教育最新K12九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 7.2 正弦、余弦 7.2.2 正弦、余弦值的求法同步练习1 (新版

[7.2 第2课时 正弦、余
弦的求法]
一、选择题
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，则cos A 的值为链接听课例1归纳总结( ) A.
215 B.52 C.212 D.2
5
2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝12，则tan A 的值为链接听课例3归纳总结( )
A ．2 B.
32 C. 3 D.33
3．2018·常州模拟在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3
5，则sin B 的值为
链接听课例3归纳总结( )
A.54
B.45
C.53
D.35
4．如图K －27－1，直径为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )
图K －27－1
A.12
B.34
C.32
D.45
5．2016·菏泽如图K －27－2，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A ′C ′＝3.若∠B ＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为( )
图K －27－2
A ．25∶9
B ．5∶3 C.5∶3 D ．5 5∶3 3 二、填空题
6．如图K －27－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为__________．
7．如图K －27－4，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A ＝________． 8．比较大小：sin24°________cos66°，cos15°
________tan55°.链接听课例3归纳总结
图K －27－4
9．如图K －27－5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝1
2∠BAC ，则tan ∠BPC ＝
________．
图K －27－5
10．如图K －27－6，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，垂足
为E ，交半圆O 于点D ，连接BE .设∠BEC ＝α，则sin α的值为________．
图K －27－6
11．2018·泰安如图K －27－7，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A ′处，若EA ′的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值为________．
图K －27－7
三、解答题
12．分别求出图K －27－8(1)(2)中∠A ，∠B 的正弦、余弦和正切值.链接听课例1归纳总结
图K －27－8
13．如图K －27－9，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝3
2，求
sin B ＋cos B 的值．
图K －27－9
14．(1)在△ABC 中，若∠C ＝90°，cos A ＝12
13
，求sin B 的值；
(2)如图K －27－10，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值．
图K －27－10
15．如图K －27－11所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 为边AC 的中点，BC ＝14，
AD ＝12，sin B ＝45
.
求：(1)线段DC 的长； (2)tan ∠EDC 的值．
图K －27－11
数形结合思想学习了正切值、正弦值、余弦值的求法后，我们知道tan30°＝
3
3
，tan60°＝3，tan45°＝1，那么tan67.5°的值是多少？
如图K －27－12，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝CA ，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，则∠CAD ＝67.5°.设AC ＝k ，则BC ＝k ，BD ＝AB ＝2k ，∴CD ＝(2＋1)k ，∴tan ∠CAD ＝tan67.5°＝CD AC ＝
（2＋1）k
k
＝2＋1，即tan67.5°＝2＋1.
请模仿以上解法，求sin15°的值．
图K －27－12
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝AC AB ＝2
5
.
2．[解析] D 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝1
2，∴设BC ＝x ，则AB ＝2x.根据勾股
定理求出AC ＝3x ，∴tan A ＝ BC AC ＝3
3
.
3．[解析] D ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35，∴sin B ＝cos A ＝3
5.故选D .
4．[解析] C 本题是易错题．易错误地认为∠OBC 的余弦值等于BO
BC .产生错误的原因就
是没有正确理解三角函数的定义．可以连接CA 并延长，交x 轴于点D.根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得CD 是圆的直径，并且∠D ＝∠OBC ，所以cos ∠OBC ＝cos D ＝5 310＝32.
5．[解析] A 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′.
∵△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ，∠B ′＝∠C′，BC ＝2BD ，B ′C ′＝2B′D′，∴AD ＝AB·sin B ，A ′D ′＝A′B′·sin B ′，BC ＝2BD ＝2AB·cos B ，B ′C ′＝2B′D′＝2A′B′·cos B′.
∵∠B ＋∠B′＝90°，
∴sin B ＝cos B ′，sin B ′＝cos B.
∵S △ABC ＝12AD·BC＝1
2
AB·sin B ·2AB ·cos B ＝25sin B ·cos B ，
S △A ′B ′C ′＝12A′D′·B′C′＝1
2A′B′·sin B ′·2A ′B ′·cos B ′＝9sin B ′·cos B ′，
∴S △ABC ∶S △A ′B ′C′＝25∶9.
6．[答案]
5
3
[解析] 根据勾股定理可得AB ＝22
＋5＝9＝3.由题意，可知∠ACD ＋∠A ＝90°，∠B ＋∠A ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝5
3
.
7.
55
8．[答案] ＝ ＜ [解析] cos 66°＝sin (90°－66°)＝sin 24°，0＜cos 15°＜1，1＝tan 45°＜tan 55°， ∴cos 15°＜1＜tan 55°. 故答案为＝，＜.
9．[答案] 4
3
[解析] 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E.
∵AB ＝AC ＝5，
∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝1
2∠BAC.
∵∠BPC ＝1
2
∠BAC ，
∴∠BPC ＝∠BAE.
在Rt △BAE 中，由勾股定理，得 AE ＝AB 2
－BE 2
＝52
－42
＝3，
∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝4
3.
故答案为4
3.
10．[答案] 313
13
[解析] 如图所示，连接BC.
∵AB 为半圆O 的直径， ∴∠BCA ＝90°. ∵OD ⊥AC ，
∴CE ＝AE ＝12AC ＝1
2
×8＝4.
在Rt △AOE 中，OE ＝OA 2
－AE 2
＝52
－42
＝3.
∵AE ＝CE ，AO ＝BO ， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴BC ＝2OE ＝6.
在Rt △BCE 中，BE ＝BC 2
＋CE 2
＝62
＋42
＝213， ∴sin α＝BC BE ＝6213＝313
13
.
11．[答案]
10
10
[解析] 由折叠知∠BA′E＝∠A ＝90°，AE ＝A′E，A ′B ＝AB ＝6，故在Rt △A ′BC 中，由勾股定理，得A′C＝BC 2
－A′B 2
＝102
－62
＝8.设AE ＝A′E＝x ，则CE ＝x ＋8，DE ＝10
－x.在Rt △CDE 中，由勾股定理，得(x ＋8)2＝62＋(10－x)2
，解得x ＝2.在Rt △ABE 中，BE
＝22＋62
＝210，所以sin ∠ABE ＝AE BE ＝2210＝1010
.
12．解：(1)由勾股定理，得AC ＝62
－22
＝4 2，
sin A ＝BC AB ＝26＝13
，cos A ＝AC AB ＝
4 26＝2 23，tan A ＝BC AC ＝24 2＝2
4
；
sin B ＝AC AB ＝
4 26＝2 23，cos B ＝BC AB ＝26＝13，tan B ＝AC BC ＝4 2
2
＝2 2.
(2)由勾股定理，得AB ＝AC 2
＋BC 2
＝62
＋22
＝210，
sin A ＝BC AB ＝
2210＝1010，cos A ＝AC AB ＝6210＝31010，tan A ＝BC AC ＝26＝1
3；
sin B ＝AC AB ＝
6210＝31010，cos B ＝BC AB ＝2210＝1010，tan B ＝AC BC ＝6
2
＝3.
13．[解析] 根据锐角三角函数的定义，找准对边、邻边、斜边． 解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tan A ＝32，
∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝82
＋62
＝10，
∴sin B ＝CD BC ＝35，cos B ＝BD BC ＝4
5，
∴sin B ＋cos B ＝7
5
.
14．解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴∠A ＋∠B ＝90°，∴sin B ＝cos A ＝12
13
.
(2)设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝MD ＝2x ，CD ＝4x ， ∴CE ＝（3x ）2
＋（4x ）2＝5x ，
EM ＝x 2＋（2x ）2
＝5x ，
CM ＝（2x ）2＋（4x ）2
＝2 5x ，
∴EM 2＋CM 2＝CE 2
，
∴△CEM 是直角三角形，且∠CME ＝90°， ∴sin ∠ECM ＝EM CE ＝5
5
.
15．解：(1)在Rt △ABD 中， ∵sin B ＝AD AB ＝4
5，且AD ＝12，
∴12AB ＝4
5
，∴AB ＝15， ∴BD ＝152
－122＝9， ∴DC ＝BC －BD ＝14－9＝5.
(2)方法一：∵E 为AC 的中点，∠ADC ＝90°，
∴DE ＝1
2AC ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C.
在Rt △ADC 中，tan C ＝AD DC ＝12
5，
∴tan ∠EDC ＝tan C ＝12
5
.
方法二：过点E 作EH ⊥DC 于点H ，则EH ∥AD ， ∴CE AC ＝CH CD ＝EH AD . ∵E 为AC 的中点， ∴12＝CH 5＝EH 12， ∴CH ＝2.5，EH ＝6， ∴EH CH ＝125. 又∵DH ＝CH ＝2.5， ∴EH DH ＝125， ∴tan ∠EDC ＝12
5
.
[素养提升]
解：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBA ＝30°，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，则∠CDA ＝15°.
设AC ＝k ，则BD ＝AB ＝2AC ＝2k ，BC ＝3k ， ∴CD ＝(3＋2)k ，
∴AD 2＝AC 2＋CD 2＝k 2＋(3＋2)2k 2＝(8＋4 3)k 2＝(6＋2)2k 2
， ∴AD ＝(6＋2)k ，
∴sin ∠CDA ＝sin 15°＝AC AD ＝k （6＋2）k ＝6－2
4，
即sin 15°＝6－24
.。