高数上学期期末答案

98级高数（上）期末试卷答案
（A 卷）
一、填空题：
1：[1,]e （0ln 1x ≤≤ ）； 2
：21,1()1,12
x x f x x x ⎧+-<⎪⎪=⎨
⎪≤<⎪⎩
3：111
35,(35)()()(35)333
u t f t dt f u du F u c F t c =+∴+==+=++⎰⎰令
4：20000(2)|2|2,((1))|2|0ax
ax x x x x e
ae a b x bx ====''==-=-=，
00,(10)22,2a b e b ∴=-===
5：10！ 6：22
22
sec ()
sec ()(1),csc ()1sec ()
x y y x y y y x y x y +'''=++∴==-+-+； 9：3
324
0.00004/;,4,3
m
s V R V R R πππ''=∴=
10：3
21(1)31,2,(7)12
x f x x x f -==∴=
两边关于求导代入 二：选择题
1：C 2:D 3:A 利用对称区间奇偶函数性质。

4:D
()(0)
lim
(0)8x f x f f x
∆→∆-'==∆
5：B 6：B 7:B 8：B 9:B
2
()(1)
0,()(1)(1)f x f f x f x -<∴<-
10:B
0()()(0)
lim
lim (0)00
x x f x f x f f x x →→-'==≠- 三．基本题
1．原式2
0001
ln(1)1
11
11lim lim [ln(1)1]lim 22
x x x x x x x x
x x
e e
e e
→→→+-++--
====
2．原式2sin 2
sin ln 2sin x x
x d x x x xdx =
=-⎰⎰
22sin ln22cos 2sin ln22cos (ln2)2cos x x x x x x d x x x xdx =+=+⋅-⎰⎰
原式=2
2sin ln22cos 1(ln2)
x x x x
c +⋅++ 3
．2
44
1cos222sin cos 2)2
t
I
y t tdt dt ππ
π+====+⎰ 5．
000002,(2)()y ax b x y y y ax b x x '=+∴-=+-点(,)处切线为:因为切线过原点，所以
2
0002
0002y ax bx y ax bx c
⎧=+⎪⎨=++⎪⎩02
0,c x b a ∴=≥为任意数。

四．证明题：书本289页定理1。

五．解00
[]1x x x S
xe dx xe e dx +∞+∞
--+∞
-==-+=⎰⎰
222222200
00
()[]222x x x x x
V xe dx x de x e xe dx xde π
π
π
ππ+∞
+∞
+∞
+∞
---+∞
--==-
=-+=-⎰⎰⎰⎰
220
([])2
4
x x xe
e dx π
π
+∞
-+∞
-=--=
⎰
六．证明：由观察易知
1,2x x ==是方程的根。

令()22x f x x =-，则()2ln22,x f x '=-
2()2(ln2)0,x f x ''=>在(,)-∞+∞()f x '单增：(1):当1x <时，24()(1)ln
0f x f e
''<=< 所以
(,1)-∞内()
f x 单减
()(1)0f x f >=。

()f x ∴在1
x <时没有零点。

(2)当
2
x >时，
2
16
()(2)ln
f x f e
''>=()0,(f x f x '∴>单增()(2)0f x f >=。

()f x 在2x >时无零点。

(3)当12x <<时，()0f x ''> ，()f x ∴在(1,2)是下凸。

1
()[(1)(2)]02f x f f ∴<+=
()f x ∴在(1,2)上无根。

由(1)(2)(3)可知22x x =只有两个根1,2x x ==。

（B 卷）
一．填空题 1：2
log (01)1x
y x x
=<<-； 2：()x x d xe e c ----+ 因为等价于求x xe dx -⎰ 3：
(0)x y ce c =≠因为y y '=； 4：[0,]n 令11()0n x n x x n y nx e x e e x n x -----'=-=-<
5：00(,)y x ； 6：
222
2
cos 2sin 2sin t t t t t --； 7：
2
4
sin 21x x x ⋅+； 8：1998!(利用公式) 二．选择题
1：B ； 2：C ； 3：B 因为()[()]()()x
x
a
a
F x x
f t dt f t dt xf x ''==+⎰
⎰
4：D 例10
()()110
x x f x x ϕ≥⎧=≡⎨-<⎩，则(())1f x ϕ≡，2(())1x ϕ=，(())1f x ϕ≡，A ，B ，C 错；可
用反证法证明D 对。

设
()
()
x f x ϕ连续，则()
()()()
x x f x f x ϕϕ=
⋅连续，所以假设不成立。

5：A 2
2
2
2
00(1)1lim
lim lim 022x
x x x x x e dx e x x x
x →→→--===⎰ 6：C 32
324012,024,024,0(),(),(),()12,012,0206,0
x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x ⎧⎧≥≥≥>⎧⎧⎪⎪''''''====⎨⎨⎨⎨<<<<⎪⎪⎩⎩⎩⎩
7：B 8：B
31
1
1
dx x
+∞
+∞
<⎰
⎰
收敛； 222
3331
222523
5235144
5x x x x x dx dx dx dx x x x x +∞
+∞+∞+∞++++>>=++⎰
⎰⎰⎰发散；
9：C 利用函数图形判断。

10：D 三．基本题：
1
：2x
x y '==2：作业题49页第三题第二小题。

()(ln 1)x
x x
x x '=+
(1):原式11111(ln 1)(ln 1)1(ln 1)
lim lim lim
1111x x x x x x x x x x x x x x x x
+→→→-+-+-+===-+--+
1
1()(ln 1)lim 1
x x x x x x -→'-+-=-211lim((ln 1))2x x x x x x -→++= (2):原式1(1)ln 1111
1ln [1][1](1)ln lim lim lim lim
11ln 1ln 1ln 1x x x x x x x x
x x x x e x x
x x x x x x x x
--→→→→--+
----====-+-+-+-+
11ln 1ln 11
lim
lim 211
x x x x x x x →→-+---===--
3
：令65,6t
x t dx t dt =∴==
原式25
63
21666ln ()(1)1
t t t dt dt c c t t t t t t =⋅==+=++++⎰⎰
4
：原式11
220
1arcsin 126122x x ππ=-=⋅=+-⎰ 5：面积2304;S x dx ==⎰ 旋转体积232
0128()7
V x dx ππ==⎰ 四．证明题：
证：令
()(1)ln(1)f x x x arctgx =++-，2
2
()ln(1)0(0)1x f x x x x
'∴=++>>+， ()f x ∴单增，0x ∴>时，()(0)0f x f >=。

五：两边同时关于
x 求导，2220,
2x y
x y xy yy y x y
-'''--+=∴=-；(1)令0,y '=则2x y =，代入原方程得
239,x x =∴=
x
y y ==。

当x =
时，得到y y ==-。

(2)2x y =时，
y '
不存在。

将其代入原方程得到：239,y y ==。

由以上可知，max min y y ==-。

纵坐标最大值点为
最小值点为(-。

六：解：令
352y x x =--，235y x '∴=-。

令0,y '=
则x =。

当x >
x <0y '>，y ∴
单增；当x <<时，0y '<，y ∴单减。

且6y x ''=
，0y ''>
，x ∴
是极小值点。

(0y ''<
，x ∴=
0,(0y y <> (0)0y <，由以上可知，(1)y
在(,-∞
单增且(0y >，
所以在(,-∞有一根。

(2)
在(内
y 单减
且(0y >，(0)0y <，所以
在(0)有一根。

(3) y
在)+∞单增
且0y <，lim x y →∞
=+∞
所以在)+∞有一根。

三次多项式只有三个实根。

所以由以上可知，原方程只有唯一正根。

99级高数上期末答案
（A ） 卷
一．填空题
1：(2,)-+∞；ln(3)0x +> ； 2：负；2
ln x x 在1
[,1]2
是负值；
3：原式0022cos24sin284
lim
lim 3663
x x x x x x →→-=== 4：原式=12
44
(44)21
832lim lim 111x x x x x x x e x x ++⋅⋅++→∞→∞
+⎛⎫
⎛
⎫=+=
⎪ ⎪++⎝⎭
⎝⎭
5：两边关于x 同时求导1()xy
y e y xy ''=++，整理得到11xy
xy
ye y xe +'=
-
6：1x =；sin 0x π= 时，x N ∈，当1x =时，11
ln 1lim
lim sin cos x x x x x x ππππ
→→==-；当1x ≠时，原式趋于无穷大。

二选择题： 1：B
26,y x x '=++在(0,1)处切线为61y x =+；
2： B 11
20
1()()2
f f x dx dx ξ===
⎰⎰
3：A 00
s i n ()c o s ()
|1c o s x
x
t x d t t x x -=--=-+⎰
；(1cos )sin x x '∴-+=- 4：C 利用图形对称性质。

0
2sin 4S
xdx π
==⎰
5：C 21121ln 1
(1)1,(1)lim 0;(1)lim 011
x x x x x x y y y x x -+
-+→→-+-+''=-====-- 11,121,1
x y x x x ⎧-≥⎪'∴=⎨⎪-<⎩，y '在1x =不连续。

则21
,1
2,1x y x x ⎧->⎪''=⎨⎪<⎩，
6：D 例22
00()
(),()(),1()
x x x x x x x x ααββ=-=-∴
→ 二．计算题
1
．原式lim
2x
x x be a be nx →+∞+==2
：ln ln(y x x =
，两边求导ln(y x y '∴
=
([ln(x y x x '∴=+
3：
1,0x t =⇒=2()2(1),()3(1)t x t e t y t t ''=+=-，
3(1),2t dy t dx e -∴
=103
||;2
x t dy dy dx dx ====- 2222323(1)23(2)4224(1)t t
t t t t
e t e d y t e d x e te e t ⋅---==++；2210223||2x t d y d y d x
d x ==== 四．原式221cos2sin211
sin2cos2244448
x x x x x
dx xd x x x c -==-=--+⎰⎰ 五：2
ln ()ln ()ln ()ln ()()[1ln ()]()()()()()x x x x x x d dx dx x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
六：设底面边长为
x ，则底面
积24S x =
，设直柱体高为h
，2
4V x h ∴=，
则h =，表面积
2232H S xh x =+=+
，令0H '=-=
则x 。

3
,0H H x
''''=>
，所以x 是最小值点，这时表面积最小。

七:要证
1ln x e x
x -<,只要证
1,x x
e e x
-<即
1x x
e xe -<(
x >).令
()1,
x x f x xe e =-+则
()0x f x xe '=>(0x >),当0x >时,()f x 单增;()(0)0f x f >=.1x x e xe ∴-<.
八:令
12()1,()[0,1],n n f x x x x x f x C -=++++-∴∈ 且(0)10,f =-<
(1)10f n =->,由零点定理知()f x 在(0,1)内至少有一根.又1()210n f x nx x -'=+++> ()(0,1)f x ∴在内只有唯一的实根.
设
n
x 和
1
n x +分别是方程
121
n n n n n n x x x x -++++= 和
12
11111
n n n n n n x x x x +++++++++= 的根.则
101n n x x +<<<,设lim
n
n x a →+∞=则有lim 111n n n
x a x a →∞==--,1
2a ∴=.
(B )卷
一. 填空题: 1:1 2:(0,
]2
π
3:-5 令2()3693(3)(1)0f x x x x x '=+-=+-=0x ≤<+∞ 1x ∴=
4:2(1,2,)x k k π==±± ; 5:(1,2)--262,1
32,1,2,127,1x x x x x y y x x x -<-⎧-≤-⎧'''==⎨⎨>-+>-⎩⎩
;
6:原式2
11cos |1x π
π
==;
二. 选择题: 1:A
22sin(1)1
111x x x
+≤≤++; 2:D 1
01lim 023
x x
→+=+,10
11
lim
2
23
x x
→-=
+; 3:A 4:B
1
(ln )x x
π'=
: 5:C 0a x -<< 时0x a <-<,()()(0)f x f x f ∴=-< 6:C 三. 计算题:
1:
1
((ln 1)2
f x x '+,令()0f x '=,则214x e -=<;1[,1]4∴内()f x 无驻点且()0f x '>.则最小值
1
()ln 24
f =-,最大值(1)0f =.
2:
3
13
30
1
2()2x
f x dx x dx dx =++⎰
⎰⎰
⎰34123
2012122[][][]43ln2
x
x x =++
45
ln212
=
3:原式2
2[(sin )cos 23(3)]f x x x f x dx =⋅-
4:2212(),()11t x t y t t t ''==++,2dy t dx ∴=;22
2
2(1)d y t d x
=+ 四:可微⇔可导.书上112页的定理. 五:解:两边求导11cos 02y y y ''-
+⋅=,2
2cos y y
'∴=-;232sin 4sin (2cos )(2cos )y y y y y y '-⋅-''=
=--.
六:原式2
ln (2ln(x x x =
-⎰
22
ln (ln (x x =⎰⎰
2(x =-x x c -+
∴
原式2ln (2x x x x c =
--+
七:设0
()2()1,x
F x x f t dt =-
-⎰
1
(0)10,(1)1()F F f t dt =-<=-⎰ ,()1f x <
1
()1f t dt ∴<⎰,(1)0F ∴>;由零点定理知()F x 在(0,1)内有根.又()2()0F x f x '=->,
()F x ∴在[0,1]内单增,所以只有唯一一根.
八:要证e e
π
π>,只要证ln ln e e ππ>即ln e ππ>. 令()ln f x x e x =-,当x e >时, ()10e
f x x
'=-
>()f x ∴单增()()0()f x f e x e >=>.则,()0e f ππ>> ,即e e ππ>. 00级考卷答案（LB20010113）
A 卷
一. 选择题:
1:D 2:C 3:A 4:B 5: C 同02年A 卷选择题4; 二:填空题:
1:,01ln 1x x y x x -≤≤⎧=⎨>⎩
2:(1)2n n N +=考虑x 的最高次幂(1)122n n n ++++= ;
3:
(0)1f =,00ln(1)lim
lim 1x x
x x xe xe x
x →→+== ; 4: ,→,←; 5:2(c +;
2(()d c ===+
6:
20
3
作业69页第二大题第2小题.原式11222211x dx dx x dx ---=++⎰⎰⎰
7:
01
1lim n n i n →∞==⎰ 8:
(1)y y e e x -=1y dy dx
e x
=-
分离变量
1y d y d x e x =-,1y dy dx e x =-⎰⎰,左边(1)ln(1)1y y y y
e e dy
y e e
-+==---⎰,右边ln ln x c =+, ln(1)ln()ln ln 1y y
y e y e x c e ∴--==+-1y y
e cx e ∴=-,由于(1)ln2y =-,1c ∴=
三:计算题
1:
12222,
0ln2()(12),0
x
x dx c x f x dx x dx x x c x ⎧=+≤⎪=⎨
⎪-=-+>⎩⎰⎰
⎰
由已知此函数要在0x =处连续, 11021lim()ln2ln2
x x c c →-+=+,2
220lim()x x x c c →+-+=,211ln2c c ∴=+ 121
22,0ln2()1(12),0
ln2
x
x dx c x f x dx x dx x x c x ⎧=+≤⎪⎪∴=⎨⎪-=-++>⎪⎩⎰⎰⎰ 2:设点
(0,)a 到曲线上任一点(,)x y 的距离为S
,则
2222()4()S x y a y y a =+-=+-,令A =2
S ,令
4220,dA
a y dy
=-+=则当2a >时,2y a =-,44A a ∴=-
,S =当2a <时,0,0,0dA
y y dy
≥∴
≥∴= 时,A 最小,||S a =. 3:解:2sin cos sin ()x x x x
f x x x '-⎛⎫== ⎪⎝⎭
,∴原式111(2)(2)(2)222xdf x xf x f x dx ==-⎰⎰ 212cos2sin21sin22442x x x x x c x x -=⋅⋅-+1sin2cos244x x c x
=-+ 4:原方程变形为:
111ln dx x dy y y y +⋅=,11(),ln P y y y ∴=⋅1
()Q y y =, 11
11
ln ln 1[]dy
dy
y y y y x e
e dy c y
-
⎰⎰∴=+⎰1ln 2ln c y y =+
5:cos sin y x y a x
=⎧⎨
=⎩
,0)y a ∴=
>
,x =
,
sin )[sin cos ]S x a x dx x a x =-=+⎰
a -
12S
a ∴==
解得34
a = 四.证明题:
1:作业48页第四题第2小题. 令()()(),()[]f x f x F x F x x x ''=∴=2
()()
f x x f x x '-=,
22
()()0()()(0)
()f x f x f x f x f F x x x x x
''--'=-=-,又()f x 在[0,]x 连续,(0,)x 可导,则有
()(0)
(),f x f f x
ξ-'=(0)x ξ<<.又单增()f x ',则()()f f x ξ''<,
()()()0f x f F x x ξ''-'∴=>,()
()f x F x x
∴=在(0,)a 上也单增.
2.书本定理.
五:解:椭圆方程化为参数方程2cos sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩,(1)∴在点(0,)y
处截面面积()42s y x =⋅=16cos s θ=从y 到y y +∆
这一层液体的体积微元dV =216cos d θθ=, arcsin 22
16cos y V d π
θθ-∴=
⎰38(arcsin )()2
y m π
=+.
(2):2dV dy dt dt
=
=,
0y ∴=时，
10.01/16dy dV
m s dt dt
==
(3):11
1000(1)8000()W
g y dy g J π-=-=⎰
B 卷
一. 选择题: 1.B x R ∈ ,
且
222()ln(ln ln ()f x x a a f x -=--=-=
2:B
lim 1(0)x x e f →+=≠; 3:D 1
0()(0)
1lim
lim 01x x x
f x f x
e
→+→+-==+,10
1lim
11x x
e
→-=+.
4:D 5:A 正确应为
()()f x g x c =+; 6:B 令,则1t x =
,()f t =;
7:B 8:A 原式11001111lim
[ln(1)]11n
n i dx x i n x n
→∞====+++∑⎰, 二.填空题 1:3 原式2112221
lim
lim (1)(1)x x x k x k x k
→→-==-+; 2:cos11-;1lim cos 1x x x →+=,
2
1lim()1x x a a →-+=+; 3:2
n ;1()x t t '=,1
()n y t nt -'=,n dy nt dx ∴=,2
21221n n d y n t n t d x t
--==; 4:
原式0
111
lim ()22
4x f →+'=
-=-=-; 5:21c x + 02年B 卷填空题5题.
6:14令()120x x ϕ'=-=,则12x =;最大为1
201
()(12)2
t t ϕ=-⎰; 7:
原式0=⎰ 1
04(1)15x xdx =-=⎰; 8:原式220
3200()()lim lim 3x
x x arctgt dt arctgx x x →→=⎰2201lim 33
x x x →==
三.计算题 1:
原式0
x →201
1cos 1lim 24x tgx x x x →-== 2:2
()2()cos (sin )F x xf x xf x '=-,(0)(0)2F f '∴=-=-;
四.计算题:
1:2()df x =
=
2:令sin t x
=()1f t '∴=
()1f x '=
()f x ''∴=
五:计算题
1:01年B 卷第四题第1小题. 设切点为00(,ln )x x ,1y x '=
,则此处的切线为000
1
ln ()y x x x x -=-,切线过原点 将
0y x ==代入得0x e =,则切线为1y x e =;面积10()12
y e
S e ey dy =-=-⎰.
六:解2
2
2
2
4
40
(sec 1)n n n
I tg
x tg xdx tg
x x dx π
π
--=⋅=⋅-⎰⎰2
2440
n n tg
x dtgx tg xdx π
π
--=⋅-⎰⎰
1402
1[]1
n n tg x I n π
--=--=211n I n ---
8
6440
017tg xdx tg xdx π
π=-⎰⎰4401175tg xdx π=-+⎰240111753tg xdx π
-+-⎰ =0111
1753
dx π
-+-+⎰764105π=-
七:设矩形高y ,宽21x x -2
0yx x y -+=
,x ∴=
,21x x ∴-=
,
体积2
211())2V y x x y ππ=-=≤≤,
令20V '==,得到
y =
当
y ≥
时,0V '>,
当0y <<
时,0V '<,
则体积最大4
y V
π
=
.
01级答案(LB200201)
A 卷
一. 选择题 1:C
0sin 1cos lim
lim 01
x x x x x
x →→--==； 2：D 3：C 00()()y f x x f x ∆=+∆-， 00()()y f x x x x ξξ'∆=∆<<+∆；()0f x ''< ，()f x '∴单减，0()()f f x ξ''∴<；
4：D
()(())x
a
F x x f t d t ''=⎰
()()x
a
f t d t x f x =+⎰； 5：A 6：A
二．填空题： 1：-1；
原式0
1
lim 2()12x f →+'=
-=-=- 2：arctgxdx ；
22
12121x x y arctgx x x '=+
-
++ ； 3：
1(32)3
F x +； 4：2；cos cos3y a x x '=+，()03y π
'=； 5：
4；cos 0,||2
t t π
≥∴
≤
；弧长22
22t
S
dt π
π-==⎰；
6：分离变量
2sec dy
xdx y =，得ln ln y tgx c =+，tgx y c e =⋅，将4
|2x y e π==代入，得2c =。

三．计算题：
1：
2112
ln()
1lim
lim
12
12
ln()
2
lim()lim x x arctgx x x arctgx x
x
x
x x arctgx e
e
e e
π
π
→+∞
→+∞
+--
→+∞
→+∞
====
2
：令t 则2
22ln(1),1t x t dx t =+=+;原式222ln(1)(1)21
t t t
dt t t +⋅+=⋅+⎰
2222ln(1)2ln(1)21
t t
t dt t t dt t ⋅=+=+-+⎰⎰
=22ln(1)44t t t arctgt c +⋅-++
24c =+
四.1:特征方程:2
320r r -+=,则122,1r r ==,齐次方程通解为212x x Y c e c e =+,设特解为*()x y x Ax B e =+;
求得
*2(2)x y B Bx Ax Ax e '=+++
*2(224)x
y B Bx A Ax Ax e ''=++++,代入原方程整理得:
2212B A Ax x
-+-=-,得到
1A B ==,*2()x y x x e =+,∴原方程通解为*2212()x x x y Y y c e c e x x e =+=+++;
2:令1
()A xf x dx =
⎰,则2
()f x x A =+,12011()42A x x A dx A ∴=+=+⎰,12
A ∴=; 2
1()2f x x =+,则1120015()()26
f x dx x dx =+=⎰⎰
五: 1:书上定理. 2:
令()1ln(f x x x =+,
则
()ln(0
f x x '=>,在
[0,]
+∞内,
()
f x 单
增,
()(0)0f x f >=.
即1ln(x x +>六:1:面积2222200
(1cos )3a
A ydx a t dt a ππ
π==-=⎰
⎰
体积2223
3230
(1cos )a
V
y dx a
t dt a ππ
πππ==-=⎰
⎰
2:解:设t 时刻,物体温度为()T t ,
(20)(0)dT
k T k dt
=-->,解得20kt T c e =+⋅,且(0)100T =代入得80c =,又(10)60T = 代入求得1
ln210
k =
,1
10
ln210
1208020802t t T e -⎛⎫
∴=+=+ ⎪
⎝⎭
七:解设t 时刻水面高度为()h t ,因为顶角为2π,半径r h =;2
311633t h π∴+=
,h
水面上升速度为2
2
()()23]
v t h t t -
'==+,
令()0v t '==,则4t =
当04t <<时,()0v t '>,4t >时,()0v t '<,∴当4t =时,水面上升速度最快.
B 卷
一. 选择题
1:B 2:A 定义域为[1,]-+∞,1x ∴=为间断点.3x =-不是. 3:C 4:B
5:D
1
2201
()113
V f x dx ππ=-⋅⋅⎰ 6: D
二.填空题
1:2;
10
lim(1)2lim(2)x
x
x x e e
-
→-→++==+; 2:1522y x =-;22ln 0y
y xyy y x x
''+++= ,将(1)2y =-代入.
求得
12y '=
; 3:416π-;
(1)(1)4()28
f f f πξ---'== 4:2x e c -+ 5:原式212
01
|1|(1)(1)1x dx x dx x dx =
-=-+-=⎰
⎰⎰; 6
原式1
22
π
+∞
==
三.计算题:
1:
原式0
20
2
lim
2
x
x dt
x x →=⋅
⎰302lim 2x x x
→=
221x →==
2:()
()()()f x x x f x dy e
df e f e de =+=()()[()()()]f x x x x f x e f e e f e e f x dx ''+
四.计算题: 1:
2()32f x x ax b '=++,则(1)320f a b '=++=,(1)12f a b =++=-,解得0a =,
3b =-,则令2()330f x x '=-=,1x ∴=±,又()6f x x ''=,(1)0,(1)0f f ''''∴-<>;则极大值(1)2,
f -=极小值(1)2f =-.拐点为(0,0).
2:
令t
=则221,x t dx tdt +=∴=,原式sin t tdt =⋅⎰=cos cos t t tdt -+⎰
cos sin t t t c =-+
+c =
五.计算题 1:
全长：144S
S ==0
43sin cos 6a t tdt a π
==⎰
体积：22
7
2
200
3sin cos a
V
y dy a
t tdt π
ππ==⎰⎰
2
7
9220
3[sin sin ]a tdt tdt ππ
π=-⎰⎰316
105
a π=
2：由题知面积为
2
01()()2x
x f t dt xf x =-⎰，两边求导得令()y f x =，则11
222
x y xy '=-
14y y x
'∴-=-，11
[4]dx dx x x y e e dx c -⎰⎰=-+⎰[4ln ]x x c =-+，(1)1y =代入得1c =，
∴
特解为
[14ln ]y x x =-。

六：1：证：设
()l n (1f t t =+在[0,]
x 上应用拉格郎日中值定理
(1)(0)
()
f x f f x
ξ+-'=即
ln(1)1x
x ξ
+=
+(0)x ξ<<，11x x x x ξ∴
<<++，即ln(1)1x x x x <+<+。

2：()F x 在[,]a b 上连续，()0f x > ，
则()()0a
b
Fa f td t
=<⎰，
()()0b
a
F b f t dt =>⎰
，由零点定理知在(,)
a b 内至少存在一点ξ，使得()0F ξ=。

又()2()0F x f x '=> ，()F x ∴在[,]a b 上单增。

()F x ∴在(,)a b 只有
唯一一根。

七：设曲线上一点B 坐标为00(,)x y ，则过此点的切线为
0002()y y x x x -=-，当8x =时，2
00
16y x x =-，当0
y =时，
2
x x =。

则C 点坐标为
(
,0)2
x ，D 点坐标为
2
00(8,16)
x x -，
∴
面积为
2
0001(8)(16)22x A x x =--320
0018644x x x =-+，令2003166404A x x '=-+=，则016x =（舍），或0163x =
，又03162A x ''=-，则16()803A ''=-<。

最大值为16163
()327
A =。

02级考卷
20030114（A 卷）
一．选择题：
1：C ； 2：D ； 因为00()2,lim
2x dy
dy f x x x x ∆→'=
∆=∆∴=∆, 3：A ；
4：C ；因为2|()|,(0)0;f x x f ≤∴= 200()(0)()
(0)lim
lim 0x x f x f f x f x x
x →→-'=== 5：B ；两边同时求导
1
11
()(1)x x
f x e e x
=- 6：A ；因为 2s i n 0()s i n t F x e t d t π=⎰ 20sin sin sin 0
sin 2sin()()(sin )t u
u e tdt u t
e
u d u e u du π
π
ππ
π--=---=-⎰⎰⎰
sin sin sin sin 0
()sin (sin )sin ()0t
t
t t F x e
tdt e
t dt t e e dt π
π
π
--∴=+-=->⎰⎰⎰
二．填空题：
1；[1，e]； 因为0ln 1x ≤≤ 2：2； 因为原式22
lim lim sin 20x x x
x x x
→∞
→∞=+=+ 3：222()x
x f e
e dx --'-； 4
：2
y x =--
； 5
x c +；
6：2π
；利用对称区间奇偶函数求积分性质知原式2-=
⎰
，值为圆的面积的一半。

7
：
1
100
arcsin(21)|x π=-=⎰
； 8：
1c x +；因为1
dy dx
y x =-+
三．计算题
1． 作业第80页第二题，第五小题。

原式
=2
2
2
00
sin 22
lim
lim 33
x x x x x x x x -
-
→→-⋅==-⋅⎰
2．
2x
x dy ==
；x x y '''==
四．计算题：
1．作业第59页第二题第三小题； 解：
令21
,2
t t x dx tdt -===则 原式=
t
t
t
e tdt e t e
c =-+⎰
c -+
2.作业第75页第一题第二小题： 解：sin r a θ'= ，
∴原式
=222200
02sin 4[cos ]|822
t t a a dt a a π
π
ππ
θθ====-=⎰
⎰
⎰
五．计算题： 1直线AB 方程为
112y x =-；重力21
(1)2
G x gdx πρ=-，所以做的功为
12011111
(1)9800()24848
W x gxdx g J πρπρπ=-==⋅⎰
3． 特征方程：2
1220,1,2;r
r r r +-===-所以212x x Y c e c e -=+，设*()x y x ax b e c =++
所以
*2(2)x y b bx ax ax e '=+++，*2(224)x y b bx a ax ax e ''=+++++；代入原方程得到
(326)2(37)2x x b a ax e c x e ++-=++， 所以1,2,1,2a b c ===-*21
(2)12
x y x x e =+- 原方程通解为22121(2)12
x x
x y c e c e
x x e -=+++- 六．计算题
1． 设0
1
,()()x
u tx F x f u du x
=∴=
⎰
，0()()()x
f x x f u du
F x x
-'∴=
⎰(0x ≠)
2
000()()(0)()(0)lim
lim lim 1
2x
x x x f u du F x F f x F x x x →→→-'====⎰0()lim 2,x f x x →= 0
20
0()()lim
lim 12x
x x f u du f x x x →→==⎰
；0lim ()x F x →'∴=1;0()(),0()1
0x f x x f u du
x F x x x ⎧-⎪≠'∴=⎨⎪
=⎩⎰ 2．因为
13()(),2f x f x ax x '-=11
33()[][]22
dx dx x x f x e axe dx c x ax c -⎰⎰∴=+=+⎰，
因为面积1
20311()2222
s ax cx dx a c =
+=+=⎰，所以4c a =-， 体积221
1
2
22
00393()()22043
a ac c V y dx ax cx dx πππ==+=++⎰⎰，
所以216
()(
)3033
a a V a π=++，令1()()0153a V a π'=+=， 则1
5,9,()015
a c V a π''=-==
>。

所以当a=-5时，旋转体积最小。

七．证明题。

书上微积分基本定理。

204页定理2。

20030210（B 卷）
一．选择题： 1:B ; 2:C ;因为()f x 在0x 可导，则()f x 在0x 连续，|()|f x ∴在0x 连续，但不一定可导。

如取
()f x x =，则()0.|()|||0f x x f x x x ===在处可导但
在处不可导。

3:A ; 4:C; 5: A 6:A 因为原式11
001111ln(1)|ln211n
i dx x i n x n ==
==+=++∑⎰ 二．填空题：
1：-2
；因为2112ax - 2：12；因为0
200(1)11lim
lim 22
x
t x x x e dt e A x x →→--===⎰ 3：
12cos(2)2
n x n π
--+
；4：
x y x y
+-；
221ln()2y x y arctg x
+= ；两边关于x 求导，所以
22222
2
122121()
x yy y x y y x y
y x y x x y x
'''+--==+++整理就得到答案。

5：21
c x
+；因为原式=(ln )ln (ln )f x d x f x c '=+⎰
6：-4； 因为2
()2()cos (sin )F x xf x xf x '=- 7：3
；因为3
00
|6===⎰ 8：2
cx ； 三．计算题
1：(1)22432000sin 2sin222cos21
lim lim lim 4123x x x x x x x x x x x →→→---====原式 (2)22432000sin sin sin 1cos 1lim
lim 2lim 33
x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-==⋅==原式 2：2
2[(sin )(cos )]sin2dy f x f x xdx ''=-
四．计算题
1：22
222221(1)(),(),(1),2(1)(1)11t dy d y x t y t t t t t t dx dx
-''==∴=-=-+++
2：
123,(1)230,(2)430,2,22a a y bx y a b y b a b x '''=
++=++==++=∴=-=- 251
2,(1)10,(1);(2)0,(2)42ln2.22
a y
b y f y f x ''''''=-+=>∴==-<=-又极小极大五．计算题
122
2211(csc 1)ln |cos |22
xtg xdx x x dx xdtgx x xtgx x x c =-=-=+-+⎰⎰⎰
2．作业题.第65页第二大题，第一小题。

原式32
sin |cos |x x dx π
π
=
=⎰
⎰
3
355
0022
224sin cos sin cos sin |sin |555x xdx x xdx x x π
ππ
ππ
π=-=-=⎰⎰ 六．应用与计算题 1：2
3
221
2
(2)(2)2s x x dx x x dx =
---=⎰
⎰
23
221
2
2(2)2(2)9V x x x dx x x x dx πππ=-+-=⎰⎰
或0
32
212101143
[1,27[1,66
V dy V dy ππππππ-=+-=
=-+=⎰⎰ 129V V V π∴=+=
2：2
21212320,1;2,x x r
r r r Y c e c e -+===∴=+*()x y x ax b e =+设
*2*2(2),(224)x x y b bx ax ax e y b bx a ax ax e '''∴=+++=++++代入原方程得
*22221;1,3;(3)x b a ax x a b y x x e -+-=+∴=-=-∴=--
所以原方程通解为
2212(3)x x x y c e c e x x e =++--
七：证明题。

书上203页的定理1。

03级答案
20040107（A 卷）
一． 选择题
1.C ; 2 .A ; 因为 0021
lim sin 2;lim(sin )x x x x a a x x
+-→→=+= 3.C ; 0lim ()0x g x →=, 000()()(0)()(0)
lim
lim lim (0)1sin x x x g x g x g f x f f x x x
→→→--'====- 4.A ; 5.B ; 6.D 二． 填空题 1．
2
x π
=
； 2：2
sin(2)2n
x n π+； 3：cos sin cos sin t t
t t
-+；
4：2
π
；因为由对称奇偶性知原式
=1-⎰，值为圆的面积一半。

5：2
2
22x x x
e e
c ----+；因为()()()xf x dx xf x f x dx '=-⎰⎰
6：
127
；因为方程两边求导得32
(1)31,3f x x x -==取 7：解：设弹簧力为：
f kx =，10(10.6),25k k =-∴= ，
0.50.3
0.9 1.1:252m m W xdx ∴==⎰从到所做的功为(J)
8:解
2
,(),ln sin 2ln sin y x e dy dx dy dx y e y y x y y x ππ
==∴=⎰⎰ ，(作业：83页二题第一小题)
2
[ln(ln )][ln(csc )]y x e y x ctgx π
∴=-， ln(ln )ln(csc )y x ctgx =-，(csc )ln (csc ),x ctgx y x ctgx y e -∴=-=。

三． 计算题 1
．解：
222()()1x y x arctgx y arctgx arctgx x '''==+
+
2．2
2
20
2320000122lim lim lim lim sin sec cos 1cos 3cos sin 3
x
t x x x x x x e dt
e x x tgx x x x x x x --→→→→--====---⎰ 四． 计算题。

132
3322
2
11111ln(1)331366
x x x x arctgxdx x arctgx dx x arctgx x x c x +-=-=-++++⎰⎰ 2
．
2ln2
2ln2
1
2[216
t dt arctgt t π==+⎰
五． 计算题 1
．2
230,1r
r r -+==
，齐次方程通解为12[]x Y e c c =+。

设特解为
*sin2cos2y A x B x =+，得到14
(4)0,41,1717
A B B A A B -+=-=∴=-
=
所以原方程通解为1214
[]sin2cos21717
x y e c c x x =+-
+ 2．220
()sin ()cos ;(cos )sin a f x xdx f x x a a x a xdx π
π=
∴=+=+⎰
⎰设
2002222,,()(cos )3336
a a a f x dx x dx πππ
∴=+∴=-∴=-=-⎰⎰
六． 应用题
1.()(1cos ),()sin x t a t y t a t ''=-=，
222200002sin 4[cos ]|822t t s a a dt a a
π
π
π
π
∴====-=⎰⎰
⎰222222200031(1cos )[2sin sin2]|324
a A ydx a t dt a t t t a πππ
π==-=-+=⎰⎰
2.:t M-t
解设在时刻雨点质量为m(t)则m(t)=
,速度为v(t)1000
2(),(0)010001000M t M t dv
g v t F v dt
--∴
-===且
2000200020002000()(),()[]()1999
dt dt
M t
M t dv M t g v t g v t e ge dt c M t c dt M t ----⎰⎰∴+==+=+--⎰ 200019991999
()(0)0,()()199919991999 g M t g g
v c v t M t M M
-=∴=-
∴=--⋅⋅ 七． 证明题：（作业250页10题）
:()(2)()(2)()(2)()x
x
x
F x t x f t dtu t u x f u du u x f u du
--=+=---+-=--⎰⎰⎰证明0
()()(2)()(2)()().
x x
f t F x u x f u du u x f u du F x ∴-=--=--=-⎰⎰为奇函数为奇函数 0
()2()(),()2()()()(()())
x x x
F x t f t dt x f t dt F x xf x xf x f t dt x f x f ξ'=-∴=--=-⎰⎰⎰0,0,()(),()0;0,0,()(),()0.()x x f f x F x x x f f x F x F x ξξξξ''><<∴>∴<<<<∴<∴<∴单减
20040207（B 卷）
一． 选择题
a)
D ；
b) B ；因为
1,||1
()01||111x x f x x x x +<⎧⎪==->⎨⎪=⎩
或
c) C ；
因
为
22
3c o s 3,0()3cos 3,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪
'=⎨-<⎪⎩，
3sin 6,0
()3sin 6,0
x x x f x x x x -+≥⎧''=⎨
--<⎩，
3cos 6,0
()3cos 6,0
x x f x x x -+>⎧'''=⎨
--<⎩ d)
B ；因为
000000
1(),0,()0;0,()0;x e f x x f x x f x x --''''''=∴>><>时时
e)
D
；2202|22
t t s dt π
ππ
-=
==⎰（作业题） 6. C 二． 填空题
1．2； 因为
22001cos22sin lim lim 2sin x x x x
x x x
→→-==
2. 1 ； 因为
2
1111
ln lim()1;lim(1)lim(1)211
x x x x x x a a x -++→→→+=++=+=-
3.
1(ln )f x dx x '；
4.2
y x =--；
)x c +；因为1
3,(3)()3
u x f x dx f u du =∴=⎰⎰令 6. 2； 因为2
()(sin )cos ()2F x f x x f x x '=- 7．1
1001
(1)()|x x e dx x e e
---=+=
⎰ ； 8.
11
sin [cos sin ]dy y x x x x c dx x x
+=∴-++ 三.计算题
1．
22112
ln()
1lim
lim
12
12
ln()
2
lim()lim x x arctgx arctgx x x arctgx x
x
x
x x arctgx e
e
e e
π
π
ππ
→+∞
→+∞
+--
→+∞
→+∞
====
2242sin 1()(1cos ),()sin ,,csc 1cost 242
dy t t d y t x t a t y t a t ctg dx dx a ''=-=∴
===-- 四．计算题：
1．22
000
11()()()(),22x x x F x x f t dt x tf t dt t f t dt =-+⎰⎰⎰
()()(),()()x x x
F x x f t dt f t dt F x f t dt '''∴=-=⎰⎰⎰
2
．20
2
cos cos )xdx xdx π
π
π
π=-=⎰
⎰⎰0
由奇偶性,原式=2五．计算题 1．()(ln ),y
y y
x
x y x x
''=+
1122(ln )20;,1ln 1ln y y y
y y y x y x y x y x y y dy dx x x x x x
----'''∴+-+=∴==++
22222
22ln(1)(1)22ln(1)4(1)1
t t t t t dt t t dt t t t ++=∴==+-++⎰⎰设原式
22ln(1)4424t t t arctgt c c =+-++=
六．计算题与证明 1特征方程：2
12250,12,(cos2sin2),x r
r r i Y e c x c x -+=∴=±=+齐次通解为
*()x y ax b e =+设特解**(),(2),x x y a b ax e y a b ax e '''∴=++=++ 31
4432;,42
b ax x a b +=+∴==代入原方程得
所以原方程通解为1231
(cos2sin2)42
x y e c x c x x =+++
2.()1,()1,x
x f x e
x f x e '=--=-设则
0,()0,[0,),()(0)0;x f x f x f '>>∴+∞>=当时在内 0,()0,()(0)0;x f x f x f '<<∴∞>=当时在(-,0]内,
)()0,1x f x e x ∴∞∞>∴>+在(-,+内,
七应用题
101113
(0)0,0;;13232
y c ydx a b a b =∴==+=∴=-⎰ 又
112222200111
()()523V y dx ax bx dx a ab b πππ==+=++⎰⎰，
V 22
13131[(1)(1)]52223
b b b b π=-+-+
2113553
()0,,,10152442
V b b b a y x x '=-+=∴==-∴=-+令
2005118A1卷
一. 选择题: 1:A; 2:D 0
0(1)(1)1(1)(1)1lim
lim (1)222x x f f x f x f f x x →→----'==- 3:B 1
()f x x
=
4:C 11001
11
1lim ln(1)|11n n i dx x i n x n
→∞====+++∑⎰原式; 5:B 6:C 二. 填空题
1:2a =; 2:arctan dy xdx =; 3:1y x =-; 4:[1,)+∞;
x c + 6:
(0)3
f =;
00
()sin sin ()sin ()|cos ()f x xdx xdf x xf x xdf x ππ
ππ''''==-⎰
⎰⎰ 00
()cos |()sin f x x f x xdx π
π=--⎰
00
[()()]sin cos ()|()(0)f x f x xdx xf x f f π
ππ''∴+=-=+⎰,(0)3f ∴= 7:3
2
s =
; 10
(1)y
s e y e dy =+--⎰; 8:12221
11arctan |4x
x x x x dx e dx e e e e e e e e
π+∞
+∞+∞-===++⎰
⎰
三:计算题
1:1t x =
,原式2011lim[ln(1)]t t t t →=-+=2
0ln(1)
lim
t t t t →-+01
11lim 2t t t →-
+==01lim 2(1)t t →+12
=
2
()1x t t '=-;()1y t t '=+;
11dy t dx t +=-; 2232
(1)
d y d x t =-
四．计算题
1：原式2
=-⎰2=-
c =-
2：原式1201(1)2arctg x dx =-⎰=2121
02011(1)|2222
x x arctg x dx x x -+-+⎰
212012222
222
x x x dx x x -++-=-+⎰112
0011222222x dx dx x x -=+-+⎰⎰
21011ln[22]22x x =+-+1
2
-五：计算题
1：由题意：mg kv mv '--=，则k v v g m '+
=-，[]k k
dt dt m m v e ge dt c -⎰⎰∴=-+⎰； k t m gm v c e k -=-+⋅，0(0)v v = ，代入得0gm c v k =+；0()k t m gm gm
v v e k k
-∴=-
++
2：
y '0
s =
⎰
2sin 2
6
4cos x t
tdt π
==
⎰
60
2(1cos2)t dt π
=+⎰
60
[2sin2]t t π
=+3
2
π
=+
六：计算题 1：特征方程：2
20r
r -=；120,2r r ==，则齐次通解212x Y c c e =+设特解*2x y Axe =则；
*2(12)x y A x e '=+，*24(1)x y A x e ''=+代入的12A =
，通解221212
x
x y c c e xe =++； 由条件得：120,c c +=21212c +=，解得114c =-，214c =，2111442
x x
y e xe ∴=-++
2：2200()()t
t x x
v t e dx e dx ππ--=
=⎰⎰20|2x t e π-=-2(1)2
t e π-=-；lim ()2
t v t π→+∞
=；
22()(1)2
a v a e π
π-=-=
，得a =；
设曲线上一点0
0(,)x x e
-，该点切线000()x x y e e x x ---=--，与,x y 轴截距分别为01x +，
00(1)x e x -+，所求图形面积0201(1)2x s e x -=+，令02
1(1)02x s x e -'=-=，则01x =， 01x =-(舍去)，所求点为1
(1,)e。

七：书上定理。

2005A （20060119）卷
三. 选择题:。