-≥⎩()12a g a ⎛⎫= ⎪⎝
⎭⎫⎪⎪⎭选条件②的解析：若，则
，显然不合要求.
01a <<()0log 30
a f =<当时，因为与都是偶函数，所以只需考虑时即可．由复合函数的
1a >()f x 2y x =[)0,1x ∈()2f x x ≥单调性可知，函数
在上单调递减，而在上单调递增的，所以在
()
f x [)0,12y x =[)0,1()2y f x x =-上单调递减．
[)0,1则，此时
的取值范围是.()()21,1,31110log 312a a a a f a ⎧>>⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨-≥-≥⎪⎩⎩()12a g a ⎛⎫= ⎪⎝
⎭12⎫⎪⎪⎭【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数型复合函数的单调性的应用，以及指数函数单调性的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
知识点睛：复合函数的单调性一般遵循“同增异减”的原则，即内外函数在某区间上单调性一致，则此函数在该区间上单调递增，内外函数在某区间上单调性不一致，则此函数在该区间上单调递减．19．已知函数
．
()1
h x x x =+
(1)直接写出在上的单调区间无需证明；()h x 122⎡⎤⎢⎥
⎣⎦，()(2)求在上的最大值；
()h x 11(22a a ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦(3)设函数
的定义域为，若存在区间，满足：，，使得
，
()
f x I A I ⊆1x A ∀∈2I x A ∃∈ ()()
12f x f x =
则称区间为的“区间”已知，若是函数的“区间”A ()f x Γ.()1122f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12A b ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦，()f x Γ，求的最大值．
b 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[]12，(2)答案见解析(3)1
【分析】（1）根据p 函数的函数性质即可求解；（2）对参数进行分类讨论即可求解；(3)对参数
a 进行分类讨论即可求解.
b 【详解】（1）在上单调递减，在上单调递增．
()h x 112⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦，()h x []12，（2）由题意知，若，则在 ，上单调递减，所以的最大
()152.22h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭①11
2a <≤()h x [12]a ()h x 值为 若，则在 ，上单调递减，在上单调递增，此时
1522h ⎛⎫= ⎪⎝⎭；
②12a <≤()h x [121][]1a ，，所以的最大值为 若，则在上单调递减，()()15
222h a h h ⎛⎫≤== ⎪⎝⎭()h x 1522h ⎛⎫= ⎪⎝⎭③2a >()h x 112⎡⎤⎢⎥⎣⎦在上单调递增，此时，所以的最大值为
[]1a ，()()122h a h h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭()h x ()1.h a a a =+综上，若，的最大值为 1
22a <≤()
h x 52若，
的最大值为
．
2a >()
h x 1
a a +
（3）由知， 当时，在 ，上的取值范围为，在上的()()12①112b <≤()f x [12]b 152b b ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，(]2b ，取值范围为因为，所以，满足，，使得522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12b b +≥][155222b b ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，，112x b ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，(]22x b ∃∈，，所以此时是的“区间”当时，在 ，上的值域
()()12f x f x =12b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x Γ.②12b <≤()f x [12)b 为，在上的值域为因为当时，，所以522⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(]2b ，15.2b b ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，[)11x b ∈，()()11f x f b b b <=+，使得 ，即，，，所以此时
[)11x b ∃∈，()1f x ∉152b b ⎛
⎤+ ⎥⎝⎦，[)11x b ∃∈，[]22x b ∀∈，()()12f x f x ≠
不是的“区间”故所求的最大值为．
12b ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，()f x Γ.b 120．某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为的平坦高速240km 路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量单位：与速度单位：
(F L)(v 的一些数据如下表所示：
()
km /h)0120v ≤≤v
40
60
80
120
F
20
3
658
10
20
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
F v ，，，且．()32
F v av bv cv =++()12v
F v a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭()log (0a F v k v b a =+>1)a ≠(1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少【答案】(1)选择模型 ，
()3
2
F v av bv cv
=++()()32117
01203840024024
F v v v v v =
-+≤≤(2)80km /h
【分析】根据所给数据选择函数模型，代入数据列得关于的方程组，解方程组即可，故1（）a b c ，，可得解析式.
设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为单位：，行驶时间为单位：，由题意得，
2（）(y L)(t h)·y F t =根据二次函数的性质求出最值.
【详解】（1）由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为，且在上单调递[]0120，[]0120，增．
函数在上单调递减，所以不符合题意()12v
F v a
⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭[]0120，；函数
中的，即定义域不可能为，也不符合题意()log a F v k v b
=+0v ≠[]0120，；
所以选择函数模型 ．
()3F v av =+2bv cv
+
由已知数据得()
()()
2
2
220404040365606060880808010a b c a b c a b c ⎧⨯++=⎪⎪
⎪⨯++=⎨⎪
⎪⨯++=⎪
⎩
，，
，解得1384001240724a b c ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
⎪=⎪⎩，，，所以
．
()()32117
01203840024024F v v v v v =
-+≤≤（2）设这辆车在该测试路段的总耗油量为，行驶时间为．y t 由题意得
，
322211724011
(
)70(80)303840024024160160y F t v v v v v v v =⋅=-+⋅=-+=-+因为，所以当时，有最小值．
0120v ≤≤80v =y 30所以这辆车在该测试路段上以的速度行驶时总耗油量最少，最少为．
80km /h 30L 21．我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超x 过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽x x 样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，[0,0.5),[0.5,1),...,[4,4.5]
制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中的值；
a （2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．85%x x 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人 ；(Ⅲ) 估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的0.30a =96000用水量不超过标准.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中的矩形面积的和为1求的值；（Ⅱ）首先计算
a
月均用水量大于等于3吨的频率，80万乘以频率就是所求的人数；（Ⅲ）首先大体估计 的区间，x 再计算区间
的频率和为0.85时，求解的值.
[]0,x x 试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得
，
()0.080.160.400.520.120.080.040.51a a ++++++++⨯=解得.
0.30a =（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为
，
()0.120.080.040.50.12++⨯=由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
.
8000000.1296000⨯=(Ⅲ) 前6组的频率之和为 ，
()0.080.160.300.400.520.300.50.880.85+++++⨯=>而前5组的频率之和为
，
()0.080.160.300.400.520.50.730.85++++⨯=<
2.53x ∴≤<由
，解得，
()0.3 2.50.850.73
x ⨯-=- 2.9x =因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.。