高考数学黄金30题专题06大题易丢分理(2021学年)

201７-20１8学年高考数学黄金30题专题０6 大题易丢分理
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专题06 大题易丢分 理
1．在ABC ∆中， ()sin sin sin ,A B C B D -=-是边BC 的中点，记sin .sin ABD
t BAD
∠=∠
（1）求A 的大小；
（２)当t 取最大值时，求tan ACD ∠的值。

【答案】（１).3
A π
=
；(2）tan 3.ACD ∠= 【解析】试题分析:(1）根据两角和差公式得到原式等价于sin 2cos sin B A B =,因为正弦值不为0,故得到1cos 2A =
，即3A π=。

（2)根据中线的性质得到()
1
2
AD AB AC =+，平方得到边之间的关系，有不等式的性质得到222a b c bc bc =+-≥,进而得到ｔ的最值，此时三角形为正三角形，可以直接得到角的正切值。

(2) 2sin sin AD AD
ABD t BAD BD BC
∠=
==
∠，令,,AB c AC b BC a ===, 因为()
12AD AB AC =
+，所以()
2221
4
AD b c bc =++, 在ABC ∆中, 222a b c bc bc =+-≥，
所以2
222
2
22223AD b c bc bc a t BC a a ⎛⎫+++===≤
⎪ ⎪⎝
⎭
，当且仅当b c =时取等号，此时， ABC ∆为正∆,所以当t 取最大值时, tan 3.ACD ∠=
点睛:这个题目主要考查正弦定理和余弦定理（即和题目中中线的向量的应用得到的式子相同)
在解三角形中的应用,解三角形中常用的方法有正弦定理,余弦定理,其中知道一边和对角用正弦,知道两边和夹角用余弦，知道两角和一边用正弦. 2．在ABC ∆中,内角A ,
B ，
C 的对边分别是a ,
b ，
c ,满足
()()
2
22222tan 3a
c b B b c a +-=+-.
（1)求角A ;
（2)若ABC ∆的面积为3
2
,求()
2243cos cos bc A ac B a b -+-的值。

【答案】(１) 3
A π
=。

（2)1。

试题解析:
(1)由())222222tan 3a c b B b c a +-=+-及余弦定理得, 2cos tan 23cos ac B B bc A =,
∴cos tan 3cos a B B b A =.
由正弦定理与同角三角函数基本关系得
sin sin cos 3sin cos cos B
A B B A B
⋅
=， ∴tan 3A = 又0A π<<, ∴3
A π
=。

(２)∵ABC ∆的面积为32
,
∴13
sin
2
3
2
bc π
=
，即23bc =， ∴()
43cos cos 23cos cos bc A ac B A ac B -+=-+
222222
2322b c a a c b ac bc ac +-+-=-⋅+⋅
22a b =-,
∴
()22
43cos cos 1bc A ac B a b -+=-。

3．已知等比数列{}n a 中, 11a =, 48a =. (1）求数列{}n a 的通项公式．
(2）若3a , 5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项,求()123*n b b b b n N +++∈．
【答案】(1）12n n a -=， *n N ∈.(2）见解析。

（2）
∵3a ， 5a 分别为等差数列{}n b 的第6项和第8项，∴634b a ==， 8516b a ==， 设等差数列{}n b 的公差为d ,则： 11716
{
54
b d b d +=+=,解得126b =-， 6d =，
∴等差数列{}n b 的通项公式()11632n b b n d n =+-=-， 当5n ≤时, ()21212329n n b b b b b b n n +++=-+++=-+, 当6n ≥时, ()()
221212567032970329140n n b b b b b b b b n n n ++
+=-++
+++
+=+-+=-+.
综上所述: 21232
329,5,*{
329140,6,*
n n n n n N b b b b n n n n N -+≤∈+++=++≥∈.
4．已知单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若339S =,且43a 是65,a a -的等差中项． （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ,求
123
1111n
T T T T ++++。

【答案】(Ⅰ) 3n n a =;(Ⅱ)
123
111113112212n T T T T n n ⎛⎫++++
=-- ⎪++⎝⎭。

试
题解析：
（Ⅰ)因为43a 是65,a a -的等差中项,
所以24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍)； (
)3
131
13931a q S a
q
-=
=⇒=-
3n n a =
(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+; ()35212n T n n n =++
++=+
()11111222n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
123111111111111111121322423522n T T T T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒
++++
=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
123
111113112212n T T T T n n ⎛⎫⇒++++
=-- ⎪++⎝⎭
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，ｃ为常
数)的数列． 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和（如本例）,还有一类隔一项的
裂项求和，如
()()
1
13n n ++或
()
1
2n n +.
5.某花店每天以每枝4元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(I)若花店一天购进16枝玫瑰花,写出当天的利润y (单位：元）关于当天需求量n （单位：枝,
n N ∈)的函数解析式.
(II)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数
10
20
16
16
15
13
10
以．100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．
（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花, X 表示当天的利润（单位：元),求X 的分布列,数学期望. (ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?只写结论． 【答案】(I)()()108015{
8016n n y n n N
-≤=≥∈；
（II)（i ）见解析,（ii)应购进17枝。

试
题解析:(I)当16n ≥时, ()1610580y =⨯-=，
当15n ≤时,
()55161080y n n n =--=-，
故
()
()
108015
{
8016
n n
y
n n N
-≤
=
≥∈
.
（IＩ)(i)X可取60, 70，80，
()600.1
P X==,
()700.2
P X==,
()800.7
P X==，
故X的分布列如下：
()600.1700.2800.7
E X=⨯+⨯+⨯,
6145676
=++=.
(ｉｉ）购进17枝时，当天利润为()()()
145350.1155250.2165150.7
y=⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯，76.476
=>，
故应购进17枝．
点晴：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义;
第二步是“探求概率”,即利用排列组合,枚举法,概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率;
第三步是“写分布列＂,即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
6.某大型娱乐场有两种型号的水上摩托,管理人员为了了解水上摩托的使用及给娱乐城带来的
经济收入情况,对该场所最近6年水上摩托的使用情况进行了统计，得到相关数据如表: 年份 2０１1 2０１2 20１3 2０１4 2０15 2016 年份代码x １
2
3
４
5
6
使
用
率
y (%)
１１
13 １６ 15 2０ ２1
（１）请根据以上数据,用最小二乘法求水上摩托使用率y 关于年份代码x 的线性回归方程,并预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率；
（2)随着生活水平的提高，外出旅游的老百姓越来越多,该娱乐场根据自身的发展需要，准备重新购进一批水上摩托,其型号主要是目前使用的Ⅰ型、Ⅱ型两种,每辆价格分别为1万元、1.2万元。

根据以往经验,每辆水上摩托的使用年限不超过四年。

娱乐场管理部对已经淘汰的两款水上摩托的使用情况分别抽取了５0辆进行统计，使用年限如条形图所示:
已知每辆水上摩托从购入到淘汰平均年收益是0.8万元，若用频率作为概率，以每辆水上摩托纯利润（纯利润=收益-购车成本）的期望值为参考值，则该娱乐场的负责人应该选购Ⅰ型水上摩托还是Ⅱ型水上摩托？
附：回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，其中()()()112
22
11ˆn n
i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑, ˆˆa y bx =-。

【答案】(1)回归方程为ˆ29y
x =+。

预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为25%. (2)答案见解析。

试
题解析:
(1)由表格数据可得 3.5x =， 16y =， 6
1
371i i i x y ==∑， 6
21
91i i x ==∑
∴6
16221ˆ66i i i i i x y xy b x x
==-=-∑∑ 23716 3.5162916 3.5
-⨯⨯==-⨯, ∴162 3.9ˆ5a
=-⨯=, ∴水上摩托使用率y 关于年份代码x 的线性回归方程为ˆ29y x =+. 当8x =时， 28925ˆy
=⨯+=, 故预测该娱乐场2018年水上摩托的使用率为25%.
∴
每辆Ⅱ型水上摩托可产生的纯利润期望值
()()()()20.8 1.20.120.8 1.20.230.8 1.20.440.8 1.20.3 1.12E ξ=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=（万元)。

∵12E E ξξ<。

∴应该选购Ⅱ型水上摩托。

点睛:
（１)线性回归方程体现了两个变量之间的相关关系,求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计，以便为下一步的决策提供参考依据.
(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。

７．某钢管生产车间生产一批钢管,质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，
得出这批钢管的直径服从正态分布.
（Ⅰ)如果钢管的直径满足为合格品，求该批钢管为合格品的概率(精确到
0.01）;
(Ⅱ）根据（Ⅰ)的结论,现要从40根该种钢管中任意挑选3根,求次品数的分布列和数学期望。

(参考数据:若
,则；
;
）
【答案】(1）0。

95。

(2)见解析
试
题解析:
(Ⅰ）由题意可知钢管直径满足为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为
0.95.
(Ⅱ）由(Ⅰ)知,4０根钢管中合格品为3８根，次品为2根,任意挑选３根,则次品数的可能取值为0,1,2，
，
，
．
次品数的分布列为
∴.
点睛:
(1)正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现,主要考查正态曲线的性质（特别是对称性），常以选择题、填空题的形式出现,难度较小;有时也会与概率与统计结合，在解答题中考查.
(2）对于求随机变量在特殊区间上的概率时,一定要掌握服从N(μ,σ２)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率的结论,将所求问题向Ｐ(μ－σ<Ｘ≤μ＋σ），P（μ-２σ〈Ｘ≤μ＋2σ)，Ｐ（μ-3σ<X≤μ+3σ）转化，然后利用特定值求出相应概率.
8．如图,已知四棱锥P ABCD
∠=︒，且
ADC
AD BC，90
-的底面为直角梯形, //
==，PA PB PD
22
AD BC CD
==。

（１)求证:平面PAD⊥平面ABCD；
(2)设45
PAD
∠=︒,求二面角B PD C
--的余弦值．
【答案】(１)证明见解析；(2)
6
3
.
试
题解析：
(1)证明：如图，取AD, AB的中点O, G，连接OB，OP, OG, PG,则四边形OBCD为正方形,
∴OA OB
=,∴OG AB
⊥.
又PA PB
=，∴PG AB
⊥,
又OG PG G
⋂=
∴AB⊥平面POG,
又PO⊂平面POG
∴AB PO
⊥。

∵PA PD =， ∴PO AD ⊥. 又AB AD A ⋂=， ∴PO ⊥平面ABCD 。

又PO ⊂平面PAD ,
∴平面PAD ⊥平面ABCD 。

令1OA OB OD ===，则()0,0,1P ， ()1,0,0B ， ()1,1,0C , ()0,1,0D , ∴()1,0,1PB =-, ()0,1,1PD =-, ()1,0,0CD =-. 设平面PBD 的一个法向量为()1111,,n x y z =, 由11,{
,
n PB n PD ⊥⊥，得1111110,{
0,
n PB x z n PD y z ⋅=-=⋅=-=，取11x =,得()11,1,1n =．
又设平面PCD 的法向量为()2222,,n x y z =, 由22,{
,
n CD n PD ⊥⊥得222220,{
0,
n CD x n PD y z ⋅=-=⋅=-=,取21y =，得()20,1,1n =，
∴121212
06
cos ,32
n n n n n n ⋅+=
=
=⋅⋅, 由图形得二面角B PD C --为锐角,
∴二面角B PD C
--的余弦值为
6 3
.
点睛:利用坐标法解决空间角问题的步骤及注意点
(1)解题步骤:证明存在两两垂直的三条直线，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,求出平面的法向量,根据向量的数量积求得两法向量夹角的余弦。

(2)注意事项:解题时分清两法向量的夹角与二面角大小的关系,在求得法向量夹角余弦的基础上,要结合图形判断二面角为锐角还是钝角，最后得到结论。

９．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形, //
AB CD, 0
60
DAB
∠=, FC⊥平面ABCD，AE BD
⊥, CB CD CF
==．
(1）求证：BD⊥平面AED；
（２)求二面角F BD C
--的余弦值.
【答案】(１)证明见解析；(2)
5 5
试
题解析:(1)因为四边形ABCD 是等腰梯形, //AB CD ，
060DAB ∠=，所以0120ADC BCD ∠=∠=。

又CB CD =,所以030CDB ∠=， 因此090ADB ∠=， AD BD ⊥,
又AE BD ⊥，且AE AD A ⋂=, ,AE AD ⊂平面AED , 所以BD ⊥平面AED 。

设
平面BDF 的法向量为(
)
3,1,1m =
由于33x z ==，取1z =,则(
)
3,1,1m =
,
由于()0,0,1CF =是平面BDC 的一个法向量，则15cos ,5
m CF m CF m CF
⋅=
=
=⋅ 所以二面角F BD C --5
解法二：如图，取BD的中点G,连接,
CG FG 由于CB CD
=,因此CG BD
⊥，
又FC⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD,
所以FC BD
⊥，
又CB CF
=，所以225
GF CG CF CG
=+=，
故
5
cos
5
FGC
∠=,因此二面角F BD C
--的余弦值为
5
5
.
点睛:本题考查线面垂直的证明与二面角的余弦值的求法,解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及二面角的两种求法－向量法与几何法，本题是高中数学的典型题,也是高考中的热点题型,尤其是利用空间向量解决立体几何问题是近几年高考的必考题，学习时要好好把握向
量法的解题规律.
1０.如图,四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形,且平面ABCD ⊥平面CDEF ，
090BAD ∠=, //AB CD ， 1
2
AB AD DE CD ===
, M 是线段AE 上的动点。

(1）试确定点M 的位置,使//AC 平面DMF ，并说明理由;
(2）在（1)的条件下,求平面DMF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值。

【答案】(1）见解析(2)23
【解析】试题分析： ()1根据所给图形,得到当M 是线段AE 的中点时， AC 平面MDF ，连结CE ,交DF 于N ，连结MN ,利用三角形中位线定理能够证明//AC 平面DMF ；
()2过点D 作平面DMF 与平面ABCD 的交线l ,过点M 作MG AD ⊥于G ，过G 作GH l ⊥于H ,
连结MH ，由已知条件推导出MHG ∠是平面MDF 与平面ABCD 所成锐二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值.
(Ⅱ）过点Ｄ作平面DMF 与平面ABCD 的交线l ， ∵AC∥平面DMF ，∴AC∥l,
过点Ｍ作ＭG⊥AD 于G,
∵平面ＡBC Ｄ⊥平面ＣＤＥF ，DE⊥CD， ∴DE⊥平面ＡBCD ，∴平面A ＤE⊥平面A ＢCD, ∴ＭG⊥平面ABC Ｄ,
过Ｇ作GH⊥l 于Ｈ，连结ＭH ，则直线l⊥平面ＭGH ，∴l⊥MH， ∴∠MＨG 是平面ＭDF 与平面ABC Ｄ所成锐二面角的平面角. 设A Ｂ=2,则D Ｇ=1,GH=ＤGs ｉn∠GDH=ＤG ｓin∠ＤAC=1×=
,MG=
=1
∴cos∠MHG=
=,
∴所求二面角的余弦值为．
１1．已知椭圆M 的与椭圆22
:195
x y N +
=有相同的焦点，且椭圆M 过点()0,2。

（１）求M 的长轴长；
（2）设直线2y x =+与M 交于,A B 两点(A 在B 的右侧）,O 为原点，求OA OB ⋅. 【答案】（１) 42;(2) 43
-.
【解析】试题分析:(1)根据题意,列出224,2a b b -==,求得a 的值，即可得到椭圆的长周长； （2)把直线的方程代入椭圆的方程,利用根与系数的关系得12,x x ,得,A B 的坐标,即可求解故OA OB ⋅。

（2)由2
2
2
2
{ 184y x x y b =++=,得2
380x x +=,解得12
80,3x x ==-,则()820,2,,33A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，
故43
OA OB ⋅=-。

12.已知圆C 过点
()0,1,
)
4,且圆心C 在y 轴上．
（1)求圆C 的标准方程.
（2)若过原点的直线l 与圆C 无交点，求直线l 斜率的取值范围. 【答案】(1）()2
234x y +-=
（2
)k <<
【解析】试题分析：（１)由于圆心在y 轴上,利用待定系数法可设标准方程为()2
22x y b γ+-=，将点代入方程可得方程组，解出方程组即可;（2）设直线的方程为y kx =,直线与圆无交点，等价于圆心到直线的距离大于半径，列出不等式即可．
试题解析:(1)∵圆心C 在y 轴上,∴可设的标准方程为()2
22x y b γ+-=, ∵圆C 过点(
)0,1和点
)4,∴()()2
2221{ 34b r b r
-=+-=，解得3
{ 2b γ==, ∴圆C 的标准方程为()2
234x y +-=．
（2）设过原点的直线l 的方程为y kx =,即0kx y -=, ∵l 与圆C 无交点,∴圆心()0,3到直线l 的距离大于
γ2
>
，解得k <<。

13．某综艺频道举行某个水上娱乐游戏,如图,固定在水面上点O 处的某种设备产生水波圈，水波圈生产t 秒时的半径r (单位: m )满足2343
r t =; AB 是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计,浮桥两端,A B 固定在水岸边.游戏规定:当点O 处刚产生水波圈时，游戏参与者(视为一个点）与此同时从浮桥的A 端跑向B 端;若该参与者通过浮桥AB 的过程中,从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,则认定该参与者在这个游戏中过关;否则认定在这个游戏中不过关，已知tan 2AOB ∠=-， 6OA m =，浮桥AB 的某个桥墩处点M 到直线,OA
OB 的距离分别为2m ,且4AM
m <,/s 的速度从浮桥A 端匀速跑到B 端． (1)求该游戏参与者从浮桥A 端跑到B 端所需的时间?
（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由。

【答案】（1)3s;(２）见解析。

试题解析:(1)建立如图所示的直角坐标系,则()
6,0
A，
直线OB的方程为20
x y
+=。

由
20,
{
23120
x y
x y
+=
+-=
解得
3,
{
6
x
y
=-
=
即()
3,6
B-。

所以()
2
2366313AB =
--+=．
所以,该游戏参与者从浮桥A 端跑到B 端所需的时间为
313
313
s =。

(2)在OAB ∆中， 213sin OAB ∠=
， 313
cos OAB ∠=. 设ts 时，该参与者位于点P ，则31361363P x t t =-=-, 213
132P y t t ==. 则ts 时，点P 坐标为()63,2t t -,其中03t ≤≤．
()()2
2
22632133636OP t t t t =-+=-+， 22
43
r t =
． 令()22324133
f t r OP t t =-=- ()363603t t +-≤≤， 则()242636f t t t =-+'= ()()2429t t --
()0,2t ∈时()0f t '>, ()f t 在()0,2上为增函数, ()2,3t ∈时()0f t '<, ()f t 在()2,3上为减函数，
故当2t s =时, ()f t 取得最大值()2f . 由于()16
203
f =-
<，所以[]0,3t ∈时, r OP <恒成立. 即该游戏参与者通过浮桥AB 的过程中,从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,所以该参与者在这个游戏中过关．
点晴:本题考查的是函数模型的应用。

解决函数模型应用的解答题,要注意以下几点：①读懂实际背景,将实际问题转化为函数模型.②对涉及的相关公式,记忆要准确.③在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确地求解．
14．已知函数()()e x f x x a =+,其中e 是自然数的底数, a R ∈. (Ⅰ）求实数()f x 的单调区间.
(Ⅱ）当1a <时,试确定函数()()2g x f x a x =--的零点个数,并说明理由． 【答案】（Ⅰ)单调递增区间()2,a -+∞；单调递减区间(),2a -∞-(Ⅱ)一个零点
试
题解析:
(Ⅰ)∵()()e x f x x a =+， ()()2x f x e x a ='+， 令()0f x '>,解出2x a >-, ()0f x '<，解出2x a <-,
∴()f x 的单调递减区间为(),2a -∞-， 单调递增区间为()2,a -+∞. （Ⅱ)()2e x a g x x x -=-
()
e x a x x -=-，
当0x =时, ()00g =,
现考虑函数e x a y x -=-的零点,令x a t -=，则x a t =+， 令()()e t h t t a =-+，考虑函数e t y =与y t a =+的交点, 当两者只有一个交点时,(即两者相切),
e 1t =,解得0t =,此时1a =,
已知1a <，故函数e t y =与y t a =+无交点，
故只存在0x =一个零点．
点睛：本题考查了利用导数研究函数单调区间，研究函数零点问题，第二问中对
()()
2e e x a x a g x x x x x --=-=-进行这样处理,很容易确定一个零点0，考虑函数e x a y x -=-的零点
时使用换元法，简化函数式,很容易利用初等函数即可解决。

15．已知函数()21=ln 2
f x x a x -. (1）求函数()f x 的单调区间；
(２)设,k Z ∈当0x >,不等式()()()1ln 1220x x k x +++-+>恒成立,求k 的最大值。

【答案】(1） 当0a ≤时,在()0,+∞上, ()f x 单调递增.当0a >时,在()
0,a 上, ()f x 单调递减；在
(
)
,a +∞上, ()f x 单调递增。

(2)4
试
题解析：
（1)函数()f x 定义域为()0,+∞, ()2/
a x a
f x x x x
-=-=,
当0a ≤时,在()0,+∞上， ()()/0,f x f x >单调递增; 当0a >时,在(a 上, ()()/0,f x f x <单调递减；在
)
,a +∞上， ()()/0,f x f x >单调递增;
综上所述:当0a ≤时,在()0,+∞上， ()f x 单调递增。

当0a >时,在(
a 上, ()f x 单调递减；在
)
,a +∞上, ()f x 单调递增.
()31ln40h =-< (),42ln50h =->,
所以存在()03,4x ∈， 使得()00h x =.即()002ln 10x x --+=．
在()00,x 上, ()0g x '<, ()g x 单调递减,在()0,x +∞上, ()0g x '>, ()g x 单调递增. 所以()()()()
()
()
00000min 0
21221ln 122x x x x g x g x x x ++-+++==+=
+。

= ()014,5x +∈
求k 的最大值为4。

16.已知函数()()2232ln 42
f x x x x x x =--+。

（１）若()f x 在(),1a a +上递增，求a 的取值范围; （2)证明： ()'24f x x >-.
【答案】(1)0a =或a e ≥。

(2)证明见解析。

【解析】试题分析： ()1求导得()()()'22ln 1f x x x =--,令导函数等于零求得极值点，给出单调增区间，进而求得范围（2）分类讨论不同取值范围内不等式成立，当1
2
x >
时显然成立，当1
02
x <≤
时去绝对值利用导数证明
(2)证明：当1
2
x >时， ()240,'24x f x x --显然成立 当1
02
x <≤
时， ()()()()()'2422ln 124g x f x x x x x =--=---+, ()2'2ln 4g x x x =-
+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
上递增，且11'2ln 442ln2022g ⎛⎫
=-+=-< ⎪⎝⎭ ∴()'0g x <，从而()g x 在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦上递减，
∴()min 11ln202g x g ⎛⎫
==+> ⎪⎝⎭
,
∴()0g x >,即()'24f x x >- 综上， ()'24f x x >-。

点睛:本题考查了运用导数求增区间时参量的范围以及证明不等式恒成立问题,在遇到绝对值问题时要分类讨论去绝对值,然后给出新函数,利用导数求得单调性,从而证明不等式恒成立 1７．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标
方程为cos 13πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭, ,M N 分别为C 与x 轴, y 轴的交点.
(1)写出C 的直角坐标方程,并求,M N 的极坐标; （2)设MN 的中点为P ,求直线OP 的极坐标方程． 【答案】(1)答案见解析；(2) (),,6
π
θρ=
∈-∞+∞．
【解析】试题分析：(1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C 的极坐标方程的左式,再利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用cos x ρθ=， sin y ρθ=， 222x y ρ=+,进行代换即得．(2）先在直角坐标系中算出中点P 的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线
OP 的极坐标方程即可．
（2)M 点的直角坐标为()2,0， N 点的直角坐标为30,3⎛ ⎝⎭,
∴P 点的直角坐标为3⎛ ⎝⎭，则P 点的极坐标为236π⎫⎪⎪⎝⎭
，
∴ 直线OP 的极坐标方程为(),,6
π
θρ=
∈-∞+∞.
18.选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为3,
{
( 1,
x t t y t =-=+为参数)。

在以坐标原点为极点, x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线:22cos .4C πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
(Ⅰ） 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ） 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值。

【答案】（1) 40x y +-= ()()2
2
112x y -+-= (２) 22【解析】试题分析:（Ⅰ)消去t 得直线l 的普通方程，利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得到曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ）曲线C 上的点为()
12cos ,12sin P αα++，点P 到直线l 的距离为2sin 2
42
d πα⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭=,当
sin 14πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时即可得最大值。

将222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==代入上式,
得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+, 即()()2
2
112x y -+-=。

(Ⅱ)设曲线C 上的点为()
12cos ,12sin P αα++, 则点P 到直线l 的距离为
()2sin 212cos 12sin 4
2sin cos 24.2
22
d πααααα⎛
⎫+- ⎪+++-+-⎝⎭=
=
=
当sin 14πα⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时， max 22d =，
所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为22 19.选修4-５:不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-．
(１）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
(2)若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．
【答案】(1）][(),43,-∞-⋃+∞(2)[]2,0-
【解析】试题分析:(１)先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解集,最后求并集(２）先在[]0,2x ∈时化简不等式2x a +≤,即得[]2,2a a ---,最后根据集合包含关系确定a 的取值范围.
试题解析:(1)当3a =时， ()21,3,{5,32, 21,2,
x x f x x x x --≤-=-<<+≥
当3x ≤-时，由()7f x ≥，得217x --≥,解得4x ≤-; 当32x -<<时, ()7f x ≥无解;
当2x ≥时，由()7f x ≥,得217x +≥,解得3x ≥ 所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-⋃+∞.
点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
20．选修４—５：不等式选讲
已知函数()1f x x =+， ()2g x x a =+。

（１)当0a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集;
(2)若存在实数x ，使得()()g x f x ≤成立,求实数a 的取值范围。

【答案】（1） 1| 1 3x x ⎧⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
;(2) (],1-∞．
【解析】试题分析:（1）当0a =时,由题意得12x x +≥,两边平方,即可求解不等式的解集； （2)由()()g x f x ≤得12a x x ≤+-,令()12h x x x =+-，分类讨论取绝对值,得出分段函数，作出图象,即可求解函数的最大值，进而得到实数a 的取值范围。

（2)由()()g x f x ≤得12a x x ≤+-，令()12h x x x =+-,则()()
()11{31(10) 10x x h x x x x x -≤-=+-<<-+≥,作出函数
的图像,得()()max 01h x h == 从而实数a 的取值范围为(],1-∞
以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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