1.发电机端电压为，电流为，内电势为，xd和xq已知，试推导发电机输出

1. 发电机端电压为U ，电流为I ，内电势为q q
E E δ=∠ ，x d 和x q 已知，试推导发电机输出有功功率P e 、无功功率Q e 与δ之间的关系表达式。

解： U d =U sin δ, U q =U cos δ
I d = (E q -U q )/x d , I q = U d /x q
S e =(U d +j U q )*(I d -j I q ), P e =U d I d +U q I q , Q e =U q I d -U d I q 对于隐极机：
2
q q e e d
d
d
sin ,
cos E U E U U P Q x x x δδ=
=
-
对于凸极机： 2q d q
e d d q
22q d q d q
e d d q d q 22q 2
d
q d
sin sin 22cos cos 222sin cos cos ()
E U x x U P x x x E U x x x x U U Q x x x x x E U U x x x δδ
δδδδ
δ-=+-+=+-
=-+ 2. 电路如下图，图中参数都为标么值，求1点的电压和功率。

（电压计算中忽略横向分量）
U 2S ' S S '
解： 33333310.060.750.08
0.1280.935
P R Q X U U +⨯+⨯∆===
2222
3333322
310.75()(0.060.08)0.1070.1430.935z P Q S R jX j j U ++∆=+=⨯+=+
2333
330.9350.128 1.063
1.1070.893z U U U S S S j =+∆=+=⎧⎪∴⎨'=+∆=+⎪⎩
2*2323
1.063(0.010.04)0.0110.045Y S U Y j j ∆==⨯+=+
2*2222 1.0630.090.102Y S U Y j j ∆==-⨯=-
2332
1.1180.836Y Y S S S S j '∴=+∆+∆=+ 212122 1.1180.030.8360.040.0631.036
P R Q X U U +⨯+⨯∆=
==
2222
222`112
2
2 1.1180.836()(0.030.04)0.0520.0691.063z P Q S R jX j j U ++∆=+=⨯+=+ 122122
1.0630.063 1.126
1.170.905z U U U S S S j =+∆=+=⎧⎪∴⎨
'=+∆=+⎪⎩ 2*2111 1.0630.090.114Y S U Y j j ∆==-⨯=- 111
1.170.791Y S S S j '∴=+∆=+ 综上所述，有
11 1.1261.170.791
U S j =⎧⎪
⎨=+⎪⎩
3. 图1示出3节点电力系统，其中，节点1是平衡节点（U 1=1, θ1=0），节点2是PV 节点（P 2=0.7，U 2=1.05），节点3是PQ 节点（P 3= -2.8，Q 3= -1.2），各线路的阻抗值为j0.1，忽略对地支路。

试采用牛顿-拉夫逊算法，进行潮流计算（求出状态变量x 的第一次修正量Δx (0)即可）。

2
1
图 3节点电力系统
解：
(1) 列出系统的节点导纳矩阵。

线路i -j 的导纳Y i-j 等于其阻抗Z i-j 的倒数，该系统中各线路的阻抗Z i-j = j0.1，
则Y i-j = - j10；任一节点i 的自导纳Y ii 等于与其相连的各支路的导纳之和，包括该节点的对地支路，例如，忽略对地支路，该系统节点1的自导纳Y 11 =Y 1-2+ Y 1-3 = - j20；两个节点i 与j 的互导纳Y ij 等于直接连接i 与 j 的支路导纳的负数，例如，节点1和2的互导纳Y 12 = -Y 1-2 = j10。

j20j 10
j 10j 10j20j 10j 10j 10j20-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
Y
(2) 列出待求的状态变量。

潮流计算直接求出系统的状态变量，即平衡节点之外各节点的电压相角与模值，
然后可以由状态变量的值进一步求出各线路的功率等。

该系统中节点1是平衡节点，节点2的电压模值给定，待求的状态变量为节点2的电压相角以及节点3的电压相角与模值：
233U θθ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x
(3) 列写潮流方程
2222222
2121212222222323232323(cos sin )
sin()sin()sin() 10.5sin 10.5sin()j j j j j j P U U G B U U B U U B U U B U θθθθθθθθθθθ∈=+=-+-+-=+-∑ 3333333
31313132233233333333332(cos sin )
sin()sin()sin() 10sin 10.5sin()
j j j j j j P U U G B U U B U U B U U B U U θθθθθθθθθθθ∈=+=-+-+-=+-∑
3333333
2313131322332333332333323(sin cos )
cos()cos()cos() 10cos 10.5cos()20j j j j j j Q U U G B U U B U U B U B U U U θθθθθθθθθθθ∈=-=------=---+∑ 222s P P P ∆=-
333s
P P P ∆=-
333s Q Q Q ∆=-
(4) 形成雅可比矩阵。

222
3233
33332333333233 P P P U U P P P U U Q Q Q U U θθθθθθ⎡⎤∂∆∂∆∂∆⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∆∂∆∂∆=⎢⎥∂∂∂⎢⎥
⎢⎥∂∆∂∆∂∆⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦
J
其中：
2
21212123232322323cos()cos() 10.5cos 10.5cos()
P U U B U U B U θθθθθθθθ∂∆=----∂=---
2
2323233
323cos()
10.5cos()P U U B U θθθθθ∂∆=-∂=- 2
32323233
323sin()
10.5sin()P U U U B U U θθθθ∂∆=--∂=-- 3
3232322
332cos()
10.5cos()
P U U B U θθθθθ∂∆=-∂=- 3
3131313232323
33332cos()cos()
10cos 10.5cos()
P U U B U U B U U θθθθθθθθ∂∆=----∂=--- 3
33131313232323
33332sin()sin()
10sin 10.5sin()P U U U B U U B U U U θθθθθθθ∂∆=----∂=--- 3
3232322
332sin()
10.5sin()
Q U U B U θθθθθ∂∆=-∂=- 3
3131313232323
33332sin()sin()
10sin 10.5sin()
Q U U B U U B U U θθθθθθθθ∂∆=----∂=--- 2
3
3313131323232332
333323cos()cos()40 10cos 10.5cos()40Q U U U B U U B U U U U U θθθθθθθ∂∆=-+--∂=+-- (5) 假设待求状态变量的初始值。

采用平启动，即：
(0)
001⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x (6) 计算节点功率注入偏差的初始值
(0)
(0)2223333330.700.72.80 2.81.20.50.7s s s P P P P P P Q Q Q ⎡⎤∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦ (7) 计算雅可比矩阵J (0)
及其逆[J (0)]-1。

（提示：该雅可比矩阵的阶数较小，可以采用基于伴随矩阵的方法求
逆，具体的步骤请参考《线性代数》相关内容）。

(0)
2110.5010.520.500019.5-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
J (0)10.0640.0328
0[]0.03280.06560000.0513---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
J
(8) 计算待求状态变量的修正量Δx (0)：
(0)
(0)
221(0)
(0)
33333 0.0640.0328
00.70.0470.03280.06560 2.80.1607000.05130.70.0359P P U U Q θθ-∆∆⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤∆=∆=-∆⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
x J
针对3节点系统，试采用快速解耦法，进行潮流计算（求出状态变量x 的第一次修正量Δx (0)即可）。

解：
(1) 列出系统的节点导纳矩阵：
j20j 10j 10j 10j20j 10j 10j 10j20-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
Y (2) 列出待求的状态变量：
233U θθ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
x
(3) 列写潮流方程：
2222222
2121212323232323(cos sin )
sin()sin() 10.5sin 10.5sin()j j j j j j P U U G B U U B U U B U θθθθθθθθθ∈=+=-+-=+-∑ 3333333
31313132233233332(cos sin )
sin()sin() 10sin 10.5sin()
j j j j j j P U U G B U U B U U B U U θθθθθθθθθ∈=+=-+-=+-∑ 3333333
231313132233233333233323(sin cos )
cos()cos()cos() 10cos 10.5cos()20j j j j j j Q U U G B U U B U U B U B U U θθθθθθθθθθθ∈=-=------=---+∑ 222s P P P ∆=-
333s
P P P ∆=-
333s Q Q Q ∆=-
(4) 计算修正方程式中的系数矩阵B '和B "及其逆B '-1和B "-1：
2223
323320101020B B B B ''-⎡⎤⎡⎤'==⎢⎥⎢⎥''-⎣⎦
⎣⎦B 10.06670.03330.03330.0667-⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦
B 33
[]20B ''''==B 10.05-''=B
(5) 计算节点功率注入偏差的初始值：
(0)
(0)
2223333330.700.72.80 2.81.20.50.7s s s P P P P P P Q Q Q ⎡⎤∆⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆---⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ (6) 计算待求状态变量的修正量Δx (0)
：
(0)
2(0)
2213330.70.06670.03330.04891.050.03330.06670.16442.81P U P U θθ-∆⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥'
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
B []
(0)
(0)
13330.7
0.050.0351
Q U U -⎡⎤
∆-''∆==⨯
=-⎢⎥
⎣⎦
B (0)
2(0)
330.04890.16440.035U θθ∆-⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∆=∆=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆-⎣⎦⎣⎦
x
4. 下图所示的电网中，f 点三相短路时，发电机端母线电压保持6.3kV 不变。

r 1，x 1分别为电抗器的电阻
和电抗，r 1=0.042Ω，x 1=0.693Ω，r 2，x 2分别为电缆的电阻和电抗，r 2=0.463Ω, x 2=0.104Ω。

若6.3kV 母线的三相电压为：
(
)(
)()
a s
b s
c s 6.3cos 6.3cos 1206.3cos 120u t u t u t ωαωαωα=+=+-=++ 在空载情况下，f 点突然三相短路。

设突然短路时α=30°，试计算： (1) 电缆中流过的短路电流交流分量幅值。

(2) 电缆中三相短路电流表达式。

(3) 三相中哪一相的瞬时电流最大，并计算其近似值。

(4) α为多少度时，a 相的最大瞬时电流即为冲击电流。

解：r 1, x 1分别为电抗器的电阻和电抗，r 1=0.042Ω
, 140.693100x =
=Ω r 2, x 2分别为电缆的电阻和电抗，r 2=0.463Ω, x 2=0.104Ω 令r = r 1+ r 2=0.505Ω, x = x 1+ x 2=0.797Ω
令0.943arctan()57.64x z r
ϕ==Ω
==
(1)
三相短路电流交流分量的幅值为：9.45kA m I == (2) 直流分量衰减时间常数为：/0.7970.005s 3140.505
a L x T R r ω=
===⨯ 由于短路前线路处于空载，则短路前瞬间线路电流为0，则每条电缆中三相短路电流的表达式为：
()()()()()()()()a m m 0.005
0.005
b 0.005
c cos 0cos 9.45cos 27.649.45cos 27.649.45cos 147.649.45cos 147.649.45cos 92.369.45cos 92.36a t
T s t s t s t s i I t I e
t e
i t e i t e
ωαϕαϕωωω--
-
-
=+-+--⎡⎤⎣⎦=---=---=--
(3) 直流分量值越大，短路电流瞬时值越大，且任意初相角下总有一相直流分量起始值最大。

由步骤(2)
可知，cos(−27.64°)>cos(−147.64°)>cos(92.36°)，a 相的直流分量最大，大约在短路发生半个周波之后，a 相电流瞬时值将到达最大值，即
()()0.01
0.005
a 9.45cos 3140.0127.649.45cos 27.649.5304kA i e
-=⨯---=-
同理可以写出i b , i c ，并进行比较验证：
()()0.010.005
b 9.45cos 3140.01147.649.45cos 147.649.0624kA i e
-=⨯---=
()()0.010.005
c 9.45cos 3140.0192.369.45cos 92.360.4418kA i e
-
=⨯+-=
(4) 在短路前空载情况下，有步骤(2)所列的各相短路电流表达式可知：若初相角|α−φ|等于0°或是180°
时，a 相短路电流直流分量起始值达到最大，短路电流最大瞬时值也最大。

由于φ=57.64°，则α=φ=57.64°或α=−180+φ=122.36°。

带入步骤(2) i a , i b , i c 的表达式中进行验证： ()()()()()()()()0.01
0.005
a 0.010.005
b 0.010.005
c 0.01s 9.45cos 3140.0109.4510.7286kA
0.01s 9.45cos 3140.011209.45cos 120 5.3643kA 0.01s 9.45cos 3140.011209.45cos 120 5.3643kA
i t e
i t e i t e
---
==⨯+-===⨯---===⨯+-=
5. 一发电机、变压器组的高压侧断路器处于断开状态，发电机空载运行，其端电压为额定电压。

试计算变
压器高压侧突然三相短路后短路电流交流分量初始值I ''m 。

发电机：S N =200MW ，U N =13.8kV ，cos φN =0.9，x d =0.92，x 'd =0.32，x ''d =0.20 变压器：S N =200MV A ，220kV/13.8kV ，U s(%)=13
解：取S B =100MV A ，U B1取为13.8kV ，则U B2=13.8⨯(220/13.8)=220kV
1 4.18kA B I ===
20.26kA B I =
=
=
2
1*211100
0.20.092000.9N B d d N B U S x x S U ''''=⨯⨯=⨯=
2
2*
222%1000.130.054167100240
s N B T N B U U S x S U =⨯⨯=⨯= 设发电机端电压为|0|10U =∠ ，由于短路发生前发电机处于空载，故|0||0|
10q E U ==∠ 。

短路后短路电流交流分量初始值为：|0|m
**1
6.930.090.054167
q d
T E I x x '==
='++；
发电机极端短路电流交流分量初始值为：6.93 4.1840kA ⨯；
变压器高压侧短路电流交流分量初始值为：6.930.26 2.57kA ⨯=。

6. 下图示出系统中节点f 的b 、c 相各经阻抗Z f 后短路接地，试给出边界条件及复合序网。

a b c
f
解： (1) 以相电压、相电流表示的边界条件：
fa fb f fb fc f fc 0,,I u Z I u Z I ===
(2) 以序分量表示的边界条件：
fa fa(1)fa(2)fa(0)I I I I =++
(1) ()22fb f b fa(1)fa(2)fa(0)f fa(1)fa(2)fa(0)u Z I u u u Z I I I αααα==++=++ (2)
()22fc f c fa(1)fa(2)fa(0)f fa(1)fa(2)fa(0)u Z I u u u Z I I I αααα==++=++
(3)
对式(2)、(3)化简后得：
式(2)+式(3)得：
()f (1)f (2)f (0)f f (1)f (2)f (0)22u u u Z I I I --+=--+
(4)
式(2)−式(3)得：
()fa(1)fa(2)f fa(1)fa(2)u u Z I I -=-
(5)
式(4)+式(5)得：
()fa(2)fa(0)f fa(2)fa(0)u u Z I I -+=-+ (6)
对式(5)、(6)进行整理得： fa(1)f fa(1)fa(2)f fa(2)u Z I u Z I -=- (7)
fa(2)f fa(2)fa(0)f fa(0)u Z I u Z I -=-
(8)
(3) 综合式(1)、(7)、(8)可知：系统的三个序网在故障点并联。

如图所示：
u
7. 下图示出系统中节点f 处不对称的情形，若已知x f =1，u f(0)=1，由f 点看入系统的x ∑(1)= x ∑(2)= x ∑(0)=1。

系统内无中性点接地。

试计算fa I
、fb I 、fc
I 。

c b a
解：由题意知：系统发生a 相金属性接地短路。

于是，用相电压和相电流表示的边界条件为：
a b c U I I =⎧⎨
==⎩ 转化为序分量表示的边界条件为：
120120
a a a a a a U U U I I I ++=⎧⎨
==⎩ 故系统的三个序网在故障点串联，如图所示：
u
系统的正序阻抗为：'
(1)(1)f //0.5X X X ∑∑== 系统的负序阻抗为：'(2)(1)f //0.5X X X ∑∑==
由于从f 点看入系统时，除负荷点f 中性点接地，无其它中性点，则系统的零序阻抗
为:'
(0)f 1.0X X ∑==。

于是，a 相序电流为：
()
f (0)
fa(1)fa(2)fa(0)
'
''(1)
(2)
(0)
1
j0.5j2
j u I I I X
X
X
∑∑∑====
=-++ 各相短路电流为：
fa fa(1)
3j 1.5I I ==- 2fb fa(1)fa(2)fa(0)0I I I I αα=++= 2fb fa(1)fa(2)fa(0)
0I I I I αα=++= 8. 如图系统中K 点发生两相（b ，c 相）短路接地，取S B =100MV A ，试按照以下步骤求故障点的短路电流，并画出相量图。

(1) 求各元件的等值参数；
(2) 画出发生故障后系统的各序网络；
(3) 给出相电压和相电流表示的两相短路接地故障的边界条件，求出序分量表示的边界条件； (4) 画出复合序网，并按照边界条件连接起来； (5) 根据复合序网，求出a 相各序电流； (6) 根据对称分量法，求出各相电流； (7)
画出故障点处的电流相量图。

K (1, 1)
X
答：1）各元件的等值参数如下：
''
G*100
0.28*0.72738.5
B d N S X X S =⋅
== T*%10.5100*0.25910010040.5
k B N U S X S =
⋅== P*P 22
10046*0.348115B B S X X U =⋅
== 2）画出发生故障后系统的各序网络；
1
ka U 1
1
N
图1正序网络
2
ka U 2
2
N
图2负序网络
0ka U 0
N
图3零序网络
网络经化简得：(1)0.986Z j ∑=，(2)0.986Z j ∑=，(0) 1.303Z j ∑=
3）给出相电压和相电流表示的单相接地短路故障的边界条件；
00kb kc
ka
U U I ⎧==⎪⎨=⎪⎩
序分量表示的边界条件；
(1)(2)(0)
(1)(2)(0)0
ka ka ka ka ka ka U U U I I I ⎧==⎪⎨++=⎪⎩ 4）画出复合序网，并按照边界条件连接起来；
1
K 0
K Z 2
K
5）根据复合序网，求出a 相各序电流；
''1
(1)(2)(0)
2120
2
01
20
1
0.646
//0.9860.986*1.303/(0.986 1.303)
*0.646*1.303/(0.986 1.303)0.368
*0.646*0.986/(0.986 1.303)0.278
ka a ka ka a a a ka ka a a E
I j
j Z Z Z Z I I j j Z Z Z I I j j Z Z ∑∑∑∑∑∑∑∑∑==-=-+++=-=+=+=-=+=+
6）根据对称分量法，求出故障点的各相电流；
2120
21
2
0.6348 + j0.2505-0.6348 + j0.2505
kb ka ka ka kc
ka ka ka I I I I I I I I αααα=++==++=
7）画出故障点处的电流相量图。

1
ka I I 0
kb I 0
kc I
9. 对于下图所示的简单电力系统，设无限大系统母线电压为1∠0︒。

如果发电机端电压为1.05时，发电机
向系统输送的功率为0.8，分别计算下列两种情况下的系统静态稳定储备系数。

(1) 若一回线路停运检修，运行参数（U 、G
U 、o P ）仍不变。

(2) 发电机为凸极机。

（x d =1.0，x q =0.8）。

其他情况仍不变。

d j 1.0
x =10=∠
解：(1) 首先计算G
U 的相角G δ：
G G E G T1L T2sin 1.05 1.0
sin 0.80.10.60.1
U U P x x x δδ⨯=
==++++
求得δG =37.56º 接着计算电流
G
T1L G2 1.0537.5610.8j0.20950.826914.67j()j(0.1+0.6+0.1)
U U I
x x x -∠-===+=∠++
再计算q
E ： q d j 10j0.826914.67(1.00.10.60.1)0.6231j 1.4399 1.568966.6015
E U Ix ∑
=+=∠+∠⨯+++=+=∠
计算功率极限P M ：
q M d 1.5689 1.0
0.87161.8
E U P x ∑
⨯=
=
=
计算静态稳定储备系数K p ：
M E P E 0.87160.8
100%100%8.95%0.8
P P K P --=
⨯=⨯= (2)可知：G
U 的相角为δG =22.4º，电流0.8 4.29I =∠ 。

则G
U 和I 之间的功率因数角φ=22.4°−4.29°=18.11°
Q q j 10j0.8 4.29(0.80.10.30.1)0.9222j 1.0371 1.387848.3557
E U Ix ∑
=+=∠+∠⨯+++=+=∠
则Q E 与G
U 之间的夹角（即功角）δ=48.3557°−22.4°=25.9557°
d sin()0.8sin(25.955718.11)0.5564I I δϕ=+=⨯+=
则
q Q d q d
j()1.387848.3557j(1.00.8)0.5564=0.9961+j1.12031=1.499148.3557E E x x I ∑∑=+-=∠+-⨯∠
q
q
)
x
-
或
q d d
cos(48.3557)
1cos(48.3557)0.5564(10.10.30.1)
1.4991
E U I x
∑
=+
=⨯+⨯+++
=
或
q G d
cos(25.9557)0.5564
1.05cos(25.9557)0.5564 1.0
1.5005
E U x
∑
=+
=⨯+⨯
=
2
q d q
E
d d q
sin sin2
2
1.4991111.5 1.3
sin sin2
1.521.5 1.3
sin0.0513sin2
E U x x
U
P
x x x
δδ
δδ
δδ
∑∑
∑∑∑
-
=+
⨯-
=+
⨯
=+
2
E
2
cos0.1026cos2cos0.1026(2cos1)
0.2052cos cos0.10260
P
δδδδ
δ
δδ
∂
=+=+-
∂
=+-=
解得：
cos0.100584.2305
δδ
=⇒=
M
sin(84.2305)0.0513sin(284.2305) 1.0052
P=+⨯=
M E
P
E
1.00520.8
100%100%25.65%
0.8
P P
K
P
--
=⨯=⨯=
10. 在第9题中，已知x'd=0.3，假设发电机E '=C，若在一回线路始端发生突然的三相短路，试计算线路极
限切除角度。

10=∠
解： 由例7-1知，G
1.052
2.4,0.8 4.29U I =∠=∠
d j 10j0.8 4.29(0.30.10.30.1)0.9521j0.6382 1.146233.8338
E U Ix ∑
''=+=∠+∠⨯+++=+=∠
正常运行时的功角：0E T 33.8338,0.8P P δ=== 由于线路始端发生三相短路，故P IIM =0 故障切除后，系统的功率极限为
IIIM III h 1.1462 1.0
1.04200.30.10.60.1
0.8
180arcsin 129.84731.0420
E U P x δ'⨯=
==+++=-=
极限切除角为
T h 0IIIm IIM 0
m IIIm IIM
()cos cos 0.8(129.847333.8338)180 1.0420cos(129.8472)
1.0420
0.6458
P P P P P δδδδπ-+-=
-⨯-⨯+=
= 故
m arccos(0.6458)49.7727δ==。