一元一次方程竞赛讲义
(完整)一元一次方程复习讲义
一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。
如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。
3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。
(完整版)一元一次方程讲义
去分母，得;根据等式的性质（ ）
去括号，得；
移 项,得;根据等式的性质（ ）
合并同类项，得；
系数化为 ,得；根据等式的性质（ ）
【例10】解方程：
（3）含有多层括号的一元一次方程的解法
【例11】解方程：
（4）一元一次方程的技巧解法
【例12】解方程：
五、一元一次方程的实际应用
（一）行程问题：
最简形式：方程 （ ， ， 为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
注意：
（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程 是一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。
(2）方程 与方程 是不同的，方程 的解需要分类讨论完成.
教学准备
课本,5年中考3年模拟,历年中考真题
教学过程
知识详解
一、等式的概念和性质小四
1、等式的概念
楷体五号用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式。
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边。等式可以是数字算式,可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则。号
2、等式的性质
注意：定义中含有两层含义，即:方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个
待确定的数即未知的字母,二者缺一不可。
2、方程的次和元
楷体五号方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元.号
3、方程的已知数和未知数
楷体五号已知数：一般是具体的数值，如 中（ 的系数是1，是已知数．但可以不说）。5和0
【例06】下列各式中:① ；② ；③ ;④ ；⑤ ；⑥ ;⑦ ；⑧ 。哪些是一元一次方程?
一元一次方程竞赛讲座
一元一次方程再认识一、走进美妙的数学世界例1、探究数学“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字钟也有类似的“黑洞”，如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和……，重复运算下去，就能得到一个固定的数T，我们称之为数字的“黑洞”，请计算T= 。
例2、张老汉去世的时候有两块相连的矩形的地（如图），但是不知道矩形的长和宽，两个儿子决定在不测量矩形长和宽的前提下，用一条直线将这两块地分成面积相等的两部分，请帮他们完成吧。
（结果保留作图痕迹）拓展：如果将上题中的矩形换成不规则的四边形，如下图，你还会做吗？二、一元二次方程再认识早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化方程问题。
一元一次方程式代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论。
解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们再解一元一次方程时，既要学会按部就班地解方程，又要能随机应变解方程。
当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为b ax =的形式，继续求解时，一般要对字母系数进行讨论：1、当0≠a 时，方程有唯一解ab x =；2、当0=a ，且0≠b 时，方程无解；3、当0=a ，且0=b 时，方程有无数个解。
例3、解下列方程 ①⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---73163734143x x x x (广西竞赛)②0333321212121=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x (“希望杯”邀请赛)③34.08.013.03.002.05.08.03.0-=-+-+x x x （“迎春杯”邀请赛）④620082200720062=+++-x x x （“五羊杯”竞赛）三、带参数方程例4、解下列关于x 的方程①()484≠-=+a ax b x ②nx mx =-1③()m x n x m 241)(31+=-变式：关于x 的方程78)32()23(-=-+-x x b x a 有无数多个解，则a 等于（ ）。
一元一次方程讲义1
课 题一元一次方程（1）教学目标1．能说出什么是方程、掌握等式的性质，说出方程变形依据，方程的解、解方程，会检验一个数是不是某个一元一次方程的解。
2．能说出什么是一元一次方程，能正确地运用等式性质(不能乘0)和移项法则，熟练地解一元一次方程，并养成对方程的解进行检验的习惯。
重点、难点 巩固解一元一次方程的基本思想和解法步骤，以及列方程解应用题．教学内容一、 知识结构导入（一）方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)x ，未知数x 的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如： 1700+50x=1800， 2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程。
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。
⑵ 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。
等式和它的性质方程和它的解 一元一次方程的解法 一元一次方程 一元一次方程的应用等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。
等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c。
等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么ac=bc（三）移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项（四）去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
（五）解方程的一般步骤1. 去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号(按去括号法则和分配律)3. 移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4. 合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5. 系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x = b a )重点知识巩固：专题一：一元一次方程概念的理解:例1：若()2219203m x x m --+=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是 。
一元一次方程讲义
一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：等式中一定含有等号。
2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。
可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
①直接设未知数：题目求什么就设什么。
②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。
（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
初中数学竞赛辅导第四讲一元一次方程含.doc
初中数学竞赛辅导第四讲一元一次方程1、解方程：1x1x1x23x32343242、方程3x 2 5x和4x 3a x 6x 7a x有相同的解，求a的值。
3、方程2x 1 3x 1的解为a+2，求方程22x 3 2x a3a的解。
4、解关于x的方程mx nm n0。
5、解方程：a x ba b xa2xb2xa2b2。
6、m21x2m 1x 8 0是关于x的一元一次方程，求代数式199m xx 2mm的值。
7、关于x的方程a2x1 3x 2无解，试求a的值。
8、k为何正数时，方程k2x k22kx5k的解是正数？9、假设abc2ax2bx2cx 1，解方程bcb11aba1caa1xab xb c xca310、假设a、b、c是正数，解方程a bc11、设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程x2x3x4xnxn2n12。
212、关于x的方程，且a为某些自然数时，方程5xa8x142的解为自然数，试25求自然数a的最小值。
答案：1、x 22。
92、a41。
23、x 1 10。
24、〔1〕当mn0，且m0时，方程有唯一解xn0时，且m时，；〔2〕当mnm方程无解；〔3〕当mn0时，方程的解为一切实数。
、〔〕当a2b20时，方程有唯一解ab；〔〕当a2b20时，那么方程无解或有1x2a b 无数多个解。
6、1991。
37、a28、k5或k2。
9、x1210、x ac 。
11n1。
、x n 12、2。
训练题：1、解以下方程：111xx 12〔1〕31〔2〕24〔3〕1111x16412452、解以下关于x的方程：〔1〕a223x 1〔〕ax3x2ab1〔〕xbxa2323a2b3、a为何值时，方程x a x1x 12有无数多个解？无解？3264、当k取何值时，关于x的方程3x1 5kx，分别有〔1〕正数解；〔2〕负数解；〔3〕不大于1的解。
初中数学竞赛：一元一次方程
初中数学竞赛：一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．。
一元一次方程 讲义
【一元一次方程 讲义】第一节 一元一次方程1．一元一次方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 训练题：1.判断下列各式哪些是一元一次方程：（1）43x=21； （2）3x －2； （3）71y －51=32x －1； （4）5x 2－3x+1； （5）3x+y=1－2y ； （6）1－7y 2=2y. 2.若关于x 的方程3x3a+1－5=0是一元一次方程，则a=＿＿＿＿.3.写出一个解是－2的一元一次方程为＿＿＿＿.4.若2x －a=3,则2x=3+＿＿,这是根据等式的性质1,在等式两边同时＿＿. 若－6a=4.5,则＿＿＿=－1.5,这是根据等式的性质,在等式两边同时＿＿ ＿＿___.5.下列方程中以x=21为解的是（ ） A.－2x=4 B.－2x －1=－3 C.－21x －1=－43 D.－21x+1=43 6.已知5a －3b －1=5b －3a ，利用等式的性质比较a 、b 的大小.7.某钢铁厂今年5月份的某种钢产量是50吨，预计6月份产量是a 吨，比5月份增长x%，那么a 是（ ）A.50（1+x%）B.50x%C.50+x%D.50（1+x ）%8.已知关于x 的方程5x+3k=24的解为3，求k 2－1+k 的值9.利用等式性质解方程：－23x+3=－10.10.服装厂用355米布做成人服装和儿童服装,成人服装每套平均用布3.5米,儿童每套平均用布1.5米,现在已做了80套成人服装,用余下的布还可以做几套儿童服装?直通中考下列方程是一元一次方程的是（ ）．A ．-5x+4=3y 2B ．5（m 2-1）=1-5m 2C ．2-145n n -= D ．5x-32.解一元一次方法（1）等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的 结果仍是等式.用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0)（2）解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程 （1）y-52221+-=-y y例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x 训练题： 1.在1,－2,21这三个数中,是方程7x+1=10－2x 的解的是＿＿＿＿. 2.当k=＿＿＿＿时,方程5x －k=3x+8的解是－2. 3.若代数式21-x +612x +与31-x +1的值相等,则x=＿＿＿＿. 4.如果2x5a －4－3=0是关于x 的一元一次方程,那么a=＿＿＿＿,此时方程的解是＿＿＿＿.5.如果x ＝－2是方程3x ＋5＝4x －m 的解，那么m 2＝＿＿＿＿. 6.解方程:5x-|x|=8.7.今年儿子13岁,父亲40岁,多少年后父亲的年龄是儿子年龄的2.5倍?8.一群小孩分一堆梨,1人1个多1个,1人两个少2个,问有几个小孩、几个梨?9.一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的3倍，求这个三位数.10.某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a 度，超出部分按基本电价的70%收费.（1）某户五月份用电84度，共交电费30.72元，求a.（2）若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求六月份共用电多少度？应交电费多少元？ 直通中考[2010年辽宁中考]已知关于x 的方程ax ＋2＝2（a －x ），它的解满足|x ＋21|＝0，则a ＝＿。
一元一次方程复习讲义
第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出 未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出 售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2） 商品利润率= 商品利润 商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，方程就像是一座神秘的桥梁，连接着已知和未知。
而一元一次方程，则是这座桥梁中较为基础和常见的一种。
一元一次方程，简单来说，就是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。
我们可以用一个通用的形式来表示一元一次方程：ax ＋ b ＝ 0 （其中a ≠ 0 ）。
这里的“x”就是我们要寻找的未知数，“a”是未知数的系数，“b”则是常数项。
比如说，3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。
在这个方程中，未知数是 x ，系数是 3 ，常数项是 5 和 14 。
二、一元一次方程的求解接下来，让我们一起来探索如何求解一元一次方程。
求解一元一次方程的基本思路就是通过一系列的运算，将方程变形，最终求出未知数的值。
以方程 2x ＋ 7 ＝ 15 为例，我们的目标是让 x 单独在等号的一边。
首先，我们要把常数项 7 移到等号的右边，这时候要注意，移项时要变号，所以得到 2x ＝ 15 7 ，即 2x ＝ 8 。
然后，将方程两边同时除以系数 2 ，得到 x ＝ 4 。
再来看一个稍微复杂一点的方程，比如 5(x 3) ＋ 2 ＝ 17 。
第一步，先把括号展开，得到 5x 15 ＋ 2 ＝ 17 。
接着，合并同类项，5x 13 ＝ 17 。
然后，把－13 移到等号右边，5x ＝ 17 ＋ 13 ，即 5x ＝ 30 。
最后，两边同时除以 5 ，解得 x ＝ 6 。
三、一元一次方程的应用一元一次方程在我们的日常生活中有着广泛的应用。
比如，购物时计算折扣和价格。
假设一件商品原价为 x 元，打 8 折后的价格是 160 元，那么可以列出方程 08x ＝ 160 ，解得 x ＝ 200 ，就知道这件商品的原价是 200 元。
再比如，行程问题。
如果一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶，行驶了 x 小时后，总共行驶了 300 千米，那么可以列出方程 60x ＝300 ，解得 x ＝ 5 ，也就是这辆汽车行驶了 5 小时。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。
比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。
这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。
它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。
当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。
这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。
三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。
比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。
那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。
比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。
2、去括号运用乘法分配律去掉括号。
对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。
解一元一次方程讲义
解一元一次方程讲义(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解一元一次方程讲义等式的性质 例 1. ＋＝2.;8274.0-=x一、合并同类项 例 1．7x －4x ＝－6． 2．5x+10x ＝15．3．⋅=-1213121x x4．－2x ＋＝．二、移项例 1. 5x －3＝3x ＋19 2. ＋＝＋．3. .5141+=-x x 4．⋅-=+316121x x四、去括号例1．5(x ＋2)＝2(5x －1)． 2．(x ＋1)－2(x －1)＝1－3x ．3．2(x －2)－(4x －1)＝3(1－x )． 4．3(x －2)＋1＝x －(2x －1)．五、去分母1 例1．.1312=--x x 2．.0615213=+--x x 3．⋅+=-+612141x x 4．⋅+-=--32221x x x 去分母2 例1. 13.02.03.05.09.04.0=+-+y y 2. 6.15.032.04-=--+x x3. 13.02.18.12.06.02.1=-+-x x4. 01.002.01.02.02.018+=--x x x 巩固练习（1）21632=++x x （2）y y 3942-=-（3）32685+=-+a a a （4）45.15.03=--m m m（5）3221+=-x x （6）x x 45.15.35+-=+（7）2(x －2)－3(4x －1)＝9(1－x ) （8）7(2y －1)－3(4y ＋1)＋6＝0（9）)72(65)8(5-=-+x x （10）)1(2)1()1(3-=--+x x x（11）()[]{}1720815432=----x （12）96)5(3)6(4-=---x x x （13）22)5(54-=--+x x x （14）52221+-=--y y y (15) 4473368257-+=---x x x （16）2233)5(54--+=--+x x x x（17）)1(32)]1(21[21-=--x x x （18） 5162.15.032.08+-=--+x x x 能力提升1、若方程01)2(2=-+--b ax x m 是关于x 的一元一次方程，则b a m ,,的值满足什么条件2、方程2512-=+-x kx x 的解为－1时，求k 的值。
七年级一元一次方程竞赛讲座2
含绝对值方程及简单应用题一、走进美妙的数学世界1、如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A 、B 、C 、D 。
请按图中箭头所指的方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C ……的方式）从A 开始数连续的正整数1,2,3,4，……，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n+1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）。
2、我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等。
如图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是（ ）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙.A ∙∙∙∙.B ∙∙∙∙∙∙.C ∙∙∙∙∙∙∙∙.D拓展：你玩过数独游戏吗？数独游戏：一般指数独游戏（数学智力拼图游戏），是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格。
在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。
请完成下面这个数独游戏吧。
1 32 9 5 6 1 8 4 2 8 2 4 7 1 4 6 2 53 5 7 2 1 6 1 645 8 7 9 2 3 4 3 8 9 5 1 25379二、含绝对值的一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而产生新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫做含绝对值符号的方程，简称绝对值方程。
解绝对值方程的基本方法：一是设法去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解。
前者是通法，后者是技巧。
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值的符号法则、非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能和方法。
一元一次方程[初中数学竞赛专题讲座
学科：奥数教学内容：一元一次方程【内容综述】一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。
本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。
只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。
【要点讲解】§1 含参量的一元一次方程含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。
因为未注明，所以它的解有下面三种情况：（1）当时，方程有唯一解；（2）当时，方程的解为任意数；（3）当，时，方程无解。
★例1解关于χ的方程。
思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。
解：把原方程变形为即当，即且时，方程有唯一解；当且，即且时，方程无解；当且，即时，方程的解为任意数。
★★例2若a，b，c是正数，解方程。
解法一：原方程两边乘以abc，得到方程,移项合并同类项得即由，，知,即。
解法2：对原方程左端的每一项减去1，得即∵由，，知∴∴说明通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。
★★例3k为何正数时，方程的解是正数？思路当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定：（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。
（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。
（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。
解：按未知数χ整理方程得要使方程的解为正数，需要不等式的左端因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。
§2 含有绝对值符号的一次方程解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。
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一元一次方程
一、一元一次方程的解法
一元一次方程的解法一般有去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬套，往往需要我们活用所学方法，灵活解决问题。
例1、解方程20062007
2005275253212=⨯++⨯+⨯+⨯x
x x x x
二、一元一次方程根的存在性
一元一次方程最终都可化成ax=b 的形式，显然 一元一次方程ax=b 的解由a ，b 的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解； (3)若a=0，且b ≠0，方程变为0·x=b ，则方程无解．
例2、当b=1时，关于x 的方程a （3x-2）+b （2x-3）=8x-7有无数多个解，求a 的值。
例3：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。
例3.如果a ，b 为定值，关于x 的方程2236
kx a x bk
+-=+
，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。
例4.解方程11x x a b
a b ab
--+-=
巩固练习:
1.对于任何a 值，关于x ，y 的方程()11ax a y a +-=+有一个与a 无关的解，这个解是（ ） A.2,x y ==-1 B.2,1x y == C.2,1x y =-= D.2,1x y =-=-
2.若关于x 的方程()42a x b bx a -+=-+-有无穷多个解，则()4
ab 等于（ ） A.0 B.1 C.81 D.256 3.（1）a 为何值时，方程
()1
12326
x x a x +=--有无数多个解？（2）a 为何值时，该方程无解？
4.问：当a 、b 满足什么条件时，方程251x a bx +-=-；(1)有唯一解；（2）有无数解； （3）无解
5.若关于x 的方程()()311x x k x -+=-无解，则k= 。
例5、如果a 、b 为定值，关于x 的方程6
232bk
x a kx -+
=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值。
【例6】 (1)已知关于I 的方程x a x x 4)3(23=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--和18
51123=--+x a x 有相同的解，那么这个解是 ． (北京市“迎春杯”竞赛题)
（2）如果
2004
2003
)1(11216121=
+++++n n ，那么n ＝ ．
例7已知关于x 的方程a(2x -1)=3x -2无解，试求a 的值．
例8、 解关于x 的方程a
b
a b x b a x =---，其中a ≠0，b ≠0。
例9、已知3=--+--+--b a c x a c b x c b a x ，且01
11≠++c
b a ，求x-a-b-
c 的值。
例10若abc=1，解方程
例10 若a ，b ，c 是正数，解方程：
例11、若5
5
4
5410(31)x a x a x a x a +=++++ 。
求543210a a a a a a -+-+-的值。
三、一元一次方程的整数解
例12、若k 为整数，则使得方程（k-1999）x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有几个？
例13、已知p 、q 都是质数，则以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式p 2-q 的值。
四、含绝对值的一元一次方程
例14:解方程：（1）35x -= （2）30x -= （3）235x -=
例15：解方程：
（1）215x x -++= （2）213x x -++= （3）212x x -++=
练习：19.解方程：（1）2313x x -=- （2）2313x x -=-
例16、解方程532=+++x x
练习
1、已知ax 2+5x+14=2x 2-2x+3a 是关于x 的一元一次方程，则其解是多少？
2、已知方程5x-2m=mx-4-x 的解在2与10之间（不包括2和10），求m 。
3、关于x 的方程mx+4=3x-n ，分别求m 、n 为何值时，原方程（1）有惟一解 （2）有无数解（3）无解
4、方程132=-+-x x 的解有哪些？
5、已知关于x 的方程2a （x-1）=（5-a ）x+3b 有无数多解，试求a 、b 的值。
课后作业：
1、已知|31|2x -=，则x =（ ）.
（A ）1 （B ）－13 （C ）1或－1
3
（D ）无解
2.（“希望杯”赛题）若||,x a =则||x a -=（ ）.
（A ）0或2a （B ）x a - （C ）a x - （D ）0 3.（重庆市竞赛题）若|20002000|202000x +=⨯.则x 等于（ ）.
（A ）20或－21 （B ）－20或21 （C ）－19或21 （D ）19或－21 4.（四川省初中数学竞赛题）方程|5|25x x -+=-的根是_________.
5.（山东省初中数学竞赛题）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足1
||102
x --=，则x
的值是（ ）.
（A ）10或25 （B ）10或－25 （C ）－10或25 （D ）－10或－2
5
6.（重庆市初中数学竞赛题）方程|56|65x x +=-的解是_________.
7.（“迎春杯”竞赛题）解方程|3||1|1x x x +--=+
8.（“希望杯”竞赛题）若0a <，则200011||a a +等于（ ）.
（A ）2007a （B ）－2007a （C ）－1989a （D ）1989a
9..（“江汉杯”竞赛题）方程|1||99||2|1992x x x +++++=共有（ ）个解.
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
10.（第11届“希望杯”竞赛题）适合|27||21|8a a ++-=的整数的值的个数有( )
（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
11.（武汉市竞赛题）若0,0a b ><则使||||x a x b a b -+-=-成立的的取值范围是_______. 12.（“希望杯”竞赛题）适合关系式|34||32|6x x -++=的整数的值是( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）大于2的自然数
13.（“祖冲之杯”竞赛题）解方程|1||5|4x x -+-=：.
14.解下列关于的方程：
()()()(0)cx b c x a b x b a x a c --=---+≠.
15.解关于x 的方程：.
15．方程
19951996
19953221=⨯++⨯+⨯x x x 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 1998 16．已知20012
22==
-=+c
b a ，且k
c b a 2001=++，那么k 的值为（ ）
． A ．41
B ．4
C ．4
1- D ．－4
17、解下列方程：（1）32122234x x ⎡⎤⎛⎫--=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）0.30.2 1.550.70.20.5
x x
--+=
18、 能否从(2)3a x b -=+；得到32b x a +=-，为什么？反之，能否从3
2
b x a +=-得到(2)3a x b -=+，为什么？
19、已知1x =是方程11
322
mx x =-的解，求代数式22007(79)m m -+的值。
20、关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数，求整数K 的值。
21、若方程732465x x x --=-与方程3551
2246
x x mx ---=-
同解，求m 的值。
22、关于x 的一元一次方程22(1)(1)80m x m x --++=求代数式200()(2)m x x m m +-+的值。
23、解方程200612233420062007
x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯
24、已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解。
25、已知ax 2+5x+14=2x 2-2x+3a 是关于x 的一元一次方程，则其解是多少？
26、已知方程5x-2m=mx-4-x 的解在2与10之间（不包括2和10），m 是整数，求m 。
27、关于x 的方程mx+4=3x-n ，分别求m 、n 为何值时，原方程（1）有惟一解 （2）有无数解（3）无解
28、方程132=-+-x x 的解有哪些？
29.若11134220124x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1402420122012x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭= 。
30.已知方程
1115420102x ⎛⎫+-= ⎪
⎝
⎭，则代数式131021005x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭的值是 。
31：计算112123122011233444201220122012⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的
32.计算
111111
2481632256
+++++
的值。