高中数学同步教学课件 等差数列前n项和公式的推导及简单应用

[跟踪训练] 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相 邻两棵树相距 10 m，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边， 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小， 此最小值为________m.
解析：假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列，使每位同学从各自树 坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项， 20 为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S＝9×20＋9×2 8×20＋10×20＋10×2 9×20＝2 000(m)． 答案：2 000
(2)由 an＝4n－32，得 an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以 an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
[母题探究] (变条件)将本例中“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝－2n2＋n＋2”， 如何求解下列问题？ (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？
[解] 从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时) 依次设为 a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且 a1＝24，公差 d＝－13. 25 辆翻斗车完成的工作量为： a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×－13＝500， 而需要完成的工作量为 24×20＝480. ∵500＞480 ，∴在 24 小时内能构筑成第二道防线．
3．公式 Sn＝na12＋an中涉及四个量：Sn，n，a1，an；公式 Sn＝na1 ＋nn－ 2 1d 中也涉及四个量：Sn，n，a1，d.结合等差数列{an}的通 项公式 an＝a1＋(n－1)d，对于等差数列中的五个量：Sn，n，a1， an，d，已知其中的三个量就可以求出另外的两个量． 4．等差数列{an}的求和公式 Sn＝na12＋an与梯形面积公式 S ＝ 梯形 上底＋下2 底×高类似，可对比记忆为上底是“a1”，下底是“an”， 高是“n”．
解：(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当 n≥2 时， Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1， ∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3. 又∵a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是 an＝1－，4nn＝ ＋13， ，n≥2. (2)由(1)知，当 n≥2 时， an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4(常数)， 但 a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
【随堂检测】
1．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3＝S2＋S4，a1＝2，
则 a5＝( )
A．－12
B．－10
C．10
D．12
解析：设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，得 3(3a1 ＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即 3a1＋2d＝0.将 a1＝2 代入上式， 解得 d＝－3，故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
4.2.2 第1课时 等差数列前n项和公式 的推导及简单应用
新课程标准解读
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ核心素养
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式， 理解等差数列的前n项和公式和通项公式 的关系.
数学抽象、数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题.
数学建模、数学运算
【新知初探】
知识点 等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
则数列{an}的公差为 ( )
3 A.2
B．－32
2 C.3
D．－23
解析：设数列{an}的公差为 d， ∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S8＝16，a6＝1，
∴S8＝8a1＋8×2 7d＝16， a6＝a1＋5d＝1，
解得 a1＝133，
d＝－23，故数列{an}的公差为－23.
答案：D
答案：B
2．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＋a3＋a5＝3，
则 S5＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
解析：由题 a1＋a3＋a5＝3，∴3a3＝3.
∴a3＝1，∴S5＝5a12＋a5＝5×22a3＝5.
答案：A
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S8＝16，a6＝1，
4．设{an}是公差大于零的等差数列，Sn 为数列{an}的前 n 项和，
则“a2＞0”是“Sn＋1＞Sn”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由{an}是公差大于零的等差数列，且 a2＞0，可得 an＋1＞0，
所以 an＋1＝Sn＋1－Sn＞0，即 Sn＋1＞Sn；反之，若 Sn＋1＞Sn，则当 n
[跟踪训练]
设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2＝3，a8＝11，
则 S9 等于( )
A．13
B．35
C．49
D．63
解析：∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8， ∴S9＝9a22＋a8＝9×214＝63.
答案：D
题型二 等差数列前 n 项和公式的简单应用
[例 2] 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn＝2n2－30n. (1)求 a1 及 an； (2)判断这个数列是否是等差数列． [解] (1)因为 Sn＝2n2－30n， 所以当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当 n＝1 时上式成立，所以 an＝4n－32.
【题型探究】
题型一 等差数列的前 n 项和的有关计算 [例 1] 已知等差数列{an}． (1)a1＝56，a15＝－32，Sn＝－5，求 d 和 n； (2)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d.
[解] (1)∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16. 又 Sn＝na1＋nn－2 1d＝－5， 解得 n＝15 或 n＝－4(舍)． (2)由已知，得 S8＝8a12＋a8＝84＋2 a8＝172， 解得 a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
题型三 等差数列前 n 项和公式的实际应用
[例 3] 某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安 全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线，经 计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车， 平均每辆车工作 24 小时，从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一 辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆， 那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
[规律方法] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，当 C＝0 时， 数列{an}为等差数列；当 C≠0 时，{an}为非等差数列．
[跟踪训练] 设 Sn 是正数数列{bn}的前 n 项和，且 Sn＝14(bn＋1)2，求{bn}的通项公式． 解：当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1， ∴bn＝14(bn＋1)2－14(bn－1＋1)2＝14(bn2－b2n－1＋2bn－2bn－1)． 整理得：b2n－bn2－1－2bn－2bn－1＝0， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1＞0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)． ∴{bn}为公差为 2 的等差数列． 又∵b1＝14(b1＋1)2，∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1.
选用公式
na1＋an
Sn＝____2____
Sn＝_n_a_1_＋_n__n_－2__1_d__
[名师点津] 1．等差数列{an}的前 n 项和公式的推导方法“倒序相加法”是 解决数列求和问题的一种重要方法．主要适用于具有 a1＋an＝ a2＋an－1＝a3＋an－2＝…特征的数列求和． 2．若已知等差数列{an}的首项 a1、末项 an 及项数 n，则用公式 Sn＝na12＋an来求和．这里a1＋2 an是 a1 与 an 的等差中项，应用 时要注意结合等差数列的性质．
[规律方法] 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五 个量 a1，d，n，an 和 Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利 用公式列出基本量 a1 和 d 的方程组，解出 a1 和 d，便可解决问题．解 题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若 m＋n＝p ＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq，常与求和公式 Sn＝na12＋an 结合使用．
[规律方法] 1．本题属于与等差数列前 n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适 的等差数列． 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数 列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； (2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，还是求前 n 项和 Sn 或者求 n.
＝1 时，S2＞S1，即 S2－S1＝a2＞0.所以“a2＞0”是“Sn＋1＞Sn”
的充要条件，故选 C.
答案：C
5．在一个等差数列中，已知 a10＝10，则 S19＝________. 解析：S19＝19a12＋a19＝19×22a10＝190. 答案：190