遍历性定理

例 1. 设 X (t) = a cos(wt + Q), t Î R, a,w 为 正 常 数 ， R.V .Q ~ U (0, 2p ) ， 则
X = {X (t),t Î (-¥, +¥)} 的均值有遍历性。
ò 证明： m =
EX (t) =
a
2p 0
1 2p
cos(wt +q )dq
= 0，
ò 若 lim E 1
T ®¥ 2T
2
T ( X (t) - m)( X (t +t ) - m)dt - R(t ) = 0 ，
-T
å 或者 lim E T ®¥Biblioteka 21 N+
1
k
N =-
N
(
X
(t
)
-
m)(
X
(t
+
t
)
-
m)dt
-
R
(t
)
2
= 0 ，则称
X
的协方差函数有
遍历性。 若随机过程（或序列）的均值和协方差函数都有遍历性，则称此随机过程有遍历性。
解： R(t ) ® 0(t ® ¥) ，故由 Stoltz 定理知：
å lim
N ®¥
1 N
N -1
R(t )
t =0
=
lim
N ®¥
R(N
- 1)
=
0。
定理 4.2（协方差函数遍历性定理）若 X = {X (t), -¥ < t < +¥} 为平稳过程，其均值函数为
合肥工业大学数学系
ò 0，则协方差函数有遍历性
T -T
X
(t )dt
-0
2
=
a2 w2
(sin wT T
)2
E2
cos Q
®
0(T
®
¥)
所以 X = {X (t),t Î (-¥, +¥)} 的均值有遍历性。
问题：请同学们自己证明 X = {X (t),t Î (-¥, +¥)} 的协方差具有遍历性。
二．判定定理
定理 1（均值遍历性定理）(ⅰ)，设 X = {X n , n = 0, ±1, ±2,L} 是平稳序列，其协方差函数
= t - s，v
=t
+s，J
=
¶t ¶s
¶t
¶t
¶v ¶s
=
1 2
，
R(t
)
为偶函数。
¶v
ò ò òò òò VarX
=
lim
T ®¥
1 4T 2
T -T
T -T
R(t
-
s)dtds
=
lim
T ®¥
1 4T
2
1 2
D
R(t
)dt
dv
=
lim
T ®¥
1 2T
2
R(t )dt dv
D'
ò ò ò =
lim
ò ò 解：当 0 £ t
£
2T
Þ
(1 -
t 2T
)
R(t
)
£
R(t )
Þ
1 T
2T 0
(1 -
t 2T
)R(t )dt
£
1 T
2T R(t ) dt
0
ò £
1 T
+¥ R(t ) dt ® 0(T ® ¥) 。
0
推论 2. 对平稳序列 X = {X n , n = 0, ±1, ±2,L} ，若：R(t ) ® 0(t ® ¥) ，则均值有遍历性。
定理，先计算 X 的均值和方差。
ò ò 记：
XT
@
1 2T
T -T
X (t)dt ，
XT
@ lim T ®¥
1 2T
T X (t)dt
-T
ò Þ
EX
=
E lim T ®¥
XT
=
lim
T ®¥
EX
T
=
lim
T ®¥
1 2T
T EX (t)dt = m
-T
ò ò VarX
=
E[lim T ®¥
1 2T
T -T
T ®¥
1 2T
2
2T dt
0
2T 0
-t
R(t
)dv
=
lim
T ®¥
1 2T
2
2T (2T -t )R(t )dt
0
ò =
lim
T ®¥
1 T
2T 0
(1 -
t 2T
)R(t
)dt
。
ò lim 1
T®¥ T
2T (1 -
0
t 2T
)R(t )dt
=0
Û
X
=
EX
。
ò 推论 1. 若 +¥ R(t ) dt < ¥ ，则均值遍历性。 -¥
å lim
N ®¥
1 N
N -1
R2 (k)
k =0
=
0 ，则
Gauss
过程的协方差函数有遍历性。
作业：P127 ex16 P127 ex17
Û
lim
T ®¥
1 T
2T 0
(1 -
t1 2T
)( B (t 1 )
-
R2
(0))dt1
=
0
。
其中： B(t1) = EX (t +t +t1)X (t +t1) X (t +t )X (t) 。
证明略。
定理 4.3 设 X = {X n , n = 0, ±1, ±2,L} 是均值为 0 的 Gauss 平稳过程，如果：
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第二节 遍历性定理
一、 基本概念
ò 定义 1
设X
= {X (t),t Î (-¥, +¥)} 为一平稳过程，若 lim E T ®¥
1 2T
2
T X (t)dt - m = 0 ，
-T
å 或者 lim E T ®¥
1N 2N +1k=-N
2
X (t) - m
= 0 ，则称
X
的均值有遍历性。
(X (t) - m)dt]2
= lim T ®¥
1 4T 2
E[
T -T
( X (t) - m)dt]2
ò ò =
lim
T ®¥
1 4T
2
T -T
T E( X (t) - m)( X (s) - m)dtds
-T
ò ò =
lim
T ®¥
1 4T
2
T -T
T R(t - s)dtds 。
-T
¶t
令t
å R(t ) ，则
X
均值具有遍历性
lim
N ®¥
1 N
N -1
R(t
t =0
)
=
0。
（ⅱ）若 X = {X (t), -¥ < t < +¥} 为平稳过程，则 X 均值遍历性
合肥工业大学数学系
ò Û
lim
T ®¥
1 T
2T 0
(1
-
t 2T
)R(t
)
=
0
。
（ⅱ）证明，由于离散场合和连续时间场合证明思路相同，所以反对连续时间的均值遍历性
ò ò ò T X (t)dt = a T cos(wt + Q)dt = a T (coswt cos Q - sinwt sin Q)dt
-T
-T
-T
ò ò = a cos Q T coswtdt -a sin Q T sin wtdt = 2a sinwT cos Q 。
-T
-T
w
ò E 1 2T