2017-2018学年高中数学人教B版 选修1-1教师用书：第3

3．2导数的运算
3．2.1常数与幂函数的导数
3．2.2导数公式表
1．会用导数的定义求函数的导数．(难点)
2．会利用导数公式表解决一些简单的问题．(重点)
[基础·初探]
教材整理基本初等函数的导数公式
阅读教材P86～P88例以上部分，完成下列问题．
基本初等函数的导数公式
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(log3π)′＝
1
πln 3.()
(2)若f(x)＝1
x，则f′(x)＝ln x．()
(3)因为(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1.()
【答案】(1)×(2)×(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________
[小组合作型]
0000
(2)求下列函数的导数．
①y＝x20；
②y＝1
x4；
③y＝log6x.
【自主解答】(1)由题意可知，f′(x0)＝1，又f′(x)＝2x，所以2x0＝1，
所以x 0＝12，y 0＝14，x 0＋y 0＝3
4. 【答案】 3
4
(2)①y ′＝(x 20)′＝20x 20－1＝20x 19. ②y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5. ③y ′＝(log 6x )′＝1
x ln 6
.
用公式求函数导数的方法
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1
x 4可以写成y ＝x －4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
[再练一题]
1．求下列函数的导数． (1)y ＝e x ；(2)y ＝10x ；
(3)y ＝lg x ；(4)y
＝x; 【导学号：25650109】
(5)y ＝4
x 3；
(6)y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x
2＋cos x 22－1.
【解】 (1)y ′＝(e x )′＝e x . (2)y ′＝(10x )′＝10x ln 10. (3)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.
(4)y ′＝
(x )′＝
1
x ln 12
＝－1x ln 2.
(5)y ′＝(4
x 3)′＝(x
)′＝34x
＝
344x
.
(6)∵y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin x
2＋cos x 22－1
＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x
2－1＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .
(2)求函数y ＝ln x 在点P (5，ln 5)处的导数．
【思路探究】 解答本题可先求出函数的导函数，再求导函数在相应点的函数值．
【解】 (1)∵y ＝a x ，∴y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ， 则y ′|x ＝3＝a 3·ln a .
(2)∵y ＝ln x ，∴y ′＝(ln x )′＝1x ，则y ′|x ＝5＝15.
求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是： (1)先求函数的导函数；
(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
[再练一题]
2．(1)若f (x )＝cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3π2＝( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D.3
2
【解析】 ∵f (x )＝cos x ， ∴f ′(x )＝－sin x .
故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－3π2＝－1.
【答案】 C
(2)若f (x )＝x ，且f ′(a )＝1
4，则a ＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝12x
，
∴
12a
＝1
4，则a ＝4.
【答案】 4
[探究共研型]
探究 ＋x n ，如何求x n 的值？
【提示】 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝
n n ＋1
.
若曲线y ＝x
在点(a ，a
)处的切线与两坐标轴围成的三角形
的面积为18，求a 的值．
【精彩点拨】
【自主解答】 y ′＝－1
2x (x >0)，故在点(a ，a )处的切线的斜率k
＝－12a
，
易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3
2a ，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
∴a＝64.
切线方程、截距、面积的计算是对导数的几何意义、运算的综合运用，看清切点位置的同时构造方程是解题的关键．
[再练一题]
3．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程. 【导学号：25650110】
【解】由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令x＝2－x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，
即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，
联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，
∴f′(x)＝2x，f′(2)＝4，即所求切线斜率为4，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
[构建·体系]
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝1 2；
②y＝1
x2，则y′|x＝3＝－
2
27；
③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln 2； ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. 其中正确命题的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 由题意知①不对，y ′＝0.其余都正确． 【答案】 C 2．y ＝
13x 2
的导数为( )
【解析】
【答案】 D
3．已知函数f (x )＝1
x ，则f ′(－2)等于( )
A ．4 B.1
4 C ．－4
D ．－14
【解析】 ∵f ′(x )＝－1
x 2， ∴f ′(－2)＝－1
4. 【答案】 D
4．曲线y ＝－sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3
，－32处的切线方程为________.
【导学号：25650111】
【解析】
切线方程为y ＋32＝－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －π3，
即x＋2y＋3－π
3＝0.
【答案】x＋2y＋3－π
3＝0
5．已知曲线y＝1
x3在点P(－1，－1)处的切线与直线m平行且距离等于10，
求直线m的方程．
【解】因为y′＝－3
x4，
所以曲线在点P(－1，－1)处的切线斜率为k＝－3，则切线方程为y＋1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋4＝0.
设直线m的方程为3x＋y＋b＝0(b≠4)，
所以|b－4|
32＋12
＝10，所以|b－4|＝10，
所以b＝14或b＝－6，
所以直线m的方程为3x＋y＋14＝0或3x＋y－6＝0.。