新安县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

新安县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知i 是虚数单位，则复数
等于（ ）
A ．﹣ +i
B ．﹣ +i
C ．﹣i
D ．﹣i
　3． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（
）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
4． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（
）A ．B ．
C ．
D ．5． ∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是（
）A ．不存在x ∈R ，使∃x 2﹣2x+3≥0
B ．∃x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
C ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0
D ．∀x ∈R ，x 2﹣2x+3＞06． 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的()()21x f x e
x ax a =--+1a <()0f t <取值范围是（
）A ． B ． C ． D ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
1111]
7． 如图，四面体D ﹣ABC 的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+
=2，则四面体D ﹣ABC 中最长棱的
长度为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．3
8． 对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n=m+n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n=mn ．则在此定义下，集合M={（a ，b ）|a ※b=12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是（ ）
A ．10个
B ．15个
C ．16个
D ．18个
9． 已知P （x ，y ）为区域
内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（
）A ．6B ．0C ．2D ．2
10．函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（
）A ．（）B ．（，]C ．（）D ．（]
11．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2=8
x 的焦点相同，且双曲线C 过点P （﹣2，0），则双曲线C 的渐近线方程是（
）
A ．y=±x
B ．y=±
C ．xy=±2x
D ．y=±x
12．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点， 111ABC A B C 1A ABC BC 则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
AB 1CC
A B D ．3
4
二、填空题
13．已知i 是虚数单位，复数
的模为 ．　
14．已知f （x ）=
，x ≥0，若f 1（x ）=f （x ），f n+1（x ）=f （f n （x ）），n ∈N +，则f 2015（x ）的表达式为 ．
15．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．
16．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ） ．
17．下列命题：
①集合的子集个数有16个；
{},,,a b c d ②定义在上的奇函数必满足；
R ()f x (0)0f =③既不是奇函数又不是偶函数；2
()(21)2(21)f x x x =+--
④，，，从集合到集合的对应关系是映射；A R =B R =1:||f x x →
A B f ⑤在定义域上是减函数．1()f x x
=其中真命题的序号是
．18．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
三、解答题
19．（本题满分12分）已知向量，，，记函数(sin cos ))a x x x =+ )cos sin ,(cos x x x -=R x ∈.
x f ⋅=)(（1）求函数的单调递增区间；
)(x f （2）在中，角的对边分别为且满足，求的取值范围.
ABC ∆C B A ,,c b a ,,C a c b cos 22=-)(B f 【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，但突出了基础知识的考查，仍属于容易题.
20．如图所示，两个全等的矩形和所在平面相交于，，，且
ABCD ABEF AB M AC ∈N FB ∈，求证：平面．
AM FN =//MN BCE
21．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是
①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；
③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
22．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．
（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；
（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．　
23．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．
24．已知条件
4
:1
1
p
x
≤-
-
，条件22
:q x x a a
+<-，且p是的一个必要不充分条件，求实数
的取值范围．
新安县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；
而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确
故A选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．
2．【答案】A
【解析】解：复数===，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
3．【答案】B
【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；
当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b==﹣；
故选：B
4．【答案】A
【解析】解：∵f（x）=lnx﹣+1，
∴f′（x）=﹣=，
∴f（x）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；
且f（4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；
故选A．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．
5． 【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x ∈R ，x 2﹣2x+3＞0的否定是：∀x ∈R ，x 2﹣2x+3≤0．故选：C ．
6． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1
【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令将函数变为两个函()0f x =数，将题意中的“存在唯一整数，使得在直线的下方”，转化为()()()21,x g x e
x h x ax a =-=-()g t ()h x 存在唯一的整数，使得在直线的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得的取值()g t ()h x ax a =-m 范围.
7． 【答案】 B
【解析】解：因为AD •（BC •AC •sin60°）≥V D ﹣ABC =，BC=1，
即AD •≥1，
因为2=AD+
≥2=2，当且仅当AD=
=1时，等号成立，这时AC=
，AD=1，且AD ⊥面ABC ，所以CD=2，AB=
，得BD=
，故最长棱的长为2．故选B ．【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
8． 【答案】B
【解析】解：a※b=12，a、b∈N*，
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个．
故选B
9．【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
10．【答案】A
【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），
∴函数f（x）关于x=m对称，
若φ∈（，），
则sinφ＞cosφ，
则由f（sinφ）=f（cosφ），
则=m，
即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）
当φ∈（，），则φ+∈（，），
则＜sin（φ+）＜，
则＜m＜，
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
11．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，c=2，
双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C的渐近线方程是y=±x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
12．【答案】D
【解析】
考点：异面直线所成的角.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
14．【答案】 ．
【解析】解：由题意f1（x）=f（x）=．
f2（x）=f（f1（x））=，
f3（x）=f（f2（x））==，
…
f n+1（x）=f（f n（x））=，
故f2015（x）=
故答案为：．
15．【答案】　9　．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，
所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．
故答案为：9
16．【答案】　cm3　．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P ﹣ABC ．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD 的面积S=×4×4=8cm 2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm ，
故几何体的体积V=×8×4=
cm 3，故答案为： cm 3【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．　
17．【答案】①②
【解析】
试题分析：子集的个数是，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③为偶函数，故错误.2n ()2
41f x x =-对于④没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误.
0x =考点：子集，函数的奇偶性与单调性．
【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是个；对于2n
奇函数来说，如果在处有定义，那么一定有，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要0x =()00f =根据定义，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合中任意一个
()()()(),f x f x f x f x -=-=-A
元素在集合中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1
B 18．【答案】49
【解析】解：
=
=7a 4
=49．
故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）由题意知，)cos )(sin cos (sin 2
3cos sin )(x x x x x x x f +-+=⋅=……………………………………3分3
2sin(2cos 232sin 21π-=-=x x x 令，，则可得，.223222π
ππ
π
π+≤-≤-k x k Z k ∈12512πππ
π+≤≤-k x k Z k ∈∴的单调递增区间为（）.…………………………5分)(x f ]12
5,12[πππ
π+-k k Z k ∈
20．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
21．【答案】
①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；
③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，
设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又．
所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|=
=．
令t=，则t≥，k2=
所以S△PMN=，
令h（t）=，t∈[，+∞），则h′（t）=1﹣=＞0，所以h（t）在[，+∞），单调递增，则t=，即k=0时，h（t）的最小值，为h（）=，
所以△PMN面积的最大值为．
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．
又O为△PMN的中心，所以，可知Q（0，﹣），M（﹣，），N（，）．
从而|MN|=，|PM|=，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则k OP=，
又O为△PMN的中心，则，可知．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2x Q=﹣x0，y1+y2=2y Q=﹣y0，
又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得k MN=，
从而k MN=．
所以k OP•k MN=•（）=≠﹣1，
所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾．
综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有10÷0.25=40人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：
40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；
（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：
×=2.9；
（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，
所以还有2人只有一个科目得分为A，
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，
则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：
Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，
则P （B ）=．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．　
24．【答案】．
[]1,2-【解析】
试题分析：先化简条件得，分三种情况化简条件，由是的一个必要不充分条件，可分三种情况p 31x -≤<p 列不等组，分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.
试题解析：由
411x ≤--得:31p x -≤<，由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦，当12
a =时，:q ∅；当12a <时，():1,q a a --；当12
a >时，():,1q a a -- 由题意得，p 是的一个必要不充分条件，当12a =时，满足条件；当12a <时，()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
，当12a >时，()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上，[]1,2a ∈-．考点：1、充分条件与必要条件；2、子集的性质及不等式的解法.
【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件，属于中档题,判断是的什么p 条件，需要从两方面分析：一是由条件能否推得条件，二是由条件能否推得条件.对于带有否定性的命题p p 或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.。