数字通信基础仇佩亮第2章

(2) 是能量有限型信号，由于 sinc(t kTs ), k 0, 1, 是正交规范基，所以我们只考 虑 k=1 时的信号能量 E1，则 E=8 E1 根据巴赛瓦尔公式，
E1 sinc[2W (t - Ts )] dt


2


X ( f ) df ，
2
其中 X ( f ) 是 sinc[2W (t - Ts )] 的傅里叶变换，则
所以，输出的自相关函数为
E[Y (t1 )Y (t2 )] E[( (t1 ) (t1 T ))( (t2 ) (t2 T ))] E[ (t1 ) (t2 )] E[ (t1 T ) (t2 )] E[ (t1 ) (t2 T )] E[ (t1 T ) (t2 T )] 2 R ( ) R ( T ) R ( T )
而功率谱密度为
PY ( f ) [2 R ( ) R ( T ) R ( T )] P ( f )(2 e j 2 fT e j 2 fT ) 2 P ( f )(1 cos 2 fT )
2-35 设两个平稳过程 X (t ) 和 Y (t ) 之间有以下关系：
hl (t ) sinc 2 (t )e
j

2
j 2 f 0 t y (t ) Re yl (t )e
其中
yl (t ) xl (t ) hl (t )
Yl ( f ) 1 X l ( f )Hl ( f ) 2
1 Xl( f ) 0
f
1 1 y (t ) 2 2 (1 cos t ) sin t sin(2 f 0t ) 4 t 4 t
2
2-19 设随机过程 (t ) 可表示成
(t ) 2cos(2 t )
式中 是一个随机变量，且 P( 0) P( / 2) 1/ 2 ，试求 E[ (1)] 以及 R (0,1) 。 [解]
ˆ ( ) sin 2 f 所以 RY ( ) = RX ( ) cos 2 f 0 R X 0 PY ( f ) F RY ( )


PX ( f f 0 ) PX ( f f 0 ) ( f f0 ) ( f f0 ) j sgn( f ) PX ( f ) 2 2j
4
则 RY ( ) E Y (t )Y (t )

1 1 1 1 RX ( ) cos 2 f 0 RXX RXX R ˆ ( ) sin 2 f 0 ˆ ˆ ( ) cos 2 f 0 ˆ ( ) sin 2 f 0 2 2 2 2 XX
ˆ 根据书本 RXX ˆ ( ) RX ( ) 可得 ˆ ( ) RX ( ) ， RX ˆ ( ) R ˆ ( ) RXX ˆ ( ) RX ˆ X
3
f N ( n)
n2 exp 2 2 2 2 1
2-30 若 (t ) 是平稳随机过程， 自相关函数为 R ( ) ， 试求它通过图 P2-30 系统后的自相关函 数及功率谱密度。 [解] 有图知，输出为
Y (t ) (t ) (t T ) ，
X (t ) A Bt
E X (t ) E A E Bt 0
5
RX (t1 , t2 ) E ( A Bt1 )( A Bt2 )
2 2 E A E B t1t2
1 (1 t1t2 ) 3
6
1 exp{ j 2 Ts f }| f | W ， X ( f ) 2W 0其他
于是， E1



1 1 1 ，所以 E=8/100 X ( f ) df df W 2W 2W 100
2


1 1 1 0 2 (1 f )e j 2 ft df 1 (1 f )e j 2 ft df 2j 0 2 j 2
sin t 1 1 1 sin t 2 2 2 2 (cos t ) t 2 t 2 t 2 t

j j 1 1 sin t 2 2 (1 cos t ) j sin t 2 2 (cos t 1) 4 t 4 t 4 t 4 t
N0 2 N0 2 PN ( f ) H ( f ) N0 2 2 0
R ( ) PN ( f )e j 2 f df

B 2 B f f0 2 f f0
N 0 B sinc( B ) cos(2 f ct )
2 输出为高斯噪声，均值为 0，方差为 N 0 B ，一维概率密度为

x (t )
k
x(kT )sinc 2W (t kT ) ， T
s s 4
s

1 0.01(s ) 2W
x(0.005) sinc(0.5 k ) sinc(0.5 k )
k 1
sinc(0.5) sinc(4.5)
sin(0.5 ) sin(4.5 ) 0.566 0.5 4.5
ˆ (t )sin(2 f t ) Y (t ) X (t ) cos(2 f 0t ) X 0
其中 f 0 为常数， 是 [0, 2 ] 上均匀分布随机变量， 与 X (t ) 统计独立。 若已知 X (t ) 的功率谱密度如图 P2-35 所示，试求 Y (t ) 的功率谱密度，并画出其图形。
ˆ (t ) sinc(t ) sin 2 f 0t x(t ) sinc(t ) cos 2 f 0t x xl (t ) sinc(t )
ˆ(t ) sinc 2 (t ) cos 2 f t h(t ) sinc 2 (t ) sin 2 f 0t h 0
1 2 f 2
(1 f ) / j 0 f 1 Hl ( f ) (1 f ) / j 1 f 0
所以
1 (1 f ) / 2 j 0 f Yl ( f ) 2 (1 f ) / 2 j 1 f 0
1
yl (t ) 21 Yl ( f )e j 2 ft df
第二章习题解答
2-3 一个带宽为 50Hz 的低通信号 x(t ) 以奈奎斯特速率抽样，抽样值如下所示：
1, x(nTs ) 1, 0,
(1) 确定 x(.005) ；
4 n0 0n4 其他
此信号是功率型信号还是能量型信号？确定其功率或者能量值。 [解] (1) 由采样定理
2 W
2
2-11 带通信号 x(t ) sinc(t ) cos 2 f0t 通过具有脉冲响应 h(t ) sinc 2 (t ) sin 2 f 0t 的带通 滤波器。利用输入信号和脉冲响应的低通等效表示形式，找出输出信号的低通等效形
1
式，并由此确定输出信号 y (t ) 。 [解]
PX( f ) A

0
B
f
图 P2-35 [解]
1 Y (t )Y (t ) X (t ) X (t )[cos(2 f0 ) cos(4 f 0t 2 2 f0 )] 2 1 ˆ ˆ (t )[cos(2 f ) cos(4 f t 2 2 f )] X (t ) X 0 0 0 2 1 ˆ (t )[ sin(2 f ) sin(4 f t 2 2 f )] X (t ) X 0 0 0 2 1 ˆ X (t ) X (t )[sin(2 f 0 ) sin(4 f 0t 2 2 f 0 )] 2


2
) 4cos

2
cos
5 2
2-25 将一个均值为零， 功率谱密度为 N 0 / 2 的高斯白噪声加到一个中心频率为 f c ， 带宽为 B 的理想滤波器上，如图 P2-25 所示，
|H(f)| B B
-fc
0
fc
f
图 P2-25 （1） 波器输出噪声的自相关函数； （2）写出输出噪声的一维概率密度函数； [解] 输出噪声功率谱为
E[ (1)] P( 0) 2cos(2 t ) P( cos(2 t ) sin(2 t ) 1
R (0,1) E[2cos 2 cos(2 )] P ( 0) 4 P( 2

) 2cos(2 t ) 2 2
PX ( f f 0 ) P ( f f0 ) 1 sgn( f f 0 ) X 1 sgn( f f 0 ) 2 2
f f0 其它
P ( f f0 ) PX ( f f 0 ) X 0
2-37 定义随机过程 X(t)=A+Bt， 其中 A、 B 是互相独立的随机变量， 并且在[-1, 1]上均匀分布。 求 mX (t ) 与 RX (t1 , t2 ) 。 [解]