模块一、时间相同速度比等于路程比【直接打印】

模块一、时间相同速度比等于路程比
【例1】甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二
人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、 B 两地相距多少千
米？
【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙
两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了45
31
77
⨯=个全程，与第一次相遇地
点的距离为542
(1)
777
--=个全程．所以A、B两地相距
2
30105
7
÷=(千米)．
【例2】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，
于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，
丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少
时间。

【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：
10分钟
因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：
（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的
信
5分钟5分钟
10分钟
当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分
钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，
换回乙应该送的信
在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），
此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟
所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
（2）同理先追及甲需要时间为120分钟
【例3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后
在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相
等，问A、B两点相距多少米？
【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3
=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，
相遇时甲走了全程的4
7
，乙走了全程的
3
7
．第二次甲停留，乙没有停留，且前后
两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的4
7
，甲行了全程的
3
7
．由
于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙
走了33
74
⨯，所以甲停留期间乙行了
4331
7744
-⨯=，所以A、B两点的距离为1
607=1680
4
⨯÷(米)．
【例4】甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达 B 地
时，乙离A地还有10 千米．那么A、B 两地相距多少千米？
【解析】两车相遇时甲走了全程的5
9
，乙走了全程的
4
9
，之后甲的速度减少20%，乙的速
度增加20%，此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6
⨯-⨯+=，所以甲
到达 B 地时，乙又走了468
9515
⨯=，距离A地
581
91545
-=，所以A、B 两地
的距离为
1
10450
45
÷=(千米)．
【例5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离
还是l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地．小张是早
晨几点出发？
【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是l5 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张15 千米，
下午 3 点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30 千米．由下
午 3 点开始计算，小王再有1 小时就可走完全程，在这1 小时当中，小王比小
张多走30 千米，那小张3 小时走了15 30 45=+千米，故小张的速度是45 ÷3
=15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是45 ×3 =135千米，小张
走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午10 点出发的。

【例6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。

其中下坡路与上坡路的距离相等。

陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一
小时比第二小时多走15 千米，第二小时比第三小时多走25 千米。

如果汽车走
上坡路比走平路每小时慢30 千米，走下坡路比走平路每小时快15 千米。

那么
甲乙两地相距多少千米？
【解析】⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说
走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更
快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，
而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为525306÷=
小时，其余的16小时在走上坡路；
因为第一小时比第二小时多走了15千米，而6
1小时的下坡路比上坡路要多走()130157.56
+⨯
=千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为()1157.5152-÷=小时，所以在第一小时中，有112263+=小时是在下坡路上走的，剩余的
3
1小时是在平路上走的． 因此，陈明走下坡路用了32小时，走平路用了157366+=小时，走上坡路用了17166
+=小时． ⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是27:4:736=．那么下坡路的速度为()7301510574
+⨯=-千米/时，平路的速度是每小时1051590-=千米，上坡路的速度是每小时903060-=千米． 那么甲、乙两地相距2771059060245366
⨯+⨯+⨯=(千米)．
模块二、路程相同速度比等于时间的反比
【例 7】 甲、乙两人同时从A 地出发到B 地，经过3小时，甲先到B 地，乙还需要1小时
到达B 地，此时甲、乙共行了35千米．求A ，B 两地间的距离．
【分析】 甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为4:3，那么在3
小时内的路程之比也是4:3；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为
4352034
⨯=+千米，即A ，B 两地间的距离为20千米．
【例 8】 上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去
A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从
B 地出发时是 8 点几分．
【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分
钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10× 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分．
【例 9】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下
坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？
【解析】 设小芳上学路上所用时间为 2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是51 1.68÷=，因此，走上坡路需要的时间是511288-=，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为111:8:118=，所以，上坡速度是平路速度的811倍．
【例 10】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的35
时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？
【分析】 当以原速行驶到全程的35时，总时间也用了35，所以还剩下350(1)205⨯-=分钟的路程；修理完毕时还剩下20515-=分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:154:3=，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与
预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比原来快47507502503
⨯-=米． 小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计
算比原来快多少，但不如采用比例法简便．
【例 11】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结
果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提
高1/6，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用
时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：
5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．
【例 12】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高 20%可以提前1小时到达．如果按原
速行驶一段距离后，再将速度提高 30% ，也可以提前1小时到达，那么按原速
行驶了全部路程的几分之几？
【解析】 车速提高 20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为
51(1)66
÷-=小时；如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为
1011(1)4133÷-
=小时．所以前面按原速度行使的时间为156433
-=小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的556318÷=
【例 13】 一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；
如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米？
【分析】 车速提高20%，速度比为5:6，路程一定的情况下，时间比应为6:5，所以以原速度行完全程的时间为65166
-÷=小时． 以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4:5，所用时间比应为5:4，提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要4054106053-÷=小时，所以以原速行驶120千米所用的时间为108633
-=小时，甲、乙两地的距离为812062703
÷⨯=千米．
【例 14】 甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程．乙火车上午8:00从B 站
开往A 站，开出若干分钟后，甲火车从A 站出发开往B 站．上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A 、B 两站的距离的比是15:16．甲火车从A 站发车的时间是几点几分？
［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知．由此可以
求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比．
根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5:4．
从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:415:12=，而相遇点距A 、B 两站的距离的比是15:16．说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小
时所走路程的()11612164
-÷=．也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15分钟．所以甲火车从A 站发车的时间是8点15分．
模块三、比例综合题
【例 15】 小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，
决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？
【解析】 小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度
比为100:9010:9=；那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了91109910
⨯=米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点．
【例 16】 甲、乙两人同时从 A 地出发到 B 地，经过 3 小时，甲先到 B 地，乙还需要 1
小时到达 B 地，此时甲、乙共行了 35 千米．求 A ， B 两地间的距离．
【解析】 甲、乙两个人同时从A 地到B 地，所经过的路程是固定
所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）
两个人速度比为：甲：乙=4：3
当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，
所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A 、B 两地间距离为20千米
【例 17】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小
时到达甲于45分钟前曾到过的地方．此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？
［分析］根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙
的速度之比为2:2.258:9=，乙的速度是甲的速度的1.125倍；
乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.754:5=．加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；
由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为()500 1.25 1.1254000÷-=米/小时．
【例 18】 甲、乙两人分别骑车从A 地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12 分钟
后丙也骑车从A 地出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？
丙
［分析］ 丙的速度为7.5215⨯=千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了
1215360
⨯=千米后与甲、乙同时出发． 如图所示，相当于甲、乙从A ，丙从B 同时出发，丙在C 处追上甲，此时乙走到D 处，然后丙掉头走了3千米在E 处和乙相遇．
从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了32 1.5÷=千米，故CD 为4.5千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了3 4.57.5+=千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了7.5 4.512+=千米，因此速度为12112÷=(千米/小时)．
【例 19】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度
都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。

两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。

那么甲回到出发点共用多少小时？
【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，
说明甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍，
就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。

两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小
时，所以甲下山要用1/2 小时。

甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）
课后作业
练习1. 甲、乙两车分别从 A 、B 两地出发，在 A 、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的37
，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A 、B 两地之间的距离等于多少 千米？
【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程
中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.
练习2. 甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2，
他们第一次相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B 地时，乙离A 地还有14千米，那么A 、B 两地的距离是多少千米？
【分析】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之
比也为3:2，
相遇后，甲、乙两人的速度比为()()3120%:2130% 3.6:2.618:13⨯+⨯+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；到达B 地时，即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是18:13，即乙的路程为13421189
⨯=．乙从相遇后到达A 还要行3份的路程，还剩下4531199
-=(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是514199
÷=(千米)． A 、B 两地有这样的325+=(份)，
因此A 、B 两地的总路程为：()93245⨯+=(千米)．
练习3. 小明和小刚进行100米短跑比赛(假定二人的速度均保持不变)．当小刚跑了90米
时，小明距离终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？
【分析】当小刚跑了90米时，小明跑了1002575-=米，在相同时间里，两人的速度之比等
于相应的路程之比，为90:756:5=；在小刚跑完剩下的1009010-=米时，两人经过的时间相同，所以两人的路程之比等于相应的速度之比6:5，则可知小明这段时间内跑了5251063⨯=米，还剩下255022516333
-==米．
练习4. 客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3小时后客车到达甲地，货车离
乙地还有22千米，已知货车与客车的速度比为5:6，甲、乙两地相距多少千米？
【分析】 货车与客车速度比5:6，相同时间内所行路程的比也为5:6，那么客车走的路程为
65221326
-÷=(千米)，为全程的一半，所以全程是1322264⨯=(千米)．
练习5. 甲、乙两人从A ，B 两地同时出发，相向而行．甲走到全程的511
的地方与乙相遇．已
知甲每小时走4.5千米，乙每小时走全程的1
3
．求A，B之间的路程．
【分析】相同的时间内，甲、乙路程之比为()
5:1155:6
-=，因此甲、乙的速度比也为5:6，
所以乙的速度为
6
4.5
5.4
5
⨯=千米/时．两地之间的路程为：
1
5.411
6.2
3
⨯÷=千米．。