人教A版高中数学必修五 2-5等比数列的前n项和 学案 精

2.5 《等比数列的前n项和》学案
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决一些有关等比数列的简单问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏.
国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”这位聪明的大臣达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律,放满棋盘的64个格子,并把这些麦粒赏给您的仆人吧.”
国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒.
计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第三个格内放4粒,第四个格内放8粒,…,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺.
这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?
每个格的麦粒数组成首项为1,公比为2的等比数列,大臣西萨·班·达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.即求,怎么计算?
二、信息交流,揭示规律
如何求数列1,2,4,…262,263各项的和?
以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:
S64=1+2+4+8+…+262+263①
用公比2乘以①的两边,得
2S64=2+4+8+16+…+263+264②
由②-①可得:S64=264-1.
这种求和方法称为,它是研究数列求和的一个重要方法.
等比数列的前n项和公式:
当q≠1时,S n = ① 或S n = ②
当q=1时,S n =na 1
公式的推导方法一:
一般地,设等比数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…它的前n 项和是
S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,
由
得
所以(1-q)S n =a 1-a 1q n .
所以当q≠1时,
当q=1时,
公式的推导方法二:
S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =a 1+q(a 1+a 2+a 3+…+a n-1)=a 1+qS n-1=a 1+q(S n -a n )
⇒(1-q)S n =a 1-a n q(结论同上).
现在我们看一看本节开头提出的问题,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为
S 64==264-1≈1.84×1019,
据测量,一般一千粒麦子重约为40g,则这些麦子的总质量约为7.36×1017g,约合7360亿吨.国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢?
三、运用规律,解决问题
【例1】已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13
，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{b n }的前n 项和．
【例2】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果取整数)?
四、变式训练,深化提高
已知等比数列{a n }满足a 3=12,a 8=,记其前n 项和为S n .
(1)求数列{a n }的通项公式a n ;
(2)若S n =93,求n.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境； S 64=1+2+4+8+…+262+263
二、信息交流,揭示规律； “错位相减法” S n =na 1
三、运用规律,解决问题
【例1】【解析】 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.
所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列．通项公式为a n ＝3n －1.
(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n 3，因此数列{b n }是首项为1，公比为13
的等比数列．
记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－13n 1－13
＝32－12×3n －1
. 【例2】分析:第1年销售量为5000台.
第2年销售量为5000×(1+10%)=5000×1.1(台).
第3年销售量为5000×(1+10%)×(1+10%)
=5000×1.12(台).
……
第n 年销售量为5000×1.1n-1台.
则n 年内的总销售量为(5000+5000×1.1+5000×1.12+…+5000×1.1n-1)(台).
解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以从今年起,每年的销售量组成一个等比数列{a n },其中a 1=5000,q=1+10%=1.1,S n =30000.
于是得到:=30000.整理,得1.1n =1.6.
两边取常用对数,得lg1.1n =lg1.6,即nlg1.1=lg1.6.用计算器算得n=≈5(年).
答:大约5年可以使总销售量达到30000台.
四、变式训练,深化提高
解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,则解得所以a n=a1q n-1=48·.
(2)S n==96,由S n=93,得96=93,解得n=5.。