人教新课标版数学高一人教A必修1学案 1. 集合的表示

第2课时集合的表示
[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
[知识链接]
1．质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数．
2．函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．
[预习导引]
1．列举法表示集合
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法表示集合
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
解决学生疑难点
要点一用列举法表示集合
例1用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．
解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}．
(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
规律方法 对于元素个数较少的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复．
跟踪演练1 用列举法表示下列集合：
(1)我国现有的所有直辖市；
(2)绝对值小于3的整数集合；
(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43
的图象交点组成的集合． 解 (1){北京，上海，天津，重庆}；
(2){－2，－1,0,1,2}；
(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，
y ＝－23x ＋43 的解是⎩⎨⎧ x ＝75，y ＝25，
所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫75，25. 要点二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．
(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }．
(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}．
规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ；②“竖线”不可省略；③p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一．
跟踪演练2 用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集；
(3)集合{－2，－1,0,1,2}．
解 (1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．
(2){x |6x 2－5x ＋1＝0}．
(3){x ∈Z ||x |≤2}．
要点三 列举法与描述法的综合运用
例3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .
解 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0.
∴x ＝2，此时A ＝{2}．
(2)当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素，
∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根，
则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.
从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}．
综上所述，实数k 的值为0或1.
当k ＝0时，A ＝{2}；
当k ＝1时，A ＝{4}．
规律方法 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解．(2)因kx 2－8x ＋16＝0是否为一元二次方程而分k ＝0和k ≠0而展开讨论，从而做到不重不漏．
2．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点．
跟踪演练3 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合． 解 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1，且k ≠0. 所以k 取值范围的集合为{k |k ＜1，且k ≠0}．
1．集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为() A．{0,1,2,3,4} B．{1, 2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案 B
解析{x∈N*|x－3＜2}＝{x∈N*|x＜5}＝{1,2,3,4}．2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有() A．－1∈A B．0∈A
C.3∈A D．2∈A
答案 B
解析∵0∈N且－3≤0≤3，∴0∈A.
3．用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________．
答案{x|x＜－3 2}
解析∵x＜－x－3，
∴x＜－3
2.
∴解集为{x|x＜－3
2}．
4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________．答案{1}
解析由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
5．用适当的方法表示下列集合．
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2＞6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
解(1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
(2){x |x ＝2n ＋1，且x ＜1 000，n ∈N }；
(3){x |x ＞8}；
(4){1,2,3,4,5,6}．
1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．
(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
一、基础达标
1．下列关系式中，正确的是( )
A ．{2,3}≠{3,2}
B ．{(a ，b )}＝{(b ，a )}
C ．{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x ＋1}
D ．{y |y ＝x 2＋1}＝{x |y ＝x ＋1}
答案 C
解析 A 中{2,3}＝{3,2}，集合元素具有无序性；B 中集合中的点不同，故集合不同；C 中{x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x ＋1}＝R ；D 中{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}≠{x |y ＝x ＋1}＝R .故选C.
2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1} B ．{1}
C ．{(1,1)}
D ．(1,1)
答案 C
解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 不是集合的形式，排除D.
3．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是()
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
答案 D
解析因xy＜0，所以有x＞0，y＜0；或者x＜0，y＞0.因此集合M表示的点集在第四象限和第二象限．
4．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()
A．2∈A，且2∈B
B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B
C．2∈A，且(3,10)∈B
D．(3,10)∈A，且2∈B
答案 C
解析集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．
5．将集合{(x，y)|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为________．
答案{(2,4)，(5,2)，(8,0)}
解析∵3y＝16－2x＝2(8－x)，且x∈N，y∈N，∴y为偶数且y≤5，∴当x＝2时，y＝4，当x＝5时y＝2，当x＝8时，y＝0.
6．有下面四个结论：
①0与{0}表示同一个集合；
②集合M＝{3,4}与N＝{(3,4)}表示同一个集合；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4＜x＜5}不能用列举法表示．
其中正确的结论是________(填写序号)．
答案④
解析{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②集合M是实数3,4的集合，而集合N是实数对(3,4)的集合，不正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
7．下面三个集合：
A ＝{x |y ＝x 2＋1}；
B ＝{y |y ＝x 2＋1}；
C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．
问：(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
解 (1)在A 、B 、C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，
故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .
集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，
故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．
集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条件y ＝x 2＋1，即表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．
因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|点(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．
二、能力提升
8．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧ m |m ＝x |x |＋y |y |＋
⎭
⎬⎫xy |xy |为( ) A ．{0,3} B ．{1,3}
C ．{－1,3}
D ．{1，－3}
答案 C
解析 当x ＞0，y ＞0时，m ＝3，
当x ＜0，y ＜0时，m ＝－1－1＋1＝－1.
若x ，y 异号，不妨设x ＞0，y ＜0，
则m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．
9．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10
答案 D
解析 ∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}，
∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.
∴B ＝{(2,1}，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
∴B 中所含元素的个数为10.
10．如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．
答案 {(x ，y )|－1≤x ≤3，且0≤y ≤3}
解析 图中阴影部分点的横坐标－1≤x ≤3，纵坐标为0≤y ≤3，
故用描述法可表示为⎩⎨⎧
(x ，y )|⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1≤x ≤30≤y ≤3. 11．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合
A .
解 ∵1是集合A 中的一个元素，
∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，
∴a ·12＋2·1＋1＝0，即a ＝－3.
方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，
解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13
， ∴集合A ＝{－13
，1}． 三、探究与创新
12．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.
解 方法一 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝
b ，ab ＝1.
解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，
或a ＝1，b 为任意实数． 由集合元素的互异性得a ≠1，
∴a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1. 方法二 由A ＝B ，可得
⎩⎪⎨⎪⎧ 1·
a ·
b ＝a ·a 2·ab ，1＋a ＋b ＝a ＋a 2＋ab ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
ab (a 3－1)＝0， ①(a －1)(a ＋b ＋1)＝0. ② 因为集合中的元素互异，所以a ≠0，a ≠1. 解方程组得，a ＝－1，b ＝0.故a 2014＋b 2014＝1.
13．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪ 62＋x ∈N . (1)试判断元素1和2与集合B 的关系．
(2)用列举法表示集合B .
解 (1)当x ＝1时，62＋1
＝2∈N ； 当x ＝2时，62＋2＝32
∉N ， 所以1∈B,2∉B .
(2)令x ＝0,1,4代入
62＋x
∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}．。