高考数学(文科)江苏版1轮复习课件：第8章 平面解析几何 6 第6讲 双曲线

②不妨设 M 点在右支上， 则有 MF1－MF2＝2 3， 又 MF1＋MF2＝6 3， 故解得 MF1＝4 3，MF2＝2 3， 又 F1F2＝2 5， 因此在△MF1F2 中，MF1 边最长，
a2＋b2＝ 10，则焦距 2c＝2 10.
3．已知双曲线的两个焦点分别为 F1(－5，0)，F2(5，0)．双 曲线上一点 P 到 F1，F2 距离差的绝对值等于 6，则双曲线的 x2 y2 － ＝1 ． 标准方程为__________ 9 16
1．必明辨的 3 个易错点 (1)双曲线的标准方程中对 a、b 的要求只是 a＞0，b＞0，易 误认为与椭圆标准方程中 a，b 的要求相同． (2)注意区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a、b、 c 关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
x2 y2 【解】 (1)椭圆 ＋ ＝1 的焦点坐标为 F1(－ 7， 0)， F2( 7， 16 9 x2 y2 x2 y2 7 0)，离心率为 e＝ .由于双曲线 2－ 2＝1 与椭圆 ＋ ＝1 4 a b 16 9 有相同的焦点，因此 a2＋b2＝7. a2＋b2 7 7 7 又双曲线的离心率 e＝ ＝ ，所以 ＝ ， a a a 2 所以 a＝2，b2＝c2－a2＝3， x2 y2 x2 y2 故双曲线的方程为 － ＝1.故填 － ＝1. 4 3 4 3
2 2 x y b2＝5，故双曲线 C 的方程为 － ＝1. 20 5
2．(2018· 江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))在平面直角坐 x2 y2 标系 xOy 中，若双曲线 2－ ＝1(a>0)经过点(2，3)，则双曲 a 3
y＝± 3x ． 线的渐近线方程是__________
4 9 [解析] 因为双曲线经过点(2，3)，所以 2－ ＝1(a>0)， a 3 解得 a＝1，所以渐近线方程为 y＝± 3x.
(3)易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在 b a x 轴上， 渐近线斜率为± ， 当焦点在 y 轴上， 渐近线斜率为± . a b
2．必会的 2 种方法 (1)待定系数法求双曲线方程的常用设法 x2 y2 x2 y2 ①与双曲线 2 － 2 ＝ 1 共渐近线的双曲线可设为 2 － 2 ＝ a b a b λ(λ≠0)； b x2 y2 ②若渐近线方程为 y＝± x， 则双曲线可设为 2－ 2＝λ(λ≠0)； a a b x2 y2 ③若过两个已知点，则双曲线设为 ＋ ＝1(mn<0)． m n (2)等轴双曲线的离心率与渐近线关系 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率 e＝ 2⇔双曲线的两 条渐近线互相垂直(位置关系)．
x2 y2 (2)①椭圆方程可化为 ＋ ＝1， 焦点在 x 轴上， 且 c＝ 9－4 9 4 ＝ 5， x2 y2 故设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)， a b 9 4 a2－b2＝1， 则有 解得 a2＝3，b2＝2， a2＋b2＝5， x2 y2 所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 3 2
双曲线的定义及标准方程 x2 y2 x2 y2 (1)已知双曲线 2－ 2＝1 (a>0，b>0)和椭圆 ＋ ＝1 a b 16 9 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则 双曲线的方程为__________． (2)(2018· 无锡调研)已知双曲线过点 (3，－2)且与椭圆 4x2＋ 9y2＝36 有相同的焦点． ①求双曲线的标准方程； ②若点 M 在双曲线上，F1、F2 为左、右焦点，且 MF1＋MF2 ＝6 3，试判断△MF1F2 的形状．
y2 x2 [解析] 由题意知 － ＝1，所以双曲线的渐近线方程是 y＝± x. 2 2 x2 2． (2016· 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 双曲线 － 7
y2 2 10 ＝1 的焦距是__________ ． 3 x2 y2 [解析] 对于双曲线 － ＝1，易知 a＝ 7，b＝ 3，所以 c＝ 7 3
第八章 平面解析几何
第6讲
双曲线
1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离．
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 － ＝1 a2 b2 (a>0，b>0) y2 x2 － ＝1 a2 b2 (a>0，b>0)
图形
标准方程
x2 y2 2－ 2＝1 a b (a>0，b>0)
y2 x2 2－ 2＝1 a b (a>0，b>0) x∈R，y≤－a 或 y≥a
范围 性 质 对称性 顶点
x≥a 或 x≤－a， y∈R
对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a，0)， A2(a，0) A1(0，－a)， A2(0，a)
性 质
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴， 它的 长 A1A2＝2a；线段 B1B2 叫做双曲 线的虚轴，它的长 B1B2＝2b；a 叫 做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲 线的虚半轴长 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
a、b、c 的关系
y＝± x ． 1．双曲线 y2－x2＝2 的渐近线方程是__________
标准方程
x2 y2 － ＝1 a2 b2 (a>0，b>0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2 (a>0，b>0) a y＝± x b
渐近线 性 质 离心率
b y＝± x a
c e＝ ，e∈(1，பைடு நூலகம்∞)， a 其中 c＝ a2＋b2
标准方程
x2 y2 － ＝1 a2 b2 (a>0，b>0)
y2 x2 － ＝1 a2 b2 (a>0，b>0)
x2 y2 1．已知双曲线 C： 2－ 2＝1 的焦距为 10，点 P(2，1)在 C a b x2 y2 － ＝1 20 5 的渐近线上，则 C 的方程为________________ ．
[解析] 由已知可得双曲线的焦距 2c＝10，a2＋b2＝52＝25， b 1 1 b 又由一条渐近线方程为 y＝ x＝ x，得 ＝ ，解得 a2＝20， a 2 2 a