南川区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南川区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（）
A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣10
2．已知命题p：存在x0＞0，使2＜1，则￢p是（）
A．对任意x＞0，都有2x≥1 B．对任意x≤0，都有2x＜1
C．存在x0＞0，使2≥1 D．存在x0≤0，使2＜1
3．已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∪B等于（）
A．{﹣1，0，1，2，4} B．{﹣1，0，2，4}
C．{0，2，4} D．{0，1，2，4}
4．甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
乙校：
则x ，y A 、12,7 B 、 10,7 C 、 10，8 D 、 11,9
5． 已知函数2
2
()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．2015
2
B ．2015
3 C ．20152
3 D ．20152
2
6． 设集合A={x||x ﹣2|≤2，x ∈R}，B={y|y=﹣x 2，﹣1≤x ≤2}，则∁R （A ∩B ）等于（ ） A ．R
B ．{x|x ∈R ，x ≠0}
C ．{0}
D ．∅
7． 已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),3
1(log ),23
(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>
【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 8． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（ ）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D ．（﹣2，﹣1）∪（0，
+∞）
9． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16
B ．6
C ．4
D ．8
10．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．α是第四象限角，，则sin α=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体 积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111]
A ．
4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
二、填空题
13．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是
14．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为 ． 15．若圆与双曲线C ：的渐近线相切，则_____；双曲线C 的渐近线方程是
____．
16．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
18．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）=|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）+f （x+1）≤2
（2）若a ＜0，求证：f （ax ）﹣af （x ）≥f （2a ）
20．已知函数x
x x f --
-=713)(的定义域为集合A ，{x |210}B x =<<，{x |21}C a x a =<<+
（1）求A B ，B A C R ⋂)(；
（2）若B C B =，求实数a 的取值范围.
21．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，∠ABC=，
OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． （Ⅰ）证明：直线MN ∥平面OCD ； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离．
22．已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；
（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．
23．若已知，求sinx的值．
24．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x 不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m2，鸡舍侧面的造价为20元/m2，地面及其他费用合计为1800元．
（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
南川区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出
y=的值，
当x ＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10 当x ≥0，时x=10，解得：x=10 故选：D ．
2． 【答案】A
【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使
2
＜1为特称命题，
∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x
≥1．
故选：A
3． 【答案】A
【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A ∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}． 故选：A ．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．
4． 【答案】B
【解析】 1从甲校抽取110× 1 200
1 200＋1 000
＝60人，
从乙校抽取110× 1 000
1 200＋1 000
＝50人，故x ＝10，y ＝7.
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：因为函数2
2
()32f x x ax a =+-，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，所以()()10
10
f f -≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得
3a ≥或1a ≤-，又因为(0,3]a ∈，所以3a =，在和两数间插入122015,...a a a 共2015个数，使之与，构成等
比数列，T 122015...a a a =，
201521...T a a a =，两式相乘，根据等比数列的性质得()()
2015
2015
2
1201513T a a ==⨯，
T =2015
2
3
，故选C.
考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.
6．【答案】B
【解析】解：A=[0，4]，B=[﹣4，0]，所以A∩B={0}，∁R（A∩B）={x|x∈R，x≠0}，
故选B．
7．【答案】D
8．【答案】B
【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，
在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选B．
9．【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，
∴S△ABC=absinC==8．
故选：D．
10．【答案】C
【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，
故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，
则易知A
H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，
1
AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，
故选：C．
【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．
11．【答案】B
【解析】解：∵α是第四象限角，
∴sinα=，
故选B．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．
12．【答案】B
【解析】
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
二、填空题
13．【答案】0
【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，
由于sin周期为8，
所以S=sin+sin+…+sin=0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．
14．【答案】．
【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=，
故答案为．
15．【答案】，
【解析】【知识点】圆的标准方程与一般方程双曲线
【试题解析】双曲线的渐近线方程为：
圆的圆心为（2，0），半径为1．
因为相切，所以
所以双曲线C的渐近线方程是：
故答案为：，
16．【答案】25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，
由正弦定理可得AC==25km，
故答案为：25．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
17．【答案】8π．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
18．【答案】﹣3＜a＜﹣1或1＜a＜3．
【解析】解：根据题意知：圆x2+（y﹣a）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x2+y2=1相交，两圆圆心距d=|a|，∴2﹣1＜|a|＜2+1，
∴﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3． 故答案为：﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x 2+（y ﹣a ）2
=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2
=1相交，属中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）解：不等式f （x ）+f （x+1）≤2，即|x ﹣1|+|x ﹣2|≤2． |x ﹣1|+|x ﹣2|表示数轴上的点x 到1、2对应点的距离之和， 而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2， ∴不等式的解集为[0.5，2.5]．
（2）证明：∵a ＜0，f （ax ）﹣af （x ）=|ax ﹣2|﹣a|x ﹣2|=|ax ﹣2|+|2﹣ax| ≥|ax ﹣2+2a ﹣ax|=|2a ﹣2|=f （2a ﹣2）， ∴f （ax ）﹣af （x ）≥f （2a ）成立．
20．【答案】（1）{}210A B x =<<U ，(){}
2310R C A B x x x =<<≤<I 或7；（2）1a ≤-或9
22
a ≤≤。

【解析】
试题分析：（1）由题可知：30
70x x -≥⎧⎨->⎩
，所以37x ≤<，因此集合{}37A x x =≤<，画数轴表示出集合A ，
集合B ，观察图形可求，{}210A B x =<<U ，观察数轴，可以求出{}
37R C A x x x =<≥或，则
(){}2310R C A B x x x =<<≤<I
或7；（2）由B C B =U 可得：C B ⊆，分类讨论，当B φ=时，21a a ≥+，
解得：1a ≤-，当B φ≠时，若C B ⊆，则应满足21
22110a a a a <+⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩，即1292
a a a ⎧
⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤
⎩，所以922a ≤≤，因此满足
B C B =U 的实数a 的取值范围是：1a ≤-或9
22
a ≤≤。

试题解析：（1）：由3070
x x -≥⎧⎨->⎩得：
37x ≤<
A={x|3x<7}≤
A B {x |2x 10}=<<， B A C R
⋂)(={x|2<x<3x<10}
≤或7
（2）当B=φ时，21,a -1a a ≥+≤
当B φ≠时，2122110
a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，9
22a ≤≤
即-1a ≤或922
a ≤≤。

考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

21．【答案】
【解析】解：方法一（综合法） （1）取OB 中点E ，连接ME ，NE ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD
又∵NE ∥OC ，∴平面MNE ∥平面OCD ∴MN ∥平面OCD
（2）∵CD ∥AB ，∴∠MDC 为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作AP ⊥CD 于P ，连接MP ∵OA ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥MP
∵，
∴
，
，
∴
所以AB 与MD
所成角的大小为．
（3）∵AB ∥平面OCD ，
∴点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP ，过点A 作AQ ⊥OP 于点Q ， ∵AP ⊥CD ，OA ⊥CD ， ∴CD ⊥平面OAP ，∴AQ ⊥CD ．
又∵AQ ⊥OP ，∴AQ ⊥平面OCD ，线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离，
∵
，
，
∴
，所以点B 到平面OCD
的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），
，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵
∴，
∴，AB与MD所成角的大小为．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，
由，得d==
所以点B到平面OCD的距离为．
【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．22．【答案】
【解析】解：（1）．
因为x=2是函数f（x）的极值点，
所以a=2，则f（x）=，
则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0；
（2）当a=1时，，其中x∈[，e2]，
当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e2]时，f'（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．
又，，
综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}；
（3）等价于，
若a=1时，由（2）知f（x）=在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即，∴．
故
即，
即．
23．【答案】
【解析】解：∵，∴＜＜2π，
∴sin（）=﹣=﹣．
∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin
=﹣﹣=﹣．
【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．24．【答案】
【解析】解：（1）…
=…
定义域是（0，7]…
（2）∵，…
当且仅当即x=6时取=…
∴y≥80×12+1800=2760…
答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…。