廉江市实验学校2020届高三数学上学期限时训练二十二文高补班

广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期限时训练二十二 文(高补班）
考试时间2020年1月11日 11：20-12：00（1-8班使用）
一、
选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。

）
1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}P =,{1,2,4}Q =，则()=⋃Q P C U
（ ） A ．{1} B ．{3,5} C ．{1,2,4,6} D ．{1,2,3,4,5} 2．在复平面内，复数12i i z +=对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第
四象限
3．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>
的焦距为,且两条渐近线互相垂
直,则该双曲线的实轴长为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．已知变量x ，
y 满足约束条件236133x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的
最小值为（ ） A ．9- B ．7-
C ．5-
D ．3-
5．将函数2sin(2)6πy
x
的图像向左平移π
6
个单位,得到函数()
y f x 的
图像，则下列关于函数()
y f x 的说法正确的是( ）
A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 的周期是π2
C ．()f x 的图像关于直线12
π
x
对称 D ．()f x 的图像关于点
π
(
),04
对称
6．。

数列为正项等比数列，若,且,则此数
列的前5项和等于 ( ） A. B. 41 C 。

D.
7．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．22π3 B ．42π3
C ．2
2π
D ．4
2π
8．函数的两个零点分别在区间
和内，则的取值
范围是（ ）
A 。

B.
C.
D.
9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，若ABC △的面积
138
cos 2
S C =-
，且2a =，3b =，则c =( ）
A ．2
B ．
5
C ．6
D ．7 10． 某几何体的三视图如图所示，三个视图
中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均
为圆弧,则该几何体的体积为( ） A 。

B 。

C 。

D.
11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
2(0)y px p
上任意
一点，M 是线段PF 上的点，且||2||
PM MF ，则直线OM 的斜率的最
大值为（ ） A ．
2
2
B ．23
C ．33
D ．1
12．已知
1
1,10(1)(),01x f x f x x x ⎧--<<⎪
+=⎨⎪≤<⎩
，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．2(,)3
+∞ B ．2[,)3
+∞ C ．2
{8}
[,)3
-+∞ D ．2
{8}
(,)3
-+∞ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分。

）
13．数列{}n
a 满足:1
1a
=，且对任意的,m n N *
∈都有：
n m n m a a a nm
+=++，则100
a
=
．
14． 如图，在半径为2的扇形中，
，为弧上的一点，
若
，则
的值为__________ ．
15．若圆0
84:22
=+-+y x y x
C 直线1
l 过点(1,0)-且与直线2
:20l
x y -=垂直，
则直线1
l 截圆C 所得的弦长为_______．
16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形,ABC △的三个欧拉点顶点与垂心连线的中点构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形如图,11
1
A B C △是ABC △的欧拉三角形（H 为ABC △的垂
心）．已知3AC =，2BC =,tan 22ACB ∠=，若在ABC △内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_______．
姓名: 座位号： 班别: 总分：
13
、
14、 ．
15、 16、
17。

已知函数3
2
1()ln 2
f x x x ax
ax
=+-，
a ∈R
．
（1）当0a =时,求()f x 的单调区间； （2）若函数()
()f x g x x
=
存在两个极值点1x ，2x ,求12()()g x g x +的取值范围．
18.已知点0
(,)M x y 为椭圆
2
2:1
2
x C y +=上任意一点,直线0
:22l x x y y +=与
圆2
2(1)
6x y -+=交于A ,B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．
(1）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （2)求证:直线l 与椭圆C 相切；
（3）判断AFB
∠是否为定值，并说明理由．
19.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
1
2
6
1
2
6
x m
m
y m
m
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
(m为参数），
以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为π
cos()1
3
ρθ+=．
(1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；
（2)已知点()
2,0
M，若直线l与曲线C交于P，Q两点，求11
MP MQ
+的值．
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解答】根据补集的运算得{2,4,6}
U
P =，
∴
{2,4,6}{1,2,4}{1,2,6)4(,}
U P Q ==，故选C ．
2．【答案】D
【解答】由题意可得2212i i 2i i 2
2i i i 1z ++-====--，
则复数z 对应的点为(2,1)-，位于第四象限． 3．【答案】B
【解答】因为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a
=±，
因为两条渐近线互相垂直，所以2
()
1b a -=-,得a b =，
因为双曲线焦距为42，所以22c =，
由2
22
c
a b =+,可知2
28
a
=，所以2a =，所以实轴长为24a =．
4．【答案】B
【解答】根据约束条件236133x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩
画出可行域，如图所示，
ABC △内部（含边界）为可行域，2z x y =+,化为112
2
y x =-+，
为斜率是12
-的一簇平行线，12
z 是其在y 轴上的截距，
当经过B 点时,截距最小,即z 最小,
解133
y x x y =+⎧⎨-=⎩，得32
x y =-⎧⎨
=-⎩，即(3,2)B --, 此时min
32(2)7
z
=-+⨯-=-．
5．【答案】D 【解答】函数2sin(2)6πy x
的图象向左平移π
6个单位， 得到函数ππ()
sin(2())sin(2)cos 26
6
2
πy f x x
x
x 的图象,
可得函数()
y f x 是偶函数且周期为π，所以选项A 、B 错误,
又(
)0π
4
f ．
6． 数列为正项等比数列，若，且
,则此数
列的前5项和等于 ( )
A. B 。

41 C 。

D.
【答案】A 【解析】因为，所以
，
选A 。

7．【答案】B
【解答】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体,2
211
42π
2
π2
π(2)2
3
3
3
V
R h ．
8．已知二次函数的两个零点分别在区间和内，
则的取值范围是 （ ） A 。

B 。

C 。

D.
【答案】A.。

. 【解析】由题意得
，可行域如图三角形内部（不
包括三角形边界，其中三角形三顶点为
)：
，而
，所以直线过C 取最大值 ，过B 点取最小值， 的取值范围是
，选A.
9．【答案】C
【解答】由1
6138sin sin cos 2
22
S ab C C C ===-， 所以tan 23C =-，即
sin 23cos C
C
=-, 由2
2sin
cos 1C C +=，且(π)π,2
C ∈，∴6cos 12
C =-
，
由余弦定理得2
222cos 6c
a b ab C =+-=,∴6c =．
10． 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( ）
A. B. C 。

D 。

【答案】D
【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是个圆锥），故体积为
,故选D.
11．【答案】A
【解答】由题意可得(,0)2p
F ，设2
00(,)2y P y p ,0
(0)y ，
则11
12()3
333
OM OF FM OF
FP OF
OP OF OP OF 200
(,)633
y y p p
， 可得020000
11232
2
263
2y k
y p y p y p p
y p
py ，当且仅当00
2y p p y 时取得等号．
12．【答案】D 【解答】∵
11,10(1)(),01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩
，∴11,10
()1,01x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨
⎪≤<⎩,
方程()21f x ax a -=-进行整理得1()2()12
f x a x =+-， 作出函数1
1,10
()1
,
01x y f x x x x ⎧--<<⎪==+⎨⎪≤<⎩的图像，如图所示．
直线21y ax a =+-恒过(1,12)--,即直线绕点(1
,12
)--旋转， 当直线过点(1,1)时，23
a =; 当直线21y ax a =+-与曲线11(10)1y x x =--<<+相切时， 设切点0
(,)x y ，2
1
()(1)
f x x '=-+，则切线斜率为2
1)1
(k x
=-+, 切线方程为02
0011
()(1)11()
y x x x
x =--+-++， 代入过点(1
,12
)--，得02
00
1111()(1)12)1(x x x -=---+-++, 解得0
3
4
x
=-
，此时斜率为16k =-，可求得8a =-． 根据图像可知当23
a >或8a =-时，方程()21f x ax a -=-有唯一解．
二、
填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．数列{}n
a 满足：1
1
a =，且对任意的,m n N *
∈都有：n m
n m a
a a nm
+=++，
则100
a
=
．
【答案】5050
试题分析：令1m n ==，2
11113
a a a =++⋅=，令2,1m n ==，3
21125
a
a a =++⋅=，
故991
991981199298991001299121005050
a
a a a a a +=++=+++==+++
+=++
+=.
考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理．[Zx 【答案】12-
14．. 如图,在半径为2的扇形中,
，为弧上的一点，
若
，则
的值为__________．
【答案】
【解析】因为,所以
以O 为坐标原点,OA 为x 轴建系,则
15．【答案】15【解答】依题意，由0
84:22
=+-+y x y x
C ,得圆心坐标为(2,4)-，半径为
251:20l x y m ++=，将点(1,0)-的坐标代入，解得1m =，
故直线1
:210l x y ++=，圆心到直线1
l 的距离5d =
，
故弦长为2205215-=．
16．【答案】764
【解答】因为tan 22ACB ∠=1cos 3ACB ∠=，
又因为3AC =,2BC =，由余弦定理可得3AB =，
取BC 的中点O ,则OA BC ⊥，以O 为原点,建立如图所示的直角坐标系，
则(1,0)B -，(1,0)C ，(0,2
2)
A ,设(0,)H y ,
因为BH AC ⊥，所以2211
y =-，所以2y =，
从而11111272(22222A B H
S
=⨯⨯⨯=△, 故所求概率为2
7
321
6422
2
=
⨯⨯，故答案为764
． 17.解：（1）当0a =时,()ln f x x x =,()ln 1f x x '=+，
令()0f x '<,解得10x e <<；令()0f x '>，解得1x e >, 故函数()f x 在1(0,)e 递减,在1
(,)e
+∞递增． （2）2()1()ln 2f x g x x ax ax x ==+-(0)x >，21
()ax ax g x x -+'=，
由题意知：1
x ，2
x 是方程()0g x '=的两个不相等的正实根，
即1
x ，2
x 是方程2
10ax
ax -+=的两个不相等的正实根，
故21212401010
Δa a x x x x a ⎧
⎪=->⎪+->⎨⎪⎪=>⎩
，解得4a >,
∵
22
1211122211()()()ln ln 22
t a g x g x ax ax x ax ax x =+=-++-+
21212121211
[2]()ln(())ln 122
a x x x x a x x x x a a =+--++=---, 是关于a 的减函数，
故()(4)3ln 4t a t <=--,故1
2
()()g x g x +的范围是(,3ln 4)-∞--．
18。

解：（1
）由题意a =
1b =
，1c ==,
所以离心率c
e a
==，左焦点(1,0)F -． (2)由题知，2
2
0012
x y +=，即22
022
x
y +=，
当0
0y
=时，直线l
方程为x =
x =l 与椭圆C 相切，
当00y ≠时，由22
01
222
x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,得22220000(2)4440y x x x x y +-+-=，
即2
2
002220
x
x x y -+-=，所以2
222
000(2)
4(22)4880
Δx y x y =---=+-=，
故直线l 与椭圆C 相切． (3）设1
1
(,)A x y ，2
2
(,)B x y ， 当0
0y
=时，12x x =，12y y =-
，1x =
2222211111(1)(1)6(1)240FA FB x y x x x ⋅=+-=+-+-=-=，
所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒,
当00y ≠时,由2200(1)6
22
x y x x y y ⎧-+=⎨+=⎩，得22220000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=，
则20012202(2)1y x x x y ++=+，2
122
2101y x x y -=+, 22
000
01212122222
0000
5441()4222x x x x y y x x x x y y y y --+=-++=+， 因为1
1
2
2121212(1,)(1,)1FA FB x y x
y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++
222222
00000000222
000
42084225445(2)100222222y y x y x x x y y y y -++++--+-++=+==+++． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒，故AFB ∠为定值90︒．
19.解：（1）将126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩
两式相加，可得4x y m +=， 两式相减,可得13x y m -=，整理可得2
2
3
3144
x y -
=， 故曲线C 的普通方程为2
2
3
314
4
x y -
=, 依题意，得直线l
:1(cos )12ρθθ-=,
即cos sin 2ρθθ-=， 所以直线l
的直角坐标方程为20
x --=．
（2
）设直线22:12
x l y t
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数),代入2233144x y -=中，
得2
3160t
++=
，(2
43162400Δ=-⨯⨯=>，
设P ，Q 对应的参数分别为1
t ，2
t
，则1
2
t t
+=-1216
3
t t =
,
所以12
12
11
MP MQ t t MP MQ MP MQ t t
+++==
=
⋅．。