高考物理万有引力定律的应用各地方试卷集合汇编及解析

高考物理万有引力定律的应用各地方试卷集合汇编及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．牛顿说：“我们必须普遍地承认，一切物体，不论是什么，都被赋予了相互引力的原理”．任何两个物体间存在的相互作用的引力，都可以用万有引力定律12
2=m m F G
r
万计算，而且任何两个物体之间都存在引力势能，若规定物体处于无穷远处时的势能为零，则二者之间引力势能的大小为12
=-p m m E G
r
，其中m 1、m 2为两个物体的质量， r 为两个质点间的距离（对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离），G 为引力常量．设有一个质量分布均匀的星球，质量为M ，半径为R ． （1）该星球的第一宇宙速度是多少？
（2）为了描述电场的强弱，引入了电场强度的概念，请写出电场强度的定义式．类比电场强度的定义，请在引力场中建立“引力场强度”的概念，并计算该星球表面处的引力场强度是多大？
（3）该星球的第二宇宙速度是多少？
（4）如图所示是一个均匀带电实心球的剖面图，其总电荷量为+Q （该带电实心球可看作电荷集中在球心处的点电荷），半径为R ，P 为球外一点，与球心间的距离为r ，静电力常量为k ．现将一个点电荷-q （该点电荷对实心球周围电场的影响可以忽略）从球面附近移动到p 点，请参考引力势能的概念，求电场力所做的功．
【答案】（1）1GM
v R
=
2）2=M E G R '引
；（3）22GM
v R
=4）11
()W kQq r R
=-
【解析】 【分析】 【详解】
(1)设靠近该星球表面做匀速圆周运动的卫星的速度大小为1v ，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力
212v mM
G m R R
= 解得：1GM
v R
=
； (2)电场强度的定义式F E q
=
设质量为m 的质点距离星球中心的距离为r ，质点受到该星球的万有引力
2=Mm
F G
r
引 质点所在处的引力场强度=F E m
引
引 得2=M E G
r
引 该星球表面处的引力场强度'
2=M
E G
R
引 (3)设该星球表面一物体以初速度2v 向外抛出，恰好能飞到无穷远，根据能量守恒定律
22102mM
mv G R
-= 解得：22GM
v R
=
； (4)点电荷-q 在带电实心球表面处的电势能1P qQ
E k R
=- 点电荷-q 在P 点的电势能2P qQ
E k
r
=- 点电荷-q 从球面附近移动到P 点，电场力所做的功21()P P W E E =-- 解得：11
()W kQq r R
=-
．
2．2019年3月3日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收官，我国对月球的探索将进人新的征程。

若近似认为月球绕地球作匀速圆周运动，地球绕太阳也作匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。

(1)已知地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，月心地心间的距离为r ，求月球绕地球一周的时间T m ；
(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。

已知月球绕地球运动一周的时间T m ＝27.4d ，地球绕太阳运动的周期T e ＝365d ，求地球上的观察者相继两次看到满月满月的时间间隔t 。

【答案】(1)
3
2
2
m
r T
gR
π
= (2)29.6
【解析】
【详解】
（1）设地球的质量为M，月球的质量为m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力，则
2
2
2
m
Mm
G mr
r T
π
⎛⎫
=⋅ ⎪
⎝⎭
地球表面的物体受到的万有引力约等于重力，则
2
GMm
m g
R
=
解得
3
2
2
m
r
T
gR
π
=
（2）相继两次满月有，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多2π，即
2
m e
t t
ωπω
=+
而
2
m
m
T
π
ω=
2
e
e
T
π
ω=
解得29.6
t=天
3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个星体的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G，则:（1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少?
（2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
【答案】（1）
3
4
5
L
Gm
2
3
3Gm
L
【解析】
【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
222
222(
)(2)Gm Gm m L L L T
π+= 3
45L T Gm
π
∴= （2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗
星，满足：2
222cos30()cos30L
Gm m L ω︒=︒
解得：33=
Gm L
ω
4．如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。

在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速度自O 点竖直上抛，经t 时间上升到最高点，OP 间的距离为h ，已知引力常量为G ，星球的半径为R ；求：
（1）该星球表面的重力加速度g ； （2）该星球的质量M ； （3）该星球的第一宇宙速度v 1。

【答案】（1）22h
g t
= （2）22
2hR Gt （32hR 【解析】（1）由竖直上抛运动规律得：t 上=t 下=t
由自由落体运动规律： 212
h gt = 22h g t
=
（2）在地表附近： 2Mm
G
mg R
=
22
2
2gR hR M G Gt
== （3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得： 212v Mm G m R R
=
1v t
=
= 点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求星球的质量。

5．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。

宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

(1)试求月球表面处的重力加速度g . (2)试求月球的质量M
(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T ，试求月球的平均密度ρ.
【答案】（1）2022hv g L =（2）22
02
2hv R
M GL
= （3）23GT πρ= 【解析】 【详解】
（1）根据题目可得小球做平抛运动, 水平位移: v 0t =L
竖直位移:h =
12
gt 2 联立可得:20
22hv g L
=
（2）根据万有引力黄金代换式2mM
G
mg R
＝， 可得2220
2
2hv R gR M G GL ==
（3）根据万有引力公式2224mM G m R R T π＝；可得23
2
4R M GT π=，
而星球密度M V ρ=,3
43
V R π= 联立可得2
3GT πρ=
6．在月球表面上沿竖直方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该月球半径为R ，万有引力常量为G ，月球质量分布均匀。

求： (1)月球的密度； (2)月球的第一宇宙速度。

【答案】（1）0
32v RGt ρπ=（2）02v R
v t
=
【解析】 【详解】
(1)根据竖直上抛运动的特点可知：01
02
v gt -= 所以：g=
2v t
设月球的半径为R,月球的质量为M,则：2
GMm
mg R
= 体积与质量的关系：34
·3
M V R ρπρ== 联立得：0
32v RGt
ρπ=
（2）由万有引力提供向心力得
2
2
GMm v m R R
= 解得;02v R
v t
=
综上所述本题答案是：（1）032v RGt ρπ=（2）02v R
v t
=
【点睛】
会利用万有引力定律提供向心力求中心天体的密度，并知道第一宇宙速度等于v gR = 。

7．如图所示，A 是地球的同步卫星．另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自转角速度为0ω ，地球质量为M ，B 离地心距离为r ，万有引力常量为G ，O 为地球中心，不考虑A 和B 之间的相互作用．（图中R 、h 不是已知条件）
（1）求卫星A 的运行周期A T （2）求B 做圆周运动的周期B T
（3）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】（1）0
2A T π
ω=（2）3
2B r T GM
π
=（3）03
t GM r ω∆=
- 【解析】 【分析】 【详解】
（1）A 的周期与地球自转周期相同 0
2A T π
ω=
（2）设B 的质量为m ， 对B 由牛顿定律:
2
22()B
GMm m r r T π= 解得： 32B r T GM
π
= （3）A 、B 再次相距最近时B 比A 多转了一圈，则有：0()2B t ωωπ-∆= 解得：
03
t GM r ω∆=
- 点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．
8．我国预计于2022年建成自己的空间站。

假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度为同步卫星离地面高度的，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的6倍，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g 。

求： (1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小；
(2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。

【答案】(1) (2)
【解析】 【详解】
(1)卫星在地球表面时
，可知：
空间站做匀速圆周运动时：
其中
联立解得线速度为：
(2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为T 1和T 2，
则由开普勒第三定律有： 其中：，
解得：
【点睛】
本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动的参量。

9．根据我国航天规划，未来某个时候将会在月球上建立基地，若从该基地发射一颗绕月卫星，该卫星绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的高度为h ，绕月球做圆周运动的周期为T ，月球半径为R ，引力常量为G ．求： （1）月球的密度ρ；
（2）在月球上发射绕月卫星所需的最小速度v ．
【答案】（1）3
23
3()R h GT R π+（2()2R h R h
T R
π++ 【解析】 【详解】
(1)万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2()Mm R h =+m 224T
π（R +h ）， 解得月球的质量为：23
2
4()R h M GT π+=；
则月球的密度为：
3
23
3()M R h V GT R
πρ+==； （2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G 2Mm R =m 2
v R
， 解得：v ()2R h R h
T
R
π++=
10．已知火星半径为R ，火星表面重力加速度为g ，万有引力常量为G ，某人造卫星绕火星做匀速圆周运动，其轨道离火星表面高度等于火星半径R ，忽略火星自转的影响。

求：
（1）火星的质量； （2）火星的第一宇宙速度； （3）人造卫星的运行周期。

【答案】（1）2
g
G
R （2gR （3）2
4R g
π
【解析】 【详解】
（1）在火星表面，由万有引力等于重力得：2
GMm
mg R
=
得火星的质量 2
g
M G
R =；
（2）火星的第一宇宙速度即为近火卫星的运行速度，根据2
mg m R
v =
得
v gR = （3）人造卫星绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得()
()2
2 222GMm
m R
T R π=⎛⎫
⎪⎝⎭
联立得2
4R T g
π=。