2020届北师大版九年级数学下册教案3.2 圆的对称性1

3.2 圆的对称性
1．理解圆的旋转不变性；(重点) 2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)
3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)
一、情境导入
我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB (阴影部分)绕点O 逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？
二、合作探究
探究点：圆心角、弧、弦之间的关系 【类型一】 利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等
如图，M 为⊙O 上一点，MA ︵＝MB ︵
，
MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，求证：MD ＝ME .
解析：连接MO ，根据等弧对等圆心角，则∠MOD ＝∠MOE ，再由角平分线的性质，得出MD ＝ME .
证明：连接MO ，∵ MA ︵＝MB ︵
，∴∠MOD
＝∠MOE ，又∵MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，∴MD ＝ME .
方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查
了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 利用圆心角、弧、弦之间
的关系证明弧相等
如图，在⊙O 中，AB 、CD 是直径，
CE ∥AB 且交圆于E ，求证：BD ︵＝BE ︵
.
解析：首先连接OE ，由CE ∥AB ，可证得∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E ，然后由OC ＝OE ，可得∠C ＝∠E ，继而证得∠DOB ＝∠BOE ，则可证得BD ︵＝BE ︵.
证明：连接OE ，∵CE ∥AB ，∴∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E .∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠E ，∴∠DOB ＝∠BOE ，∴BD ︵＝BE ︵
.
方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
【类型三】 综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算
如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，
∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E .求AD ︵ 、DE ︵的度数．
解析：连接CD ，由直角三角形的性质求出∠A 的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD 及∠DCE 的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD ︵、DE ︵的度数．
解：连接CD ，∵△ABC 是直角三角形，∠B ＝36°，∴∠A ＝90°－36°＝54°.∵
AC ＝DC ，∴∠ADC ＝∠A ＝54°，∴∠ACD ＝
180°－∠A －∠ADC ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－72°＝18°.∵∠ACD 、∠BCD 分别是AD ︵，DE ︵
所对的圆心角，∴AD ︵的度数为72°，DE ︵的度数为18°.
方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型四】 有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题
如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，
且与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，点P 是直线l 上的一个动点(与圆心O 不重合)，
直线CP 与⊙O 相交于点Q .是否存在点
P ，使得QP ＝QO ？若存在，求出相应的∠OCP
的大小；若不存在，请简要说明理由．
解析：点P 是直线l 上的一个动点，因而点P 与线段OA 有三种位置关系：点P 在
线段OA 上，点P 在OA 的延长线上，点P 在
OA 的反向延长线上．分这三种情况进行讨论
即可．
解：当点P 在线段OA 上(如图①)，在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCP .在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .又∵∠AOC ＝30°.∴∠QPO ＝∠OCP ＋∠AOC ＝∠OCP ＋30°.在△OPQ 中，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，即(∠OCP ＋30°)＋(∠OCP ＋30°)＋∠OCP ＝180°，整理得3∠OCP ＝120°，∴∠OCP ＝40°；
当P 在线段OA 的延长线上(如图②)，∵OC ＝OQ ，∴∠OQP ＝(180°－∠QOC )×1
2＝
90°－1
2∠QOC .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝(180°
－∠OQP )×12＝45°＋1
4∠QOC .在△OQP 中，
30°＋∠QOC ＋∠OQP ＋∠OPQ ＝180°，∴30°＋∠QOC ＋90°－12∠QOC ＋45°＋1
4
∠
QOC ＝180°，∴∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝
80°，∴∠OCP ＝100°；
当P 在线段OA 的反向延长线上(如图③)，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC ＝(180°－∠COQ )×12＝90°－1
2∠COQ .∵OQ ＝PQ ，∴
∠OPQ ＝∠POQ ＝12∠OQC ＝45°－1
4∠COQ .∵
∠AOC ＝30°，∴∠COQ ＋∠POQ ＝150°，∴∠COQ ＋45°－1
4∠COQ ＝150°，∴∠COQ ＝
140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)×1
2＝
20°.
方法总结：本题通过同圆的半径相等，将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想的运用．
三、板书设计
圆的对称性
1．圆心角、弧、弦之间的关系 2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题
本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.。