深水Boussinesq方程数学模型建立与验证

深水Boussinesq方程数学模型建立与验证
胡金鹏;张运秋;朱良生
【摘要】通过引入四参数和非线性浅水方程至Kennedy等人推导的二阶全非线性Boussinesq方程中,改善了原方程的色散和变浅性能,并通过新方程建立适合较深水域的近岸波浪场数学模型,模拟了椭圆形浅滩地形上的波浪传播变形,从数值结果和试验结果的比较上看,该模型可以很好地模拟近岸波浪场的实际问题.
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2010(010)011
【总页数】5页(P2661-2664,2671)
【关键词】Boussinesq方程;色散和变浅性能;数学模型;近岸波浪
【作者】胡金鹏;张运秋;朱良生
【作者单位】华南理工大学土木与交通学院,广州,510640;中国科学院广州能源研究所,广州,510641;可再生能源与天然气水合物重点实验室,广州,510641;华南理工大学土木与交通学院,广州,510640
【正文语种】中文
【中图分类】TV139.2
目前描述近岸波浪变形的主要数值模型按照控制方程大致可以分为三类:纳维尔斯托克斯方程(Navier－Stokes equation);缓坡方程 (Mild－slope equation)和布斯尼斯克方程(Boussinesq equation)。

Navier－Stokes方程模型是三维模型，可
以分析真实流体的波动特性，能描述三维非线性波浪的变形，但是模型建立复杂，计算时需要大量的存储容量和计算机时，目前还无法实际应用于大范围的海区计算。

而缓坡方程模型和Boussinesq方程模型都是经过简化而得到平面二维模型，可以描述二维平面流场，这两种模型的建立相对简单，需要的计算容量和机时都不大，经过改进这两种模型都可以计算较大范围海区，但是缓坡方程模型还存在一些比较严重的缺陷，尽管经过众多学者的不断改进，风摄入波动能量、底摩擦能量损耗、波浪破碎、波浪的非线性和波流相互作用等物理过程已经得到不同程度的考虑，但是由于模型本身为线性波理论，对这些非线性物理过程处理依据不够充分，用于大范围计算时并不合适，该模型还不适用于小尺度急剧变化的地形，而且不易反映出底面的反射作用，因此，对于局部小区域，尤其是地形比较复杂的小区域，要提高波浪计算精度，采用缓坡方程模型也是很困难的。

Boussinesq方程模型可以模拟非线性波浪变形且适用于各种地形，比缓坡方程模型更适合于描述具有复杂地形的浅水区非线性波浪变形，过去Boussinesq方程模型所受到的水深适用范围限制也已经得到很大程度的改进，并且随着波浪在岸滩上爬高的动边界处理问题和波浪破碎引起的能量耗散的模拟问题的有效解决，用数值方法模拟近岸波浪的爬高和破碎成为可能，随着现代计算机的飞速发展，目前经过改进的Boussinesq方程模型已经能够有效快速地模拟从外海深水区通过浅水区破碎带直到岸线的大范围波浪传播变形。

Boussinesq 方程首先是由 Boussinesq［1］提出，将流场的垂直分布以多项式级数形式近似表示，目的是针对Stokes［2］的非线性波浪摄动展开解不能适当地应用到无限波长的孤立波流场所遭遇的难题，而提出可解决等水深的孤立波流场的解析方程。

Peregrine［3］引用 Boussinesq［1］的级数展开的理论基础概念，提
出可适用于变水深和一般波浪的 Boussinesq方程，采用波面函数和水深平均速度为变量，将连续方程和动量方程沿水深积分，使空间三维流场简化为平面二维流场，
进而发展出现今所谓的经典Boussinesq方程。

此后，通过不断改进逐渐形成了Boussinesq类方程，成为模拟近岸区域波浪传播的一种有效方法。

经典Boussinesq方程适用的相对水深仅为近年来许多学者致力于推导其他形式的Boussinesq方程，使其能应用到相对水深较大的范围，Kennedy等人［2］建立的二阶全非线性Boussinesq方程，适用的相对水深约为kh＜π，已经达到了深水波的临界。

现对Kennedy等人［4］的方程进行改进，建立了一个新的Boussinesq方程，适用水深范围kh＜3π，再以新方程建立适合与较大水深的近
岸波浪数学模型，通过模拟波浪在椭圆形浅滩地形上的传播变形来验证新方程对于近岸波浪场模拟的实用性。

1 理论方程
Kennedy等人［4］采用随时间变化的参考水层zα所得到的Boussinesq方程在直角坐标系x，y，()z下的形式。

质量方程(COM)
其中η表示波面升高，h表示静水深，uα表示在变水层z=zα处的水平流速矢量，g表示当地的重力加速度，t表示时间，水平梯度▽ = 。

当取时，方程的色散性为Padé［2，2］，此时得到的方程与静水深无关，该方程适合平均水面变化明显的强潮区。

为了使得方程适合更大的变化水深，需要改进方程的色散性和变浅性，注意到方程中的色散项都是高阶小量，可以通过引入能够很好地描述近岸非线性波浪的浅水方程作为修正项来加以改进，这里采用四个校正系数 a(1)，a(2)，b(1)，
b(2)来改进方程的色散项，使得方程在色散性能和变浅性能上都得到优化，同时并没有引入比原方程更高阶的项，因而方程的数学形式也没有发生改变，改进后的Boussinesq方程如下。

质量方程(COM)
其中M，V1，V2的取值同原方程。

为了新方程中所引入的四个参数，下面将从方程的色散和变浅性能两方面优化加以确定。

色散精度是衡量变化水深条件下Boussinesq方程精度的一个重要性能，变浅性能是另一个能够衡量变化水深条件下Boussinesq方程精度的重要指标，通过色散性能和变浅性能的优化(限于篇幅，这里省略了推导过程)确定四个校正系数，具体为
这样所得到的方程色散精度可以达到Padé(4，4)的精度，即方程适用的相对水深范围从kh＜π扩展到kh＜3π，大大提高了原方程的适用水深范围。

2 数学模型的建立与验证
模型的空间离散根据Wei和Kirby(1995)［5］的研究，为了避免数值离散的舍去项造成数值发散，他们建议对一阶空间微分项以有限差分法离散到四阶精度，二阶以上空间项离散到二阶精度进行计算，可以有效解决数值发散的问题，但是他们所采用的计算网格是非交错网格，会造成数值计算中出现锯齿状波形，使得模型不稳定，为了改善这一情况，同时也是为了后面使用的造波条件的有效性，现采用交错网格进行差分离散，将波面η分配在节点上，水平流速u和v则分配在( i ，j)节点上。

模型的时间离散采用预测－校正法处理，此法分为预测步骤和修正步骤，预测步骤采用三阶显式Adams－Bashforth法进行离散，修正步骤采用四阶隐式Adams－Bashforth法进行离散，重复迭代修正直到连续两次迭代结果的误差在容许范围内，再进行下一时间步运算。

计算时使用内部造波和边界海绵层消波相结合的方法来产生所需要的波浪场。

Berkhoff等［6］在椭圆形浅滩上的二维波浪传播试验，已经成为了检验缓坡方程模型的一个有效标准，涉及到波浪的变浅、折射、绕射和非线性色散等现象。

试验
布置如图1所示，椭圆形浅滩放置在平底20 m×20 m上，其中心坐标(0 m，0 m)，平底处水深为0.45 m，斜坡地形处坡度为0.02。

浅滩周围水深为
式(14)中x′=x sin20°+y cos20°，y′=x cos20°－y sin20°。

地形等高线法线方向
与y轴成20°角，试验采用周期T=1 s，波幅a0=2.32 cm的入射规则波。

计算时左右两侧边界为全反射，上下两侧设置海绵层消波。

试验记录了8个断面上的波面升高数据。

图2中给出了各个断面上的波幅比较图，模型结果和试验结果非常接近。

从图中可以看出，波能在浅滩后面发生了聚焦，波浪聚焦位置的波形具有陡而窄的波峰和平坦的波谷，表明了波浪传播的非线性影响。

另外本算例各个结果图中都比较了改进前方程和改进后方程的数值结果，综合比较表明改进后方程要优于改进前方程。

图1 Berkhoff等试验布置图
3 结论
首先通过引入四参数和非线性浅水方程来改进Kennedy等人［4］二阶全非线性Boussinesq方程的色散项，得到了一组全新的二阶全非线性 Boussinesq方程;新方程将原方程的水深范围从kh＜π扩展到kh＜3π，能更好地描述从深水到近岸
浅水处的非线性波浪传播变形;随后，本文基于新方程建立了二阶全非线性Boussinesq方程波浪数值模型，通过数学模型结果和物理试验结果的对比显示，新模型可以很好地描述椭圆形浅滩地形上的实际波浪变形传播，确保了所建立的方程和数学模型的可靠性，表明了所建立的近岸波浪数学模型可以很好地应用于工程实践之中。

图2 椭圆浅滩地形上各个断面的波幅空间分布图(实线表本文模型，虚线表示改进
前模型，圆点表示试验)
参考文献
【相关文献】
1 Boussinesq J.Theorie des ondes et ramous qui se propagent le long duncanal rectangularire horizontal，en communiquant au liquide contenu dansce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au.Journal of Mathematical Pure et Application，2nd Series，1872;(17):55—108
2 Stokes G G.On the theory of oscillatory waves.Transactions of the Cambridge Philosophical Society，1847;(8):441—455
3 Peregrine D H.Long waves on a beach.Journal of Fluid Mechanics，1967;27(4):815—827
4 Kennedy A B，Kirby，JT，Chen Q，et al.Boussinesq－type equations with improved nonlinear behavior. Wave Motion，2001;33:225—243
5 Wei G，Kirby J T.Time－dependent numerical code for extended Boussinesq equations.Journal of waterway，Port，Coastal and Ocean Engineering，1995;121:251—263
6 Berkhoff JCW，Booy N，Radder A C.Verification of numerical wave propagation models for simple harmonic linear water waves.Coast Engrg，1982;6:255—279。